Краевое условие для возмущающего потенциала

Функция U гармоническая в заданной области может быть определена в любой точке этой области, если на поверхности ограничивающей область  известна совокупность значений: 1) либо самой функции U; 2) либо ее нормальной производной ; 3) либо линейной комбинации  где  — некоторый коэффициент. Условие, заданное на границе области называется к р а е в ы м , или г р а н и ч н ы м (т. е. заданным на границе области).

Определение гармонической функции по заданному краевому (граничному) условию составляет содержание краевых (граничных) з а д а ч т е о р и и п о т е н ц и а л а.

Различают три типа краевых задач в зависимости от краевого условия: первая (на границе области заданы значения самой гармонической функции U), вторая (на границе заданы значения нормальной производной  ) и третья (на границе заданы значения линейной комбинации ).

Краевая (граничная) задача может быть внутренней или внешней в зависимости от того, является ли область  в которой искомая функция является гармонической, внутренней или внешней по отношению к поверхности

Возмущающий потенциал Т является гармонической функцией во внешнем пространстве относительно физической поверхности Земли, поэтому для его определения может быть использован метод краевых (граничных) задач, для чего необходимо найти краевое (граничное) условие, которому возмущающий потенциал удовлетворяет в точках физической поверхности Земли.

Для этого установим связь между возмущающим потенциалом Т и аномалиями силы тяжести, которые находятся из наблюдений на поверхности Земли.

Выразим силу тяжести g в данной точке М земной поверхности

через потенциал W:

где п — направление внешней нормали к уровенной поверхности потенциала силы тяжести, иначе — направление отвесной линии.

Следует заметить, что если речь идет о вычислении величины силы тяжести, то практически безразлично, по какому направлению брать производную от потенциала: по отвесной линии g, касательной  к силовой линии нормального поля или нормали Н к поверхности эллипсоида, так как углы между этими направлениями очень малы. Если, например, взять производную от W по направлению нормали Н к уровенному эллипсоиду, то получим

Угол (g, Н) имеет тот же порядок что и величина уклонения отвеса, и не превосходит  (в радианах ). Следовательно Пренебрегая этой величиной, можно считать

Аналогично

Формулу (VI.79) можно представить в виде

здесь справа стоит «чистая» аномалия силы тяжести в свободном воздухе. Если бы геодезическая высота Н точки М была известна, то величину можно было бы вычислить по формуле (VI.35).

В этом случае (V I .80) можно рассматривать как граничное условие, которому возмущающий потенциал Т удовлетворяет в точках физической поверхности Земли. Однако обычно вместо геодезической высоты Н мы располагаем приближенным ее значением — нормальной высотой Поэтому и нормальную силу тяжести можно вычислить не в точке М физической поверхности Земли, а в точке N (см. рис. 94):

Величину можно представить аналогично:

где —аномалия высоты (или высота квазигеоида). Тогда, принимая во внимание (VI.52)

представим (VI.80) в виде

Или

Разность представляет собой «смешанную» аномалию силы тяжести. Производную можно в соответствии с (VI.39)

 вычислить по формуле

где

R — средний радиус Земли.

Полученное граничное условие (VI.81) для возмущающего потенциала, которое удовлетворяется в точках физической поверхности Земли, можно переписать в виде

где заданная на граничной поверхности  функция,  —линейный коэффициент. По форме полученное уравнение соответствует третьей краевой задаче теории потенциала. Однако следует отметить и существенное отличие (VI.81) от обычного условия для третьей краевой задачи.

В последнем случае производная от гармонической функций берется по направлению нормали п к заданной поверхности  В уравнении (VI.81) производная от искомой функции Т берется не по нормали п к физической поверхности Земли (которая в данном случае является граничной поверхностью), а по нормали Н к уровенному эллипсоиду . Угол (п, Н) между этими направлениями равен углу наклона земной поверхности и может достигать значительных величин, особенно в горных районах.

()