История изобретения бутылки Клейна

Введение

Актуализация

    Мы считаем, что наша работа актуальна, так как в науке математике есть столько неразгаданных тайн и секретов, которые не включены в программу школьного образования. Но на основе этих секретов создано много полезных вещей и изобретений, поэтому изучение этих секретов просто необходимо.

У многих учащихся сейчас недостаточно развито пространственное воображение. Сегодня в математическую жизнь вошла компьютерная геометрия, позволяющая представить сложные математические модели. Бумажное моделирование развивает умственные способности и пространственное воображение, т.к. на пальцах рук находится много нервных окончаний, влияющих на мозговую деятельность.

     Мы выбрали тему бутылка Клейна, потому что считаем, что она имеет наиболее  научное и практическое значение.

Гипотеза

    Мы сочли важным показать, что данная поверхность полна неожиданностей. Мы предполагаем, что бутылка Клейна, как топологическая фигура, обладает сходными с листом Мёбиуса свойствами и может быть сконструирована разными способами.

Объект исследования

Бутылка Клейна  как модель односторонней поверхности.

Предмет исследования

Свойства односторонней поверхности на примере бутылки Клейна.

Цели и задачи

Цель работы: сконструировать модель бутылки Клейна, определить и проверить удивительные свойства бутылки Клейна.

  В соответствии с поставленной целью и выдвинутой гипотезой определились следующие задачи:

1. изучение литературы;

2. изучение истории изобретения бутылки Клейна;

3. описание бутылки Клейна и процессов её изготовления;

4. показ использования бутылки Клейна на практике;

5. сравнение бутылку Клейна с листом Мёбиуса;

Методы исследования

1. Библиографический метод исследования

2. Практический эксперимент.

Теоретическая значимостьнашей работы в том, что в  последнее столетие большое влияние на ряд различных областей знаний приобрела новая ветвь геометрии - топология. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. Однако ей не уделяется должного внимания в школьном курсе геометрии.

 

Глава 1. Ф. Х. Клейн и его открытие.

Топология

Топология - часть геометрии, изучающая в самом общем виде явление непрерывности, а также свойства обобщённых геометрических объектов, не меняющиеся при малых деформациях и не зависящие от способа их задания. Различные источники находят первые топологические по духу результаты в работах Эйлера, Жордана, Кантора, Пуанкаре. Топологией также называется конкретный объект, изучаемый общей топологией: совокупность всех открытых множеств топологического пространства.
Топология объекта — его геометрическая структура (то, что не меняется при непрерывных деформациях).

Знание того, что такое топология поможет в дальнейшем изучении бутылки Клейна.

Что такое бутылка Клейна

Бутылка Клейна — определенная неориентируемая поверхность первого рода, т.е. поверхность, у которой нет различия между внутренней и внешней сторонами, и которая, таким образом, в пространстве ограничивает собой нулевой объем. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка). (См. Приложение 1 - «Бутылка Клейна»).

История изобретения бутылки Клейна

Феликс Христиан Клейн (1849—1925) — немецкий математик. Всю свою жизнь Клейн старался раскрыть внутренние связи между отдельными ветвями математики, а также между математикой, с одной стороны, и физикой и техникой – с другой. Его работы удивительно многообразны. Это и разрешение уравнений 5-й, 6-й и 7-й степени, и интегрирование дифференциальных уравнений, и исследования абелевых функций, и неевклидова геометрия. Пытаясь доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского, изобрёл открытие поразительной красоты - свою бутылку в 1882 г. Это блестящий и очень наглядный пример односторонней поверхности. В ней со всей полнотой проявился и талант математика, и дар выдающегося преподавателя. (См. Приложение 2 – Ф. Х. Клейн).

Выводы:

Изучив литературу, рассмотрев историю изобретения бутылки Клейна и, проведя сравнительную характеристику, мы выяснили, что бутылка Клейна является односторонней поверхностью, топологическим объектом и обладает топологическими свойствами.

 

 

Применение бутылки Клейна

Бутылка Клейна в литературе

Бутылка Клейна вдохновила многих поэтов и писателей на создание литературных шедевров на основе её свойств. Поскольку бутылку Клейна можно разрезать так, чтобы получились два листа Мебиуса, должна существовать и обратная операция, о которой говорится в следующем шуточном стихотворении неизвестного автора:

Великий Феликс,
Славный Клейн,
Мудрец из Геттингена,
Считал, что Мебиуса лист—
Дар свыше несравненный.
Гуляя как-то раз в саду.
Воскликнул Клейн наш пылко:
"Задача проста —
Возьмем два листа
И склеим из них бутылку."

Но не один неизвестный автор знаком со свойствами бутылки Клейна. Так в рассказе математика и писателя Мартина Гарднера «Остров пяти красок» в бутылке Клейна исчезает один из героев произведения. А. Дейч написал юмореску «Бутылка Клейна». Ее идея в двух сло­вах: в некоем городе метрополитен развился до такой степени, что топологическая сложность всех ее пересека­ющихся линий перешла некую допустимую границу — и в результате один за другим целые поезда вдруг исчезали из трехмерного пространства, возвращаясь назад лишь через месяц-другой.

 

Бутылка Клейна в искусстве

Изредка встречается сувенир в виде стеклянной бутылки Клейна. Для изготовления такой бутылки нужен стеклодув высокой квалификации.

В сериале Футурама в серии «The Route of All Evil» на полке показано пиво Klein’s, которое разлито в бутылки Клейна.

