Указания к выполнению контрольной задачи Д2

Рекомендуемая учебная литература: [ 1 ], часть 2: гл.VI, § 31-36, с.416-427; гл. VII, § 42-45, с.445-453; гл.IX, § 53-56, с.473–482; [ 2 ]: гл. XXI, § 100–105, с.263–273; гл.XXII, § 106–109, с.273–280; гл. XXIII, § 110–112, с.280–284; гл.XXIV, § 115–118, с.290-298.

Задача Д2 – на применение общих теорем динамики механической системы: теорем о движении центра масс и об изменении кинетического момента.

Под механической системой в курсе теоретической механики понимается совокупность взаимодействующих между собой материаль­ных точек, движения которых взаимосвязаны. Для изучения движения механической системы вводятся некоторые ее характеристики.

Центром масс механической системы называется геометрическая точка, радиус-вектор которой в выбранной системе координат определяется формулой

(3.21)

где n – число материальных точек системы, т_k – масса k -й точки, – ее радиус-вектор, – масса всей системы.

Декартовы координаты центра масс определяются соответственно формулами:

, (3.22)

где – координаты k -й точки.

Частным случаем механической системы, состоящей из отдельных материальных точек, является абсолютно твердое тело, которое называют также неизменяемой механической системой, то есть системой, расстояния между точками которой не изменяются при любых взаимодействиях. В случае абсолютно твердого тела точек будет не конечное число n, а бесчисленное множество, массы которых распределены в теле непрерывно.

Следовательно, для абсолютно твердого тела суммы, стоящие справа в формулах (3.21) и (3.22), перейдут в интегралы:

В этих формулах интеграл, записанный условно, распространен по массе тела. Для твердых тел, находящихся вблизи поверхности Земли, центр масс и центр тяжести совпадают.

Инерционные свойства механической системы определяются шестью моментами инерции:

, (3.23)

. (3.24)

Соответственно для абсолютно твердого тела:

, (3.25)

. (3.26)

Моменты инерции (3.23) и (3.25) называют осевыми, а (3.24) и (3.26) – центробежными.

Осевые моменты инерции характеризуют меру инерции тел при вращательном движении. Центробежные моменты инерции характеризуют несимметричность распределения масс относительно координатных плоскостей.

Моменты инерции некоторых однородных тел будут следующими:

 

 

1) Круглая однородная пластина радиуса R и массой М (рис. 29):

Рис. 29

,   .

 

2) Тонкое однородное кольцо радиуса R и массой М (рис.30):

Рис. 30

,   .

 

3) Однородная прямоугольная пластина массой М со сторонами 2а и 2b (рис.31):

,   .

Рис. 31

 

4) Тонкий однородный стержень длиной 2 а и массой М (рис. 32):

,   .

Рис. 32

 

5) Круглый однородный цилиндр радиуса R и массой М (рис. 33):

,   .

Рис. 33

 

В случае, когда необходимо определить момент инерции относи­тельно оси, например z ₁, параллельной центральной, то есть проходящей через центр масс С, момент инерции определяется по формуле Гюйгенса-Штейнера:

,

где – момент инерции относительно центральной оси; – момент инерции относительно оси, параллельной центральной;
М – масса тела; d – расстояние между указанными осями.

Если входящие в механическую систему тела совершают поступательное движение или их можно рассматривать как материальные точки, то для определения движения одного из тел системы целесообразно воспользоваться теоремой о движении центра масс:

,

где – вектор ускорения центра масс, – главный вектор действующих на точки системы внешних сил (вызванных действием тел, не входящих в механическую систему).

В проекциях на оси декартовых координат теорема имеет вид:

.

С помощью теоремы о движении центра масс задачи следует решать в следующей последовательности:

1) выбрать систему координат;

2) изобразить механическую систему в этой системе координат;

3) приложить к механической системе все действующие на нее внешние силы;

4) записать теорему о движении центра масс;

5) проектируя векторное выражение теоремы о движении центра масс на выбранные оси координат, составить дифференциальные уравнения движения центра масс системы;

6) задать начальные условия для искомых движений тел;

7) проинтегрировать полученные в п.5 дифференциальные урав­нения движения центра масс системы;

8) по формуле (3.22) составить, используя законы движения отдель­ных тел системы, выражения для координат центра масс (при их задании по условиям задачи);

9) подставить выражения координат центра масс (п.8) в уравнения, полученные в п.7;

10) используя начальные условия, определить константы интегри­рования;

11) используя полученные либо в п.9, либо, в зависимости от условия задачи, в п.7 уравнения, определить искомые величины.

