Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2017-06-04 | 483 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Лабораторная работа № 6
Цель работы: лабораторной работы – ознакомить студентов с возможностями использования пакета Mathcad для решения кратных интегралов, привить навыки работы с компьютером в процессе изучения дисциплины «Компьютерные исчисления», навыки самостоятельной работы с современными математическими программами.
Указания к выполнению лабораторной работы:
Подобно тому, как задача о нахождении площади криволинейной трапеции, а также ряд задач механики и в, частности, задача о нахождении работы, совершаемой переменной силой по перемещению материальной точки вдоль отрезка прямой, привели к понятию определённого интеграла, так и более сложные задачи геометрии и физики (нахождение объёма тела, площади криволинейной поверхности, массы тела, статических моментов и моментов инерции тел и др.) приводят к понятию кратных интегралов.
Вычисления двойных и тройных интегралов вызывают некоторые трудности у студентов (как правило, расстановка пределов интегрирования в повторных интегралах). Использование компьютерной техники, программного продукта Mathcad позволяет производить достаточно громоздкие вычисления, связанные с непосредственным вычислением интегралов и строить графики функций, ограничивающих область интегрирования, что существенно повышает наглядность и способствует более глубокому пониманию изучаемых теоретических положений. В пятой и шестой лабораторных работах рассмотрены элементы теории поля, т. е.
решается ряд задач, связанных со скалярными и векторными полями.
Отчёт по лабораторной работе должен включать выполнение индивидуального задания и ответы на вопросы.
Задание 1. Вычислить двойной интеграл по указанной области G.
|
Задание 2: Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
Задание 3. Вычислить координаты центра тяжести пластины.
Задание 4. Тело V задано ограничивающими его поверхностями, - плотность. Найти объем тела.
Задание 5. Покажите, что поле является потенциальным, и найдите потенциал этого поля. НЕ НУЖНО ДЕЛАТЬ!!!
Теоретические положения
Двойной интеграл
Пусть функция f(x, y) = f(P) определена и непрерывна на замкнутой ограниченной области G плоскости O xy, – некоторое разбиение области на элементарные подобласти , площади которых также обозначим через , а диаметры – через dk. Зафиксируем точки Pk Î , k=1, 2, …n. Выражение
называется интегральной суммой для функции f(P) по области G.
Определение. Если существует предел последовательности интегральных сумм Sn при (при этом n ®¥) и если этот предел не зависит ни от способа разбиения области G на элементарные подобласти , ни от выбора точек Pk Î .
.
Таким образом,
.
Для двойного интеграла справедливы свойства линейности и аддитивности:
а) линейность:
;
б) аддитивность: если G = G1+G2, то
.
Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторных интегралов следующим образом. Пусть область G (рис. 6.1) ограничена кривыми , , x=a, x=b причём всюду на [ a, b ] функции и непрерывны и . Тогда
,
причём сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной y (x считается постоянной), потом полученный результат интегрируется по x. Интегралы такого вида называются повторными. Если кривая (или кривая ) в промежутке задаётся различными аналитическими выражениями, то следует разбить область интегрирования на части и воспользоваться свойством аддитивности интеграла.
Рис.6.1 Рис. 6.2
Аналогично, можно построить второй повторный интеграл. Если область G ограничена кривыми , , y=c, y=d, причём всюду на [c, d] функции и непрерывны и (рис. 6.2), то
.
Векторное поле
Векторным полем называется часть пространства, каждой точке которого поставлен в соответствие вектор :
|
.
Векторными линиями векторного поля называются такие линии, которые в каждой своей точке М имеют направление . Они определяются системой дифференциальных уравнений
.
Если поле а – силовое поле, то работа А п оля при перемещении материальной точки по дуге L равна
.
Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру С в выбранном направлении равна
.
Потоком векторного поля через поверхность S в сторону, определяемую единичным вектором нормали к поверхности S, называется интеграл
.
Дивергенцией векторного поля в точке M 0 называется скалярная величина , равная отнесённому к единице объёма потоку вектора через поверхность бесконечно малого объёма, окружающего данную точку:
.
В декартовых координатах дивергенция вычисляется по формуле
.
Ротором (вихрем) векторного поля в точке M 0 называется вектор, проекция которого на любое направление определяется равенством
,
где S – площадь площадки, перпендикулярной , ограниченной замкнутым контуром C. Контур С пробегается против часовой стрелки, если смотреть на него из конца вектора .