 

Глава 3. Заключение.

На основании полученных результатов, сделали следующие выводы: изучив всю литературу, касающуюся данной темы, подтвердили выдвинутую гипотезу путём сравнения двух топологических объектов; определили и проверили удивительные свойства бутылки Клейна. Также сконструировали бутылку Клейна разными способами. Для учителей у меня тоже есть рекомендации: мы советуем учителям черчения научиться чертить бутылку Клейна такой, какой она должна быть; учителям технического творчества я рекомендую научиться конструировать бутылку Клейна из металла, дерева и других материалов; а математикам – больше изучать дополнительного материала, касающегося топологических фигур (См. Приложение 9 – Дополнительная литература), в частности, бутылки Клейна, чтобы также расширять кругозор учеников, учить их понимать стереометрию.

 

Бутылка Клейна – это одна из односторонних поверхностей, открытых после изобретения листа Мёбиуса. Она приобрела известность за счёт своей необыкновенной формы и поистине неожиданных свойств. Открытие Ф. Х. Клейна дополнило уже развивающуюся ветвь геометрии – топологию, которая появилась после открытия того же самого листа Мёбиуса. Бутылка Клейна – это одна из неразгаданных тайн современной геометрии, нам только предстоит её разгадать и изобрести подлинную бутылку. Кстати, тот, кому это удастся, будет удостоен большой денежной премии. Бутылка Клейна может послужить примером для детей, чтобы они больше погружались в мир неразгаданного и неизвестного. Да, и учителям полезно изучать такие темы. сами мы хочу научиться строить «идеальную» бутылку Клейна и получить за это премию.

 

 

1.http://pictoris.ru/

2. http://school-sector.relarn.ru/dckt/projects/ctrana/matric/t_2.htm

 

Введение

Актуализация

    Мы считаем, что наша работа актуальна, так как в науке математике есть столько неразгаданных тайн и секретов, которые не включены в программу школьного образования. Но на основе этих секретов создано много полезных вещей и изобретений, поэтому изучение этих секретов просто необходимо.

У многих учащихся сейчас недостаточно развито пространственное воображение. Сегодня в математическую жизнь вошла компьютерная геометрия, позволяющая представить сложные математические модели. Бумажное моделирование развивает умственные способности и пространственное воображение, т.к. на пальцах рук находится много нервных окончаний, влияющих на мозговую деятельность.

     Мы выбрали тему бутылка Клейна, потому что считаем, что она имеет наиболее  научное и практическое значение.

Гипотеза

    Мы сочли важным показать, что данная поверхность полна неожиданностей. Мы предполагаем, что бутылка Клейна, как топологическая фигура, обладает сходными с листом Мёбиуса свойствами и может быть сконструирована разными способами.

Объект исследования

Бутылка Клейна  как модель односторонней поверхности.

Предмет исследования

Свойства односторонней поверхности на примере бутылки Клейна.

Цели и задачи

Цель работы: сконструировать модель бутылки Клейна, определить и проверить удивительные свойства бутылки Клейна.

  В соответствии с поставленной целью и выдвинутой гипотезой определились следующие задачи:

1. изучение литературы;

2. изучение истории изобретения бутылки Клейна;

3. описание бутылки Клейна и процессов её изготовления;

4. показ использования бутылки Клейна на практике;

5. сравнение бутылку Клейна с листом Мёбиуса;

Методы исследования

1. Библиографический метод исследования

2. Практический эксперимент.

Теоретическая значимостьнашей работы в том, что в  последнее столетие большое влияние на ряд различных областей знаний приобрела новая ветвь геометрии - топология. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. Однако ей не уделяется должного внимания в школьном курсе геометрии.

 

Глава 1. Ф. Х. Клейн и его открытие.

Топология

Топология - часть геометрии, изучающая в самом общем виде явление непрерывности, а также свойства обобщённых геометрических объектов, не меняющиеся при малых деформациях и не зависящие от способа их задания. Различные источники находят первые топологические по духу результаты в работах Эйлера, Жордана, Кантора, Пуанкаре. Топологией также называется конкретный объект, изучаемый общей топологией: совокупность всех открытых множеств топологического пространства.
Топология объекта — его геометрическая структура (то, что не меняется при непрерывных деформациях).

Знание того, что такое топология поможет в дальнейшем изучении бутылки Клейна.

Что такое бутылка Клейна

Бутылка Клейна — определенная неориентируемая поверхность первого рода, т.е. поверхность, у которой нет различия между внутренней и внешней сторонами, и которая, таким образом, в пространстве ограничивает собой нулевой объем. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка). (См. Приложение 1 - «Бутылка Клейна»).

История изобретения бутылки Клейна

Феликс Христиан Клейн (1849—1925) — немецкий математик. Всю свою жизнь Клейн старался раскрыть внутренние связи между отдельными ветвями математики, а также между математикой, с одной стороны, и физикой и техникой – с другой. Его работы удивительно многообразны. Это и разрешение уравнений 5-й, 6-й и 7-й степени, и интегрирование дифференциальных уравнений, и исследования абелевых функций, и неевклидова геометрия. Пытаясь доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского, изобрёл открытие поразительной красоты - свою бутылку в 1882 г. Это блестящий и очень наглядный пример односторонней поверхности. В ней со всей полнотой проявился и талант математика, и дар выдающегося преподавателя. (См. Приложение 2 – Ф. Х. Клейн).