Римская система записи чисел

пр:

Складываем по одной цифре справа налево, результат записываем под чертой.

пр:

Если получится число >10, записываем только последнюю цифру результата, а первую цифру ставим пока над соседней цифрой слева (для сложения на следующем шаге).

пр: (1 будем потом прибавлять к 7)

Умножение «в столбик»

Запишем числа столбиком (одно под другим, выравнивая по правому краю, сверху более длинное число - так удобней).

пр:

Сначала умножаем верхнее число на последнюю цифру нижнего числа. Результат записываем под чертой.

пр: умножаем число сверху по одной цифре справа налево: 7 · 6 = 42
(под черту идет только последняя цифра результата 2, а цифру десятков 4 ставим пока над соседней цифрой слева)
2 · 6 = 12 (не забудем, что над 2 стоит 4, это значит, что к результату умножения надо прибавить 4) 12 + 4 = 16 (6 записываем под чертой, 1 записываем над 4)
4 · 6 = 24 (и добавляем 1) 24 + 1 = 25

Переходим к умножению на следующую цифру второго числа. Результат умножения на следующую цифру записывается со сдвигом.

пр: умножаем 427 на 3 (по тем же правилам)
После того, как верхнее число будет умножено на все цифры нижнего, подводим черту и складываем полученные результаты по правилам сложения в столбик.

Если во втором числе есть нули, то получится «нулевая строчка» - ее можно не писать, но тогда нужно будет сделать сдвиг на две клетки.

При умножении чисел, оканчивающихся нулями, нужно сначала «отделить» нули - записать и умножить числа без последних нулей, потом все нули добавить к результату.

пр:

Вычитание «в столбик»

Запишем числа столбиком (одно под другим, выравнивая по правому краю, сверху уменьшаемое, снизу вычитаемое).

пр:

Выполняем вычитание по одной цифре справа налево, результат записываем под чертой.

пр:

Если сверху окажется меньшая цифра, то нужно «занять десяток» из соседней цифры слева (над соседней цифрой ставим точку).

пр: займем десяток из соседнего разряда (из 6 потом нужно будет отнять 1)
займем десяток из соседнего разряда
займем десяток из соседнего разряда
займем десяток из соседнего разряда

пр:

Чтобы избежать ошибок (связанных с пропуском нулей в результате), можно заранее поставить на место результата столько точек, сколько цифр в делимом. А при выполнении деления следить за тем, чтобы для каждой из цифр делимого была записана какая-то цифра в результат.

пр: в делимом «5121200» семь цифр, поставим в результат семь точек

Будем делить не все делимое сразу, а «по частям». Для объяснения этих действий используется понятие «неполное частное» - это та часть делимого, с которой в данный момент работают.

Сначала берем первую цифру делимого - принимаем ее за «неполное частное». Далее действуем по алгоритму:

1) Делим «неполное частное» на делитель, результат запишем на место первой свободной точки. Если «неполное частное» меньше делителя, то в результат запишем 0 и перейдем сразу к шагу 2)

«Обратно» умножаем делитель на полученную цифру результата, произведение записываем ниже делимого (для вычитания), вычитаем и получаем остаток. Остаток должен быть меньше делителя!Принимаем остаток за «неполное частное».

2) Берем следующую цифру делимого и добавляем ее к «неполному частному». Переходим снова к шагу 1)

пр:берем первую цифру (5) - принимаем за «неполное частное»
1) делим «неполное частное» (5) на делитель (8)
записываем в результатполученную цифру (0)
2) берем следующую цифру (1), добавляем к «неполному частному»  (51)
1) делим «неполное частное» (51) на делитель (8)
(можно по таблице умножения на 8 найти ближайшее к 51 произведение) 6 · 8 = 48 записываем в результат полученную цифру (6)
а ее произведение на делитель (48) под «неполным частным» (51)

Таблицаумножени я

Простые уравнения

Уравнение - это равенство, содержащее неизвестную величину (ее значение надо найти)

пр:

Длина

1 км = 1000 м

1 м = 100 см

1 дм = 10 см

1 см = 10 мм

Периметр

для прямоугольника

Площадь

для прямоугольника

Масса

1 т = 1000 кг

1 кг = 1000 г

Время

1 год  365/366сут

1 сут  24 ч

1 ч = 60 мин

1 мин = 60 с

високосные года (+29.02)

Примеры действий в столбик

Скорость

( S - путь, v - скорость, t - время)