В декартовых координатах:
.
Формула Стокса. Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру С равна потоку его ротора через произвольную поверхность S, «натянутую» на контур С:
.
где направление нормали к поверхности S согласовано с направлением обхода контура С.
Вектор , являющийся градиентом некоторого скалярного поля φ называется потенциальным вектором, а поле вектора называется потенциальным полем, скалярная функция φ называется потенциалом векторного поля.
Для потенциальности поля , заданного в односвязной области, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым, т.е. чтобы . В этом случае существует потенциал φ, определяемый как решение уравнения
.
С точностью до постоянной он находится по формуле
,
где интеграл берётся по любому пути, исходящему из некоторой фиксированной точки M 0, где поле существует. Обычно в качестве пути выбирают ломаную, звенья которой параллельны координатным осям, например, ломаную M 0 M 1 M 2 M (рис. 6.5), а φ (M 0) полагают равной С (С=const). Тогда
.
Рис. 6.5
Кратные интегралы
Кратным называется интеграл функции многих переменных, берущийся по нескольким переменным. Для того чтобы вычислить кратный интеграл:
|
1. Введите, как обычно, оператор интегрирования.
2. В соответствующих местозаполнителях введите имя первой переменной интегрирования и пределы интегрирования по этой переменной.
3. На месте ввода подынтегральной функции введите ещё один оператор интегрирования (рис. 6.6).
4. Точно так же введите вторую переменную, пределы интегрирования и подынтегральную функцию (если интеграл двукратный) или следующий оператор интегрирования (если более чем двукратный) и т. д., пока выражение с многократным интегралом не будет введено окончательно.
Рис. 6.6. Ввод нескольких операторов интегрирования для расчёта кратного интеграла
Пример символьного и численного расчёта двукратного интеграла в бесконечных пределах приведён в листинге 6.1. Обратите внимание, что символьный процессор "угадывает" точное значение интеграла л, а вычислительный определяет его приближённо и выдаёт в виде числа 3.142.
Листинг 6.1. Символьное и численное вычисления кратного интеграла:
Внимание!
Аккуратнее вводите в редакторе Mathcad кратные интегралы, если они имеют различные пределы интегрирования по разным переменным. Не перепутайте пределы, относящиеся к разным переменным. Если вы имеете дело с такого рода задачами, обязательно разберитесь с листингом 6.2, в котором символьный процессор вычисляет двукратный интеграл. В первой строке пределы интегрирования [а,b] относятся к переменной у, а во второй строке – к переменной X.
Листинг 6.2. Символьное вычисление кратных интегралов:
Указания к выполнению лабораторной работы:
Задание 1: Вычислить двойной интеграл по указанной области G.
Порядок выполнения задания 1
1. Определите подынтегральную функцию как функцию переменных x и y.
2. Определите кривые, задающие область интегрирования.
3. Постройте на одном графике линии, ограничивающие область интегрирования.
4. Найдите границы области интегрирования и точки пересечения графиков
данных функций.
5. Вычислите аналитически искомый интеграл.
6. Вычислите двойной интеграл, изменяя порядок интегрирования.
Пример 1. Расставить пределы интегрирования двумя способами и вычислить
двойной интеграл , если область интегрирования G ограничена линиями у=х, , х=2.
|
Образец выполнения задания в Mathcad
Найдём точки пересечения графиков функций. Для этого надо решить систему
уравнений
Система имеет два решения, но исходя из графика видно, что подходит точка с координатами (1,1). а – x- вая координата точки. Ещё две точки имеют координаты (2, y1(2)), (2, y2(2)). Найдём другое выражение для границ области интегрирования - это функции x2(y), x3(y).
Вычислим двойной интеграл, переходя к повторному двумя способами.
Рис 6.7 – Решение задания 1.
Таблица 6.1
Варианты задания1
№№ | f(x,y) | Уравнения линий, ограничивающих область G |
Задание 2: Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
Порядок выполнения задания 2
1. Введите полярные координаты.
2. Определите в полярных координатах уравнение кривых, ограничивающих данную область.
3. Изобразите на графике область интегрирования.
4. Вычислите площадь полученной фигуры, используя полярные координаты.
Вариант 1-12. Рассмотрите двойной интеграл где D: y = x + m,
y = x + n, y = p x + r, y = p x + t.
