Линейные уравнения первого порядка

 

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

 

(1.28)

 

где – непрерывные на некотором интервале функции.

По теореме существования и единственности решения задачи Коши (см. п.1.1) через каждую точку полосы

 

 

проходит одна и только одна интегральная кривая рассматриваемого уравнения.

Если то уравнение (1.28) называется однородным линейным дифференциальным уравнением.

Это уравнение с разделяющимися переменными, его общее решение есть

 

(1.29)

 

где произвольная постоянная, а означает первообразную функцию для функции .

При уравнение (1.28) называется неоднородным. При интегрировании неоднородного линейного дифференциального уравнения (1.28) применяют так называемый метод вариации произвольной постоянной или метод Лагранжа. Этот метод состоит в том, что общее решение ОДУ (1.28) ищут в таком же виде, что и общее решение соответствующего ему однородного уравнения, т.е. в виде (1.29). Но при этом считают произвольную постоянную непрерывно дифференцируемой функцией от . Иллюстрацию метода проведем на следующих примерах.

 

Пример 1. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

 

. (1.30)

 

Решение. Перепишем данное уравнение в виде

 

(1.31)

 

Уравнение (1.31) - неоднородное линейное дифференциальное уравнение. Однородное уравнение, соответствующее (1.31), есть уравнение вида

 

 

которое имеет общее решение

 

или

(1.32)

 

Общее решение ОДУ (1.31) будем искать в виде (1.32), где считаем непрерывно дифференцируемой функцией от , т.е. в виде

 

. (1.33)

 

Из (1.33) находим

.

 

Подставляя из (1.33) и найденное выражение в уравнение (1.31), получаем следующее дифференциальное уравнение для определения :

или

.

Из последнего находим где произвольная постоянная. Подставив в (1.33), получим общее решение ОДУ (1.31):

 

 

Оно, очевидно, есть общее решение и уравнения (1.30).

Пример 2. Найти интегральную кривую уравнения

 

(1.34)

 

проходящую через точку .

Решение. Считая функцией от , приведем данное уравнение к линейному относительно . Для этого обе части (1.34) умножим на функцию тогда будем иметь

 

. (1.35)

 

Уравнение (1.35) проинтегрируем методом Лагранжа. Общее решение однородного линейного уравнения, соответствующего (1.35), есть

 

или

 

Последнее соотношение перепишем в виде

. (1.36)

 

Общее решение ОДУ (1.35) также будем искать в виде (1.36), при этом считаем С учетом последнего из (1.36) находим

 

.

 

Подставим и в (1.35), получим дифференциальное уравнение для определения :

или

 

Из последнего уравнения находим

 

,

 

где произвольная постоянная. Подставим вместо в (1.36), найдем общее решение уравнения (1.35)

 

. (1.37)

 

Ясно, что (1.37) есть общий интеграл и уравнения (1.34). Выделим из него частное решение ОДУ (1.34), удовлетворяющее начальным данным Для этого положим в (1.37) , тогда имеем Следовательно, искомая интегральная кривая уравнения (1.34) задается уравнением

.

1.4.1. Примеры для самостоятельного решения

 

Решить следующие дифференциальные уравнения.

1.

2.

3.

4.

5.

 

Решить задачу Коши.

1. ;

2. ;

3.

 

 

Уравнения Бернулли

 

Определение. Уравнение вида

 

(1.38)

 

где – непрерывные на некотором интервале функции, действительное число, отличное от 0 и 1, называется уравнением Бернулли.

Делением обеих частей на и подстановкой , где новая неизвестная функция, это уравнение приводится к линейному уравнению

 

.

 

Заметим, что при делении обеих частей уравнения (1.38) на при возможна потеря решения . Это решение является частным, если , и особым, если .

Пример 1. Решить уравнение

 

.

 

Решение. Обе части уравнения разделим на , тогда будем иметь:

. (1.39)

 

Положим , откуда . В силу введенной подстановки уравнение (1.39) можно записать следующим образом:

 

или

(1.40)

 

Последнее уравнение – линейное относительно функции . Его общее решение есть

,

 

где произвольная константа (см. п.1.4., пример 1). Отсюда, учитывая, что , записываем общий интеграл исходного уравнения

.

Так как показатель степени в правой части нашего уравнения равен 2, то потерянное при интегрировании решение является частным.

Замечание. При интегрировании уравнения Бернулли можно также непосредственно применить подстановку или метод вариации произвольной постоянной.

Пример 2. Проинтегрировать уравнение

 

. (1.41)

 

Решение. Уравнение (1.41) – это уравнение Бернулли. Положим , тогда (1.41) запишется в виде

 

.

или

.

 

Функцию выберем так, чтобы . Например, пусть . Подставив вместо в последнее уравнение и учитывая, что , для определения будем иметь уравнение

 

. (1.42)

 

Последнее уравнение – это уравнение с разделяющимися переменными, его общий интеграл есть

 

,

откуда

,

где произвольная константа. Следовательно, общее решение ОДУ (1.41) есть

. (1.43)

 

Заметим, что при интегрировании уравнения (1.42) методом разделения переменных мы теряем решение , это ведет к потере решения уравнения (1.41). Так как в правой части (1.41) стоит степень с показателем , то теряемое решение является особым.

Рассмотрим другой способ решения уравнения (1.41), а именно проинтегрируем его методом вариации произвольной постоянной. Запишем однородное уравнение, соответствующее (1.41):

 

.

 

Его общее решение есть . Пусть С= С (х), тогда общее решение (1.41) будем искать в виде

 

. (1.44)

 

Подставив и в уравнение, будем иметь

 

,

или

 

.

Проинтегрировав последнее уравнение, находим

,

или

,

где произвольная константа, . Подставляя С (х) в (1.44), получаем общее решение уравнения (1.44) в форме (1.43)

 

.

 

 

1.5.1. Примеры для самостоятельного решения

 

Решить уравнения.

1. , 3. .

2. ,

 

Найти решение задач Коши.

1. ; 3. .

2. ;