Длина

1 км = 1000 м

1 м = 100 см = 1000 мм

1 дм = 10 см = 100 мм

1 см = 10 мм

Периметр

( длина по границе фигуры )

для прямоугольника

Площадь

(мера плоской фигуры)

(ар, сотка)

(гектар)

для прямоугольника

Объем

(мерапространства)

(литр)

	для прямоугольного параллелепипеда

У глы

полный	развернутый	прямой	острый	тупой

Таблица простых чисел

простое число - делится только на 1 и само себя (1 «не считается» простым числом)

2 3 5 7 11 1317192329313741434753596167717379838997

101103107109113127131137139149151157163167173179181191193197199211223227229233239241251257263269271277281283293307311313317331337347349353359367373379383389397401409419421431433439443449457461463467479487491499503509521523541547557563569571577587593599601607613617619631641643647653659661673677683691701709719727733739743751757761769773787797809811821823827829839853857859863877881883887907911919929937941947953967971977983991997

101910211031103310391049105110611063106910870911093109711031109111711231129115111531163117111811187119312011213121712231229123112371249125912771279128312891291129713011303130713191321132713611367137313811399140914231427142914331439144714511453145914711481148314871489149314991511152315311543154915531559156715711579158315971601160716091613161916211627163716571663166716691693169716991709172117231733174117471753175917771783178717891801181118231831184718611867187118731877187918891901190719131931193319491951197319791987199319971999 ...

Делимость

если , то

признаки делимости« » означает «делится на»

на 2	последняя цифра 2
на 3	сумма всех цифр
на 4	число из двух последних цифр
на 5	последняяцифра 0 или 5
на 6	2 и
на 7	число без последней цифры  на последнюю цифру
на 8	число из трех последних цифр
на 9	сумма всех цифр
на 10	последняя цифра 0
на 11	разница между суммой цифр на нечетных местах и суммой цифр на четных местах
на 13	число без последней цифры  на последнюю цифру

(ноль делится на все числа)

« a кратно b » или « b - делитель a »

пр: числа 9, 18, 27, 36 … кратны 9

  числа 1, 3, 9 являются делителями 9

НОД - наибольший общий делитель

НОК - наименьшее общее кратное

пр: найти НОД и НОК чисел 168 и 180

Разложим на простые делители числа 168 и 180:

делим только на простые числа, начиная с 2

Выпишем все множители в строчку:

168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5

Разложение на простые множители позволяет увидеть «состав» числа - на что оно делится. Число делится на свои простые множители и на их произведения (т.е. на числа, «составленные» из этих множителей).

НОД(168; 180) - это наибольшее число, на которое делятся оба числа - и 168, и 180.

НОД составляется из тех множителей, которые входят в разложения обоих чисел:

НОК(168; 180) - это наименьшее число, которое делится и на 168, и на 180.

НОК составляется из всех множителей, которые входят в разложения этих чисел (без повторения):

взаимно простые числа - не имеют общих делителей (кроме 1) для них

Основноесвойстводроби

пр:

Если числитель и знаменатель дроби умножить (или разделить) на одно и то же число, то значение дроби не изменится:

C равнение дробей

Если знаменатели одинаковые, то чем больше числитель, тем больше дробь пр:

Если числители одинаковые, то чем больше знаменатель, тем меньше дробь  пр:

Если дроби имеют разные знаменатели (и числители), то их нужно сначала привести к общему знаменателю (или числителю)

Полезно помнить, что правильные дроби (<1) всегда меньше неправильных (>1)

Сложение и вычитаниедробей

Если знаменатели одинаковые, то складываем (или вычитаем) числители, а знаменатель оставляем, как есть

пр:

Если знаменатели разные, то дроби нужно сначала привести к общему знаменателю

Смешанныедроби

запись числа в виде целой и дробной части
накоординатнойоси:

перевод смешанной дроби в простую: к числителю прибавить целую часть, умноженную на знаменатель

пр:

перевод простой дроби в смешанную: выполнить деление с остатком, остаток записать в числитель

пр:

сложение: отдельно складывать целые и дробные части

пр: …

если получится неправильная дробь, выделить из нее целую часть

пр: …

вычитание: отдельно вычитать целые и дробные части

пр: …

если вычитаемая дробь больше, то из целой части «занять 1»

пр: …

умножение и деление:

перевести смешанные дроби в простые

пр:

или представить смешанную дробь в виде суммы

пр:

Задачи на части

Чтобы найти часть от числа, нужно умножить это число на соответствующую дробь.