Таблица 6. 3
N | m | n | p | t | r | N | m | n | p | t | r |
1. | -4 | -1/4 | 7. | -9 | -1/9 | 13/9 | |||||
2. | -5 | -1/5 | 9/5 | 8. | -10 | -1/10 | 7/5 | ||||
3. | -6 | -1/6 | 5/3 | 9. | -1 | -1 | |||||
4. | -7 | -1/7 | 11/7 | 10. | -11 | -1/11 | 15/11 | ||||
5. | -2 | -1/2 | 11. | -2 | -1 | -2 | |||||
6. | -8 | -1/8 | 3/2 | 12. | -3 | -2 | -3 |
Вариант 12-24. Рассмотрите двойной интеграл D: y = x2 - m,
y = x2 - n, y = - x2 + r, y = -x2 + t, x>0.
Таблица 6. 4
N | m | n | t | r | N | m | n | t | r |
13. | 19. | ||||||||
14. | 20. | ||||||||
15. | 21. | ||||||||
16. | 22. | ||||||||
17. | -1 | 23. | |||||||
18. | -2 | 24. |
Задание 3. Вычислить координаты центра тяжести пластины.
Порядок выполнения задания 2
1 Записать уравнения кривых, которые описывают область D пластины.
2 Найти точки их пересечения, для того чтобы использовать их в двукратном интегрировании.
3 Найти площадь S однородной пластинки через двойной интеграл.
3.1 Обратиться на панели Символы к функции simplify.
3.2 Ввести оператор интегрирования. В соответствующих местах заполнить имя первой переменной и границы интегрирования.
3.3 На месте ввода функции под интегралом ввести ещё один оператор интегрирования, границы интегрирования и подынтегральную функцию
|
4 Найти аналогично статические моменты Mx и My пластины относительно осей Ох и Оу как двойные интегралы
5 Определить координаты центра тяжести как отношение подынтегральной функции, которая определяет статические моменты пластины относительно осей Ох и Оу
Пример 3. Вычислить координаты центра тяжести пластины площадь которой ограничена линиями x=4y-y 2 и x+y=6.
Образец выполнения задания в Mathcad:
Найти координаты точек пересечения заданных линий, для чего необходимо решить систему уравнений (одной из встроенных функций MathCad, графически или решить систему уравнений).
x=4y-y2
x+y=6.
В результате будут получены точки пересечения А(4;2) и В(3;3).
Записать формулу для вычисления площади через кратный интеграл и использовать на панели Символы функцию simplify
.
Вычислить координаты центра тяжести пластины, которая ограничена кривыми y2=4x+4 и y2=-2x+4.
Площадь
Статические моменты относительно осей Ох и Оу
Координаты центра тяжести
Рис 6.9 – Решение задания 3
Таблица 6.5
Варианты задания 3
Номер варианта | Функции для вычисления площади фигуры | Функции для вычисления координат центра тяжести фигуры | ||
x=y2-2y; x+y=0 | ||||
y=2-x; y2=4x+4 | y=x2; y=2x2; x=1;x=2 | |||
y2=4x-4; y2=2x (извне параболы) | y2=x; x2=y | |||
3y2=25x; 5x2=9y | y= | |||
y2+2y-3x+1=0; 3x-3y-7=0 | ||||
y=4x-4x2; y=x2-5x | ||||
x=4-y2; x+2y-4=0 | ||||
y2=4(x-1); x2+ y2=4 (извне параболы) | ||||
x=y2-2y; x+y=0 | ||||
y=2-x; y2=4x+4 | ||||
y2+2y-3x+1=0; 3x-3y-7=0 | ||||
y=4x-4x2; y=x2-5x | y2=x; x2=y | |||
x=4-y2; x+2y-4=0 | y= | |||
x=y2-2y; x+y=0 | ||||
y=2-x; y2=4x+4 | y=x2; y=2x2; x=1;x=2 | |||
y2+2y-3x+1=0; 3x-3y-7=0 | ||||
y=4x-4x2; y=x2-5x | ||||
x=4-y2; x+2y-4=0 | ||||
x=y2-2y; x+y=0 | ||||
y=2-x; y2=4x+4 | ||||
y2=4(x-1); x2+ y2=4 (извне параболы) | ||||
y=2-x; y2=4x+4 | y=x2; y=2x2; x=1;x=2 | |||
2 | 3 | |||
y2=4x-4; y2=2x (извне параболы) | y2=x; x2=y | |||
x=y2-2y; x+y=0 | y= | |||
y=2-x; y2=4x+4 | ||||
3y2=25x; 5x2=9y | ||||
x=y2-2y; x+y=0 | ||||
y2+2y-3x+1=0; 3x-3y-7=0 | ||||
y=4x-4x2; y=x2-5x | y=x2; y=2x2; x=1;x=2 | |||
x=4-y2; x+2y-4=0 | y2=x; x2=y | |||
Задание 4. Тело V задано ограничивающими его поверхностями, - плотность. Найти объем тела.