В задачах, где в механическую систему входят тела, совершающие вращательное движение, для определения их движения или угловой скорости целесообразно воспользоваться теоремой об изменении кине­тического момента относительно некоторого неподвижного центра О:

,

где – главный момент внешних сил, действующих на систему относи­тельно центра О; – кинетический момент или главный момент коли­чества движения системы, который определяется суммой векторных произведений; , где – вектор количества движения k -й точки.

В проекциях на неподвижные оси декартовых координат теорема имеет вид:

.

Кинетический момент тела, совершающего вращательное движение вокруг неподвижной оси z, вычисляется по формуле

K_z = I_z w,

где I_z – момент инерции тела относительно оси вращения; w = – угловая скорость тела.

Следовательно, дифференциальное уравнение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси z имеет вид:

.

С помощью теоремы об изменении кинетического момента задачи следует решать в следующей последовательности:

1) изобразить механическую систему, выбрав при этом систему координат так, чтобы одна из осей, например z, совпала с неподвижной осью вращения тела;

2) приложить к механической системе все действующие на нее внешние силы;

3) записать теорему об изменении кинетического момента относительно выбранной оси z;

4) вычислить главный момент внешних сил, приложенных к системе, относительно той же оси z;

5) вычислить кинетический момент системы относительно оси z;

6) составить дифференциальное уравнение движения системы, подставив результаты, полученные в пп.4 и 5, в п.3;

7) задать начальные условия движения системы;

8) проинтегрировать полученное в п.6 дифференциальное урав­нение, определить константы интегри­рования;

9) используя полученное в п.8 уравнение, определить, в зави­симости от условия, искомые величины.

Примеры выполнения задания

Пример 1

Груз D массой m ₂ перемещается по цилиндрическому каналу вертикальной однородной плиты массой m ₁ (рис. 34), движущейся, получив начальную скорость u ₀, по гладким горизонтальным направляющим. Зная закон движения груза s = F (t) относительно плиты, определить перемещение плиты, ее скорость, а также давление плиты на направляющие в заданный момент времени t = t ₁; s – дуговая координата точки D, отсчитываемая от точки О в метрах.

Дано: m ₁ = 10 кг, m ₂ = 5 кг, R = 0,5 м, u ₀ = 0, s = t ², t ₁ = 1 с.

Решение. Задачу будем решать с помощью теоремы о движении центра масс в после­довательности, указанной выше.

 

Рис. 34 Рис. 35

Механическая системы состоит из плиты, принимаемой за абсолютно твердое тело, совершающее поступательное прямолинейное движение, и груза D, принимаемого за материальную точку. Ось x системы координат O ₁ ху направим вдоль горизонтальных направляющих (рис. 35). Начало отсчета O ₁ выберем так, чтобы ось у проходила через начальное положение центра масс С ₀. Тогда текущее положение центра масс будет определяться координатой х. Относительное движение груза D задано естественным способом и определяется текущей дугой s, отсчитываемой от ­точки О (начальное поло­жение точки D). На систему действуют внешние силы: сила тяжести плиты , сила тяжести груза , суммарная реакция направляющих .

Запишем теорему о движении центра масс:

, (3.27)

где М = m ₁ + m ₂.

Проецируя (3.27) на оси х и у и учитывая, что , получим дифференциальные уравнения движения центра масс системы:

. (3.28)

Запишем начальные условия движения плиты:

при t = 0 x ₀ =0, = u ₀ = 0. (3.29)

Интегрируя первое уравнение (3.28) дважды, имеем

. (3.30)

где С ₁ и C ₂ – константы интегрирования.

По формулам (3.22): ,

Из рис. 35 видно, что , где .

