Уравнения Лагранжа второго рода

Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой иную форму записи общего уравнения динамики:

; . (9)

где - – кинетическая энергия системы из точек,

– -я обобщенная координата,

– i -я обобщенная скорость,

– -я обобщенная сила, вычисление которой может быть выполнено по одной из формул:

; или ; или ; (10)

В случае, когда кинетическая и потенциальная энергии механической системы приведены к виду и , получение системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций , определяющих движение механической системы, сводится к вычислению соответствующих производных.

 

Примеры решения заданий

Пример 3.2.1. Применение принципа возможных перемещений

Найти величину груза при которой механическая система (рис. 5), состоящая из груза, двух соосных (насаженных неподвижно на единую ось) блоков и однородного диска, находится в положении статического равновесия. Вес диска, радиусы диска и блоков, угол наклона плоскости полагать заданными величинами. При решении учесть коэффициент трения качения диска . Качение происходит без проскальзывания.

Рис. 5

РЕШЕНИЕ

1. Рассматриваемая механическая система обладает одной степенью свободы.

2. Определим критическое состояние равновесия, соответствующее максимальному значению .

Предположим, система двигалась в направлении указанном стрелками (рис. 5). При таком движении вес груза 1 настолько велик, что «перетягивает» все остальные тела системы. Уменьшая вес груза, приведем систему в состояние равновесия. Это и есть критическое состояние равновесия, соответствующее максимальному значению .

3. Учет трения качения осуществляется приложением к диску момента , препятствующего его вращению. Вычисление его значения позволяет трактовать это усилие как активное (задаваемое). Наложенные связи оказываются идеальными (реакции соосного блока приложены в неподвижной точке, реакции диска – в мгновенном центре скоростей, нити нерастяжимы) и для получения условия равновесия механической системы можно воспользоваться принципом возможных перемещений в форме (4).

4. В рассматриваемом случае направления возможных перемещений точек и тел системы соответствуют стрелкам на рис. 5, т.е. система имеет возможное движение только в этом направлении. Запишем выражение для суммы работ всех действующих сил на возможных перемещениях точек их приложения и приравняем 0.

5. Вынесем за скобку . Тогда

.

6. Запишем уравнения связей, используя соотношения кинематики

; ; .

При записи учтено, что нити нерастяжимы, а мгновенный центр скоростей диска, катящегося без проскальзывания, расположен в точке его соприкосновения с плоскостью.

7. Для рассматриваемой механической системы (наложенные связи стационарны и голономны) возможные перемещения пропорциональны соответствующим скоростям, т.е. будут справедливы соотношения

; .

8. Приравняв к нулю выражение в круглых скобках, получим выражение для расчета величины , при превышении которой механическая система начинает движение в указанном направлении:

.

9. Если предположить, что тела механической системы двигались в противоположном направлении, а затем вес груза увеличили так, чтобы система пришла в состояние равновесия, то это будет критическое состояние, соответствующее минимальному значению веса груза 1.

10. Применяя все предыдущие рассуждения и учитывая, что момент трения качения будет направлен в сторону, противоположную движению, для величины будет получено иное значение:

.

Таким образом, при учете трения качения механическая система будет находиться в покое при любом значении веса груза, находящемся в интервале .

Аналогично решаются задачи при учете трения скольжения.

Пример 3.2.2. Применение общего уравнения динамики

Для механической системы из предыдущего примера составить дифференциальное уравнение движения груза, воспользовавшись общим уравнением динамики, а так же найти его решение. Осевой момент инерции соосных блоков полагать заданным. Будем также считать, что в начальный момент грузу была сообщена начальная скорость , направленная вниз.

РЕШЕНИЕ

1. На рис. 6 изображена механическая система, внешние силы, действующие на нее, а так же силы и моменты сил инерции, препятствующие движению тел.

2. Дадим системе возможное перемещение в направлении, указанном стрелками. Составим выражение суммы работ всех этих усилий на соответствующих возможных перемещениях и приравняем его к нулю. Тогда

где , , и – силы и моменты сил инерции, приложенные к соответствующим телам.

3. Уравнения кинематических связей остаются прежними:

.

Тогда, в силу голономности и стационарности связей системы, для возможных перемещений можно записать соотношения:

; ; .

4. В выражении для суммы работ вынесем за скобки, выражение в скобках приравняем к нулю. Соотношения между линейными ускорениями грузов и угловым ускорением блоков аналогичны приведенным выше (они получаются дифференцированием по времени уравнений кинематических связей).

Рис. 6

5. Выразим теперь ускорения тел системы через ускорение первого груза и вынесем его за скобки, содержащие инерционные усилия. После несложных преобразований, получим дифференциальное уравнение движения груза в виде:

,

где – обобщенный инерционный коэффициент;

– обобщенная сила.

При получении результата учтено, что осевой момент инерции однородного диска .

6. Для получения решения уравнения необходимо воспользоваться начальными условиями и формулой для равнопеременного движения:

.

Заметим, что если и (см. решение предыдущего примера), то груз будет двигаться вниз равноускоренно.

При , груз будет двигаться вниз с постоянной скоростью .

Если и , груз будет двигаться вниз равнозамедленно до полной остановки.

Если и , то груз начнет двигаться вниз равнозамедленно до остановки, после остановки начнется его равноускоренное движение вверх.

Аналогичные рассуждения можно провести для случая .

При необходимости получить закон движения другого тела механической системы следует воспользоваться уравнениями кинематических связей.

Пример 3.2.3. Применение уравнения Лагранжа 2-го рода

Для механической системы из предыдущего примера составить дифференциальное уравнение движения груза, воспользовавшись уравнениями Лагранжа второго рода.

РЕШЕНИЕ

1. На рис. 5 изображена механическая система и внешние силы, на нее действующие.

2. Воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода:

;

где

3. Составим выражение для кинетической энергии механической системы:

.

4. Запишем уравнения кинематических связей:

или ;

или ;

или .

5. В формулу для кинетической энергии подставим угловые скорости вращения соосных блоков, диска и скорость центра масс диска, выраженные через скорость первого груза, тогда

.

При получении результата учтено, что осевой момент инерции однородного диска .

6. Возьмем соответствующие производные:

7. После несложных преобразований, получим дифференциальное уравнение движения груза:

,

где ;

.

Полученное уравнение совпадает с уравнением из предыдущего примера, его решение обсуждено выше.

ЗАДАНИЕ 4. Расчет параметров движения (равновесия)
тел механической системы,
содержащей внешние и внутренние упругие связи,
при учете линейно-вязкого сопротивления