Порядок выполнения задания 4
1. Задайте пределы интегрирования (переходя к цилиндрическим или сферическим координатам, если это удобно).
2. Выразите уравнение поверхностей в сферических (цилиндрических) координатах.
3. Задайте якобиан преобразования.
4. Определите плотность тела.
5. Введите формулу для вычисления объёма тела и найдите его значение.
Пример выполнения задания:
Пример 4. Переходя к цилиндрическим координатам, вычислить тройной интеграл , где область Т задана неравенствами
, ,
Образец выполнения задания в Mathcad:
Указание: Переходя в тройном интеграле к цилиндрическим (сферическим) координатам, целесообразно найти пределы интегрирования отдельно, по возможности используя инструменты Mathcad.
Таблица 6.4
Варианты задания 4
N | V | |
1. | x 2 + y 2 =1, x 2 + y 2 = 2 z, x = 0, y = 0, z = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0) | 10 x |
2. | x 2 + y 2 + z 2 =9, x 2 + y 2 = 4 (x 2 + y 2 ≤4), z = 0 (z ≥ 0) | 2 z |
3. | x 2 + y 2 + z 2 =1, x 2 + y 2 = 4, x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y≥ 0, z≥ 0) | |
4. | x 2 + y 2 = z 2, x 2 + y 2 = z, x = 0, y = 0 (x≥ 0, y ≥ 0) | 32 z |
5. | x 2 + y 2 = 4, x 2 + y 2 = 4 z, x= 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y≥ 0) | 5 y |
6. | x 2 + y 2 + z 2 =9, x 2 + y 2 = 4 (x 2 + y 2 ≤ 4) | |
7. | 16(x 2 + y 2) = z 2, x 2 + y 2 =1, x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) | 5(x 2 + y 2) |
8. | x 2 + y 2 + z 2 = 4, x 2 + y 2 = 4 z 2, x = 0, y = 0 (x≥ 0, y ≥ 0, z≥ 0) | 10 z |
9. | x 2 + y 2 =1, x 2 + y 2 = z, x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y ≥ 0) | 10 y |
10. | x 2 + y 2 + z 2 = 4, x 2 + y 2 =1 (x 2 + y 2 ≤1) | 6 z |
11. | 9(x 2 + y 2) = z 2, x 2 + y 2 = 4, x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) | |
12. | x 2 + y 2 + z 2 = 4, x 2 + y 2 =9 z 2 , x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) | |
13. | x 2 + y 2 =1, x 2 + y 2 = 6 z, x = 0, y = 0, z = 0 (x ≥ 0, y ≥0) | 90 y |
14. | x 2 + y 2 + z 2 =9, x 2 + y 2 = 4 (x 2 + y 2 ≤ 4), y = 0 (y ≥ 0) | |
15. | 25(x 2 + y 2) = z 2, x 2 + y 2 = 4, x = 0, y = 0, z = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥0) | 2(x 2 + y 2) |
16. | x 2 + y 2 = 4, x 2 + y 2 =8 z, x = 0, y = 0, z = 0 (x ≥ 0, y ≥0) | 5 x |
17. | x 2 + y 2 + z 2 =16, x 2 + y 2 = 4 (x 2 + y 2 ≤ 4) | 2 |
18. | 36(x 2 + y 2) = z 2, x 2 + y 2 =1, x = 0, z = 0 (x= 0, z = 0) | |
19. | x 2 + y 2 + z 2 =1, x 2 + y 2 = 4 z 2, x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) | 20 z |
20. | 49(x 2 + y 2) =16 z 2, x 2 + y 2 = 4 z 2, x = 0, y = 0, z = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) | 20 z |
21. | 25(x 2 + y 2) = 4 z 2, 5(x 2 + y 2) = 2 z, x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y 0) | 28 xz |
22. | 25(x 2 + y 2) = z 2, 5(x 2 + y 2) = z, x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0) | 14 yz |
23. | 16(x 2 + y 2) = z 2, x 2 + y 2 =1, x = 0, z = 0 (x ≥ 0, z ≥ 0) | 20 z |
24. | x 2 + y 2 + z 2 =16, x 2 + y 2 =4 (x 2 + y 2 ≤ 4) | 5 x |
Лабораторная работа № 6
Цель работы: лабораторной работы – ознакомить студентов с возможностями использования пакета Mathcad для решения кратных интегралов, привить навыки работы с компьютером в процессе изучения дисциплины «Компьютерные исчисления», навыки самостоятельной работы с современными математическими программами.