Следовательно, и

, (3.31)

. (3.32)

Продифференцируем (3.31):

. (3.33)

Подставляя (3.31) и (3.33) в уравнения (3.30), получим

,

. (3.34)

Для определения констант интегрирования С ₁ и C ₂ подставим начальные условия (3.29) в (3.34):

.

Из первого уравнения (3.34) получим закон движения плиты, соответствующий начальным условиям:

. (3.35)

Из второго уравнения (3.34) имеем зависимость для определения скорости плиты:

. (3.36)

Перемещение плиты и ее скорость в момент времени t ₁ = 1 с найдем, подставляя время в уравнения (3.35) и (3.36). Получим х ₁ = –0,083 м, u ₁ = = –0,302 м/с. Знак "–" означает, что плита переместится влево.

Для определения реакции направляющих N продифференцируем (3.32) дважды, учитывая, что = const:

. (3.37)

Подставляя (3.37) но второе уравнение (3.28), получим:

Вычислим реакцию N в момент времени t ₁ = 1 с:

Н.

Давление плиты на направляющие равно по величине реакции направляющих N = 166,1 Н.

Пример 2

Прямоугольная плита ABCD вращается вокруг стороны AВ (рис. 36) и в начальный момент времени t ₀ = 0, когда угло­вая скорость плиты равна w ₀, на нее начинает действовать вращающий момент M = M (t), направлен­ный в ту же сторону, что и w ₀. Остальные условия задачи такие же, как в примере 1.

Дано: М= 0,5 t Н × м, т ₁ = 10 кг, m ₂ = 5 кг, R = 0,5 м, , w ₀ = 1,5 с^–1, t ₁ = 1 с.

Определить зависимость угловой скорости плиты от времени w = f (t). Плиту принять за однородную пластинку.

 

Рис. 36 Рис. 37

Решение. Задачу будем решать с помощью теоремы об изменении кинетического момента в вышеуказанной последовательности.

Механическая система состоит из принимаемой за абсолютно твердое тело плиты, совершающей вращательное движение вокруг стороны АВ, и груза D, принимаемого за материальную точку. Ось z системы координат O ₁ хуz направим вдоль оси вращения плиты. На механическую систему действуют следующие силы (рис. 37): сила тяжести плиты , сила тяжести груза , вращающий момент М и реакции и подшипника К и подпятника L соответственно. Запишем теорему об изменении кинетического момента относительно оси z:

. (3.38)

Силы и параллельны оси z, a реакции и ее пересекают. Следова­тельно, их моменты относительно оси z равны нулю и главный момент внешних сил равен внешнему моменту М.

Для рассматри­ваемой системы, состо­ящей из плиты и груза D, кинетический мо­мент К_z относительно оси z равен сумме ки­нетических моментов плиты и груза D:

.

Кинетический момент плиты, совершающей вращательное движение вокруг неподвижной оси z, вычислим по формуле:

,

где момент инерции плиты, принимаемой за однородную прямоугольную пластинку (см. выше п.3 примеров осевых моментов инерции однородных тел),

.

Кинетический момент груза D определим, рассматривая движение груза как сложное, совершающего относительное движение по полу­окружности радиуса R относительно плиты со скоростью , направленной по касательной к полуокружности. Вращательное движение плиты относительно оси z будет переносным для точки D.

Тогда по теореме сложения скоростей

и, следовательно, для вектора количества движения точки D имеем

.

Используя теорему Вариньона для определения момента вектора количества движения точки D относительно оси z (см. раздел «Статика»), получим

.

Поскольку вектор лежит в одной плоскости с осью z, то .

Вектор направлен перпендикулярно плите и по модулю , где h – расстояние от точки D до оси вращения z.

Следовательно, .

Из рис. 37 видно, что , где (см. пример 1). Тогда

и соответственно

. (3.39)

Подставляя выражение (3.39) в (3.38) и учитывая, что , , получим уравнение

. (3.40)

Зададим начальное условие для дифференциального уравнения (3.40):

при t = 0 w ₀ = l,5 c^–1. (3.41)

Интегрируя (3.40), имеем

. (3.42)

Константу интегрирования определим, подставляя начальное условие (3.41) в уравнение (3.42):

.

Подставляя в (3.42) числовые значения, получим искомую зависимость

.