Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-06-04 | 242 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
П.1. Основные понятия
ДУ порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде (1), или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной: (2).
Определение 1. Решением ДУ (2) называется функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Определение 2. Общим решением ДУ (2) называется функция , где c1 и c2 – не зависящие от x произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям:
1) φ(x; c1; c2) является решением ДУ для каждого фиксированного значения c1 и c2.
2) Каковы бы ни были начальные условия y(x0) = y0, y’(x0) = y’0 (3) существуют единственные значения постоянных и такие, что функция является решением уравнения (2) и удовлетворяет начальным условиям (3).
Определение 3. Всякое решение уравнения (2), получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных и , называется частным решением.
Решения ДУ (2), записанные в виде называются общим и частным интегралом соответственно.
График всякого решения ДУ второго порядка называется интегральной кривой. Общее решение ДУ (2) представляет собой множество интегральных кривых; частное решение – одна интегральная кривая этого множества, проходящая через точку (x0; y0) и имеющая в ней касательную с заданным угловым коэффициентом .
Переписав ДУ (1) в виде , видим, что ДУ второго порядка устанавливает связь между координатами точки (x; y) интегральной кривой, угловым коэффициентом k = y’ касательной к ней и кривизной в точке (x; y). В этом состоит геометрическое истолкование ДУ второго порядка.
Как и в случае уравнения первого порядка, задача нахождения решения ДУ (2), удовлетворяющего заданным начальным условиям (3), называется задачей Коши.
|
Теорема 1 (существования и единственности задачи Коши). Если в уравнении (2) функция и ее частные производные f’y и f’y’ непрерывны в некоторой области D изменения переменных x, y, y’, то для всякой точки (x0; y0; y’0) D существует единственное решение уравнения (2), удовлетворяющее начальным условиям (3).
Аналогичные понятия и определения имеют место для ДУ n-го порядка, которое в общем виде записывается как или (4), если его можно разрешить относительно старшей производной.
Начальные условия для ДУ (4) имеют вид (5).
Общее решение ДУ n-го порядка является функцией вида , содержащей n произвольных, независящих от x, постоянных.
Решение ДУ (4), получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных , называется частным решением.
Задача Коши для ДУ n-го порядка: найти решение ДУ (4), удовлетворяющее начальным условиям (5).
Проинтегрировать (решить) ДУ n-го порядка означает следующее: найти его общее или частное решение (интеграл) в зависимости от того, заданы начальные условия или нет.
Задача нахождения ДУ n-го порядка сложнее, чем первого. Поэтому рассмотрим лишь отдельные виды ДУ высших порядков.
|
|
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!