Указания к выполнению лабораторной работы:
Подобно тому, как задача о нахождении площади криволинейной трапеции, а также ряд задач механики и в, частности, задача о нахождении работы, совершаемой переменной силой по перемещению материальной точки вдоль отрезка прямой, привели к понятию определённого интеграла, так и более сложные задачи геометрии и физики (нахождение объёма тела, площади криволинейной поверхности, массы тела, статических моментов и моментов инерции тел и др.) приводят к понятию кратных интегралов.
Вычисления двойных и тройных интегралов вызывают некоторые трудности у студентов (как правило, расстановка пределов интегрирования в повторных интегралах). Использование компьютерной техники, программного продукта Mathcad позволяет производить достаточно громоздкие вычисления, связанные с непосредственным вычислением интегралов и строить графики функций, ограничивающих область интегрирования, что существенно повышает наглядность и способствует более глубокому пониманию изучаемых теоретических положений. В пятой и шестой лабораторных работах рассмотрены элементы теории поля, т. е.
решается ряд задач, связанных со скалярными и векторными полями.
Отчёт по лабораторной работе должен включать выполнение индивидуального задания и ответы на вопросы.
Задание 1. Вычислить двойной интеграл по указанной области G.
Задание 2: Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
Задание 3. Вычислить координаты центра тяжести пластины.
Задание 4. Тело V задано ограничивающими его поверхностями, - плотность. Найти объем тела.
Задание 5. Покажите, что поле является потенциальным, и найдите потенциал этого поля. НЕ НУЖНО ДЕЛАТЬ!!!
Теоретические положения
Двойной интеграл
Пусть функция f(x, y) = f(P) определена и непрерывна на замкнутой ограниченной области G плоскости O xy, – некоторое разбиение области на элементарные подобласти , площади которых также обозначим через , а диаметры – через dk. Зафиксируем точки Pk Î , k=1, 2, …n. Выражение
называется интегральной суммой для функции f(P) по области G.
Определение. Если существует предел последовательности интегральных сумм Sn при (при этом n ®¥) и если этот предел не зависит ни от способа разбиения области G на элементарные подобласти , ни от выбора точек Pk Î .
.
Таким образом,
.
Для двойного интеграла справедливы свойства линейности и аддитивности:
а) линейность:
;
б) аддитивность: если G = G1+G2, то
.
Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторных интегралов следующим образом. Пусть область G (рис. 6.1) ограничена кривыми , , x=a, x=b причём всюду на [ a, b ] функции и непрерывны и . Тогда
,
причём сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной y (x считается постоянной), потом полученный результат интегрируется по x. Интегралы такого вида называются повторными. Если кривая (или кривая ) в промежутке задаётся различными аналитическими выражениями, то следует разбить область интегрирования на части и воспользоваться свойством аддитивности интеграла.
Рис.6.1 Рис. 6.2
Аналогично, можно построить второй повторный интеграл. Если область G ограничена кривыми , , y=c, y=d, причём всюду на [c, d] функции и непрерывны и (рис. 6.2), то
.
Замена переменных в двойных интегралах
Пусть функции
и (1)
осуществляют взаимно-однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области Г плоскости Ouv на область G плоскости Oxy. Это означает, что в области G существует обратное непрерывно дифференцируемое отображение и в области Г отличен от нуля якобиан преобразования, т.е.
, . (2)
Величины u и v можно рассматривать как прямоугольные координаты для точек области Г и в то же время как криволинейные координаты точек области G.
|
|
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!