Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2017-06-09 | 235 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть задано множество упорядоченных пар чисел . Соответствие , которое каждой паре чисел сопоставляет одно и только одно число , называется функцией двух переменных, определенной на множестве со значениями в , и записывается в виде .
4.1 Частные производные функции нескольких переменных
Частной производной функции нескольких переменных называется производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных переменных. Обозначения частных производных: .
Частные производные называют частными производными первого прядка. Их можно рассматривать как функции от . Эти функции также могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:
Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными.
Теорема. Если частные производные непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.
В частности, для имеем:
Задача 1. Найти производные первого порядка и смешанную производную второго порядка функции .
Решение. При нахождении частной производной по полагаем постоянной: . При нахождении частной производной по полагаем постоянной: .
4.2 Экстремумфункции нескольких переменных
Пусть функция определена в некоторой области , точка .
Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая -окрестность точки , что для каждой точки , отличной от , из этой окрестности выполняется неравенство ().
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называются ее экстремумами.
|
Теорема (необходимые условия экстремума). Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:
Точка, в которой частные производные первого порядка равны нулю, называется стационарной точкой функции.
Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.
Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке и некоторой ее окрестности функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке значения
.
Обозначим .
Тогда:
1. Если , то функция имеет в точке экстремум: максимум, если ; минимум, если .
2.Если , то функция в точке экстремума не имеет.
В случае необходимы дополнительные исследования.
Задача 2. Найти экстремум функции
Решение. Здесь ; . Точки, в которых частные производные не существуют, отсутствуют.
Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:
Отсюда получаем точки М1 (6;3) и М2 (0;0).
Находим частные производные второго порядка данной функции: , , .
В точке М1 (6;3) имеем: А=-18, В=36, С=-108, отсюда
=648, т.е. > 0.
Так как А<0, то в точке М1 функция имеет локальный максимум:
=324 – 216 – 81 = 27.
В точке М2(0;0): А=0, В=0, С=0 и, значит, =0. Проведем дополнительное исследование. Значение функции в точке М2 равно нулю: (0;0)=0. Можно заметить, что < 0 при ; ≠ 0; при , . Значит, в окрестности точки М2(0;0) функция принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в точке М2 функция экстремума не имеет.
4.3 Градиент. Производная по направлению
Скалярным полем называется плоская или пространственная область, с каждой точкой которой связано определенное значение некоторой физической величины . Задание поля скалярной величины равносильно заданию скалярной (числовой) функции .
Линией уровня скалярного поля называется совокупность точек плоскости, в которых функция этого поля имеет одинаковые значения (, где
|
Градиентом функции называется вектор
= .
Направлениевектора в каждой точке совпадает с направлением нормали к поверхности (линии) уровня, проходящей через эту точку.
Производная функции в точке в направлении вектора , образующего с осями координат углы и , вычисляется по формуле
Задача 3. Найти градиент и производную функции в точке М(3,4) в направлении вектора l, составляющего угол с положительным направлением оси Ох.
Решение. Найдем частные производные функции в точке М:
.
Тогда градиент будет равен: .
Найдем направляющие косинусы: . Тогда производная по направлению будет равна
|
|
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!