где p - часть (дробь), A - некоторая величина, Q - часть этой величины

пр: найти  от 12

пр: найти число,  которого равно 12

пр:какую часть от числа 100 составляет число 15?

дополнительные дроби - в сумме дают 1

пр:

пр:кот съел сосиски, сколько осталось? 

«-» и «-» дают «+» «-» и «+» дают «-»	пр:
аналогично при умножении и делении чисел с разными знаками	пр:

действия с отрицательными числами:

- упростить запись (если несколько знаков относятся к одному числу)

- определить знак результата

- найти его «абсолютную величину»

пр:

пр:

пр:

пр:

сравнение: больше то число, которое находится на оси правее            пр:

Уравнения

Уравнение - это равенство, содержащее неизвестную величину, значение которой нужно найти. Корень уравнения - это значение «неизвестной», при котором из уравнения получается верное равенство.

Решить уравнение - значит, найти все его корни (или убедиться, что корней нет).

простые уравнения:

пр:

Свойства уравнений:

- левую и правую части уравнения можно увеличить или уменьшить на одно число

пр: (отнимем 3 слева и справа)

т.е. «слагаемое» можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив знак на противоположный

- левую и правую части уравнения можно умножить или разделить на одно число

пр: (разделим на 3 слева и справа)

чтобы решить уравнение, нужно привести его к виду:

Проценты

1% какой-либо величины – это одна сотая часть этой величины,т.е. задачи на проценты - это задачи на части

1% отA = p% от A

100% от A

проценты принято записывать в виде десятичных дробей

пр:

1% от 120 25% от 120 50% от 120  100% от 120 210% от 120 0,5% от 120 5% от 12% от 120

увеличить на p % - взять

уменьшить на p % - взять

пр:

увеличить число 120 на 4%	100+4=104%
уменьшить число 120 на 4%	100-4=96%

пр:Товар стоил 300 р, потом цена повысилась на 10%, потом понизилась на 10%. Сколько теперь стоит товар?

увеличить на 10%  умножить на 1,1

уменьшить на 10%  умножить на 0,9

 (р)

Задачи на проценты

Найти число по его проценту

пр: найти число, 14% которого равны 21

1 способ- по формуле

где p - процент (дробь), A - целая величина, Q - часть этой величины

2 способ- най ти сначала 1%

3 способ - составить пропорцию

пр:

Складываем по одной цифре справа налево, результат записываем под чертой.

пр:

Если получится число >10, записываем только последнюю цифру результата, а первую цифру ставим пока над соседней цифрой слева (для сложения на следующем шаге).

пр: (1 будем потом прибавлять к 7)

Умножение «в столбик»

Запишем числа столбиком (одно под другим, выравнивая по правому краю, сверху более длинное число - так удобней).

пр:

Сначала умножаем верхнее число на последнюю цифру нижнего числа. Результат записываем под чертой.

пр: умножаем число сверху по одной цифре справа налево: 7 · 6 = 42
(под черту идет только последняя цифра результата 2, а цифру десятков 4 ставим пока над соседней цифрой слева)
2 · 6 = 12 (не забудем, что над 2 стоит 4, это значит, что к результату умножения надо прибавить 4) 12 + 4 = 16 (6 записываем под чертой, 1 записываем над 4)
4 · 6 = 24 (и добавляем 1) 24 + 1 = 25

Переходим к умножению на следующую цифру второго числа. Результат умножения на следующую цифру записывается со сдвигом.

пр: умножаем 427 на 3 (по тем же правилам)
После того, как верхнее число будет умножено на все цифры нижнего, подводим черту и складываем полученные результаты по правилам сложения в столбик.

Если во втором числе есть нули, то получится «нулевая строчка» - ее можно не писать, но тогда нужно будет сделать сдвиг на две клетки.

При умножении чисел, оканчивающихся нулями, нужно сначала «отделить» нули - записать и умножить числа без последних нулей, потом все нули добавить к результату.

пр:

Вычитание «в столбик»

Запишем числа столбиком (одно под другим, выравнивая по правому краю, сверху уменьшаемое, снизу вычитаемое).

пр:

Выполняем вычитание по одной цифре справа налево, результат записываем под чертой.

пр:

Если сверху окажется меньшая цифра, то нужно «занять десяток» из соседней цифры слева (над соседней цифрой ставим точку).

пр: займем десяток из соседнего разряда (из 6 потом нужно будет отнять 1)
займем десяток из соседнего разряда
займем десяток из соседнего разряда
займем десяток из соседнего разряда