Определение интервала унимодальности.

Для определения интервала, содержащего точку минимума, обычно используют следующую процедуру.

Выбирают две стартовые точки x и у такие, что y=x+s.

Затем, если f(x)>f(y), определяют следующие точки xk+1 = xk + s до тех пор, пока не будет получено f(xk) < f(xk+1).

В этом случае полученный интервал [x, x^k+1] "накрывает" искомую точку минимума.

Если же f(x) < f(y), то выбирается противоположное направление. Точки строятся по правилу x^k+1= x^k- s до тех пор, пока не будет получено f(x^k) < f(x^k+1).

Основной проблемой при применении описанной процедуры является правильный выбор величины s. Во многих прикладных задачах переменная изменяется в пределах многих степеней десятки (например, от 0,001 до 10000). Тогда при неправильном выборе величины s минимизация может потребовать слишком больших затрат (при очень малом s - на "накрытие" точки минимума, а при большом - на последующее за "накрытием" сужение отрезка до требуемой точности).

Для того чтобы преодолеть эту проблему, был предложен подход с удвоением шага. В этом случае определение верхней границы интервала осуществляется по правилу

x^k+1= x⁰+ 2^ks.

После того, как точка минимума была накрыта, нижняя граница интервала определяется тем же самым процессом, но с изменением знака перед s и в обратном направлении.

И последнее, что следует здесь учесть - это возможность того, что целевая функция вообще является постоянной. Для учета этого обстоятельства необходимо вводить максимальную длину шага, которая не должна быть превышена в процессе определения отрезка, содержащего точку минимума.

Методы прямого поиска. (деления интервала)

Иногда такой процесс используют не только для "накрытия" точки минимума, но и для ее отыскания. Будем считать функцию f(x) унимодальной на отрезке [a, b].

Шаблонный подход: равномерно распределить точки в пределах начального интервала. При этом длина интервала, гарантированно накрывающего точку минимума, .

Дихотомия (метод половинного деления). Исходный отрезок делится пополам парой измерений: , , где ε – некоторое заранее заданное достаточно малое число. Вычисляются значения функции в этих точках и сравниваются между собой. Если при поиске минимума , то отрезок [a; x₁] заведомо не содержит точку минимуиа и поэтому интервал поиска можно сократить, перенеся его левый конец в точку х₂. После этого возникает та же, что и ранее, задача, но интервал поиска сокращен (с точностью до ε) вдвое. Таким образом осуществляется последовательное деление исходного интервала пополам парами измерений. При этом .

Дихотомия существенно эффективнее, чем шаблонный подход. Так, для сужения интервала в 100 раз нужно 198 пассивных измерений или 14 дихотомий.

Метод Фибоначчи. (число Фибоначчи равно сумме двух предыдущих ). Недостаток метода Фибоначчи – необходимость заранее знать число шагов n. , .

.

На первом шаге симметрично относительно краев интервала строятся точки на расстоянии , . Вычисляются значения функций в этих точках и сравниваются. Аналогично методу Дихотомии производится сужение интервала.

На втором и последующих шагах делается только одно измерение , …, , , если и , если . И так далее, до тех пор пока интервал неопределенности не будет меньше ε. В качестве точки минимума выбирается середина отрезка.

Для сокращения интервала в 100 раз требуется всего 11 измерений.

Метод золотого сечения. Принципиальная характеристика метода: симметрия измерений относительно концов интервала. . Первое измерение выбирается так, чтобы , второе измерение проводится симметрично первому. Дальнейшие действия проводятся как в методе Фибоначчи. Таким образом после проведения очередного измерения, на чинная со второго, интервал сокращается в 1,618 раз.

Поиск методом "золотого сечения" является предельным случаем поиска Фибоначчи и при достаточно больших n дает результат, лишь на 17% худший. Зато не требует начального задания количества вычислений функции.

Метод Монте-Карло работает аналогично Фибоначчи и «золотому сечению» положение разбиения же выбирается случайным образом. Прост в реализации, результаты в среднем близки к «золотому сечению».