Математическое моделирование

Бурное развитие науки и техники в наши ни было бы невозможно без успехов в решении сложных комплексных задач. В решении этих задач наравне со специалистами самых разных профессий (инженерами, физиками, технологами) участвуют и математики.

В основе всех расчетных работ лежит математическое моделирование физических процессов, которое сейчас стало одним из основных методов исследования в науке и технике. Общую схему любого исследования можно представить следующим образом:

изучаемое явление

1. Физическая модель

2. Математическая модель, (математическая задача)

3. Решение математической задачи

Интерпретация решения математической задачи в терминах физической модели

Сопоставление физической модели и явления

Заметим, что:

Изучению средствами математики

доступна лишь математическая модель

явления.

Еще Аристотель писал:

"… какими же предметами должен заниматься математик? Ведь, конечно, не окружающими нас вещами, ибо ни одна такая вещь не сходна с тем, что исследуют математические науки".

Замечание: Далеко не всегда интерпретация результата решения мат. задачи в терминах физической модели явления очевидна.

Слово «модель» исходит от латинского слова modul (мера, масштаб, способ действия). В частности оно обозначает копию предмета, служащую для его изучения.

Совершенно очевидно, что для этого модель должна правильно воспроизводить изучаемые свойства предмета.

Математическая модель физического явления – это обычно система управлений, описывающая элементарные физические процессы, из которых явления складывается.

Математическая модель предназначена для расчета характеристик физического явления.

Следствия из высказывания Аристотеля:

1) чтобы получить количественное описание явления нужно найти адекватное математическое описание всех его существенных особенностей, т.е. составить математическую модель явления.

2) нужно всегда проявлять осторожность при сопоставлении результатов расчетов с физическим явлением, ибо математическая модель никогда не бывает тождественная наблюдаемому явлению.

Естественно желание получить более точные результаты. На первый взгляд сделать это легко (достаточно максимально подробно описать явление уравнениями). Но оказывается, что:

1) в общем случае эти уравнения очень сложны;

2) в качестве исходных данных в эти уравнения входят величины, которые известны из эксперимента с большой погрешностью.

Таким образом мы сталкиваемся с одной из центральных проблем – проблемой выбора между подробностью описания явления и возможностью эффективно провести желаемые расчеты.

Т.е. чем точнее мы пытаемся учесть все процессы в происходящем явлении, тем сложнее становится его математическое описание и тем труднее получить количественную информацию на основе этого описания.

Случается так, что математическая формулировка физических законов, описывающих явление, настолько сложна, что непосредственно на основе этой формулировки даже с помощью современных вычислительных средств нет возможности получить количественной информации о явлении.

Именно такая ситуация типична для большинства задач современной математической физики – науки о математических моделях физических явлений.

Таким образом проектные организации (в частности КБХА) заинтересованы в специалистах-математиках, которые бы участвовали в построении математической модели на основе физической модели, осуществляли исследование возникшей математической задачи, решали ее и принимали участие в интерпретации решения математической задачи в терминах физической модели.

Фактически (можно констатировать) без участия таких специалистов в решении проблемных вопросов невозможен расчет сложных физических явлений, решения задач оптимизации и создание новой техники.

Рассмотрим математическое моделирование на примере изучения курса механики жидкости и рассмотрения некоторых практических задач.

Примечание:

Каждый шаг в развитии науки сопряжен с преодолением трудностей в постижении истины и введением все более сложных понятий и предположений.

Освоение знаний сразу на высоком уровне трудно для понимания. Эти трудности естественны, т.к. каждый человек, познавая новое, фактически повторяет путь, пройденный человечеством.

2. Основные понятия и определения