Силлогистика Аристотеля-Жергонна

                        ЛЕКЦИЯ 9            СИЛЛОГИСТИКА АРИСТОТЕЛЯ-ЖЕРГОННА Аристотелева силлогистика[1],традиционно излагаемая в учеб-никах[8,16],давно уже не устраивает логиков[2-6].Особенно возрос потокпубликаций по силлогистике в последнее время[5,8,18].Все это свиде-тельствует о том,что проблемы анализа и синтеза силлогизмов далеки отразрешения.Кстати,впервые правильность модусов Аристотеля опровергЛейбниц(1646-1716),но авторитет основателя логики был настолько ве-лик,что Лейбниц посчитал свои выводы ошибочными. В прекрасной монографии Стяжкина Н.И.[19] приведены так называе-мые "жергонновы отношения".С помощью этих отношений Ж.Д.Жер-гонн(1771-1859) представил все классы суждений(силлогистические функ-торы),выделенные Аристотелем,на языке теории множеств.Переведем "жер-гонновы отношения" на язык скалярных диаграмм. x    x'           x    x'L=========+----------  L=========+---------- y    y'           y'   yL============+-------  L------------+======- y    y'L=========+----------   Axy.                   Exy.   x'   x            x'   x L---------+=========-  L---------+=========-   y    y'           y    y'a)L============+------- a)L============+------- y' y  y'      y' y  y'b)L----+========+------ b)L----+========+------ y'   y             y   y'c)L------+============- c)L======+-------------    y'       y            y'   yd)L-------------+=====- d)L-------------+=====-  y'   ye)L---------+=========-      Ixy.                   Oxy. Скалярные диаграммы обладают хорошей наглядностью и позволяют,какмы увидим в дальнейшем,даже школьнику легко находить графическое реше-ние силлогизмов.Скаляры в данной ситуации отображают множества и могутбыть описаны на языке алгебры множеств[9].Скалярным диаграммам,предс-тавленным на рис.1-4 соответствуют таблицы истинности(табл.1-4). Табл.1   Табл.2 Табл.3  Табл.4 -----T--- -----T--- -----T--- -----T--- ¦ xy ¦Axy¦ ¦ xy ¦Exy¦ ¦ xy ¦Ixy¦ ¦ xy ¦Oxy¦ +----+---+ +----+---+ +----+---+ +----+---+ ¦ 00 ¦ 1 ¦ ¦ 00 ¦ 1 ¦ ¦ 00 ¦ i ¦ ¦ 00 ¦ i ¦ ¦ 01 ¦ i ¦ ¦ 01 ¦ 1 ¦ ¦ 01 ¦ i ¦ ¦ 01 ¦ i ¦ ¦ 10 ¦ 0 ¦ ¦ 10 ¦ 1 ¦ ¦ 10 ¦ i ¦ ¦ 10 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ 0 ¦ ¦ 11 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ i ¦ L----+---- L----+---- L----+---- L----+---- Из таблиц истинности(табл.1-4) получаем следующие соотноше-ния: "Все X суть Y"  : Axy = xy+x'y'+ix'y (1) "Ни один X не есть Y" : Exy = x'+y'= (xy)' (2) "Некоторые X суть Y" : Ixy = xy+i(xy)' (3) "Некоторые X не суть Y": Oxy = xy'+i(xy')' (4)    Кстати из (3) и (4) видно,что Oxy = Ixy',что вовсе не соответс-твует математическому смыслу функтора Oxy. В связи с тем,что при проверке силлогизмов потребуются отри-цания функций (1-4),то на основе формулы де Моргана выведем фор-мулы (5-8): (Axy)' = xy'+jx'y                       (5) (Exy)' = xy                             (6) (Ixy)' = j(xy)'                         (7) (Oxy)' = j(xy')'                        (8) Такой же результат может быть получен табличным методом,для чегонеобходимо проинвертировать значения соответствующих силлогистическихфункторов в табл.1-4.Для того,чтобы проверить силлогизм,можно выпол-нить алгоритмы "Осташ-Т" и "ТВАТ". Проведем выборочную проверку силлогистики Аристотеля.                       Фигура 1. 1.1. AmxAym -> f(x,y) = mx'+jm'x+m'y+jmy'+f(x,y) = 1                       -----T------ xy m L=========+---------- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10 x1 L==============+----- +----+------+ m \---T---T---T--- x2 L=========+---------- ¦ 00 ¦ 1 ¦ 0 ¦ ¦ 1 ¦ 1 ¦ j ¦ y1 L======+------------- ¦ 01 ¦ 0 ¦ +---+---+---+---+ y2 L=========+---------- ¦ 10 ¦ i ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ ¦ j ¦                       ¦ 11 ¦ 1 ¦ L---+---+---+----                       L----+------- Скалярные диаграммы и алгоритм "Осташ-С" дали одинаковый ре-зультат:f(x,y) = xy+x'y'+ixy' = Ayx. 1.2. AmxEym -> f(x,y) = mx'+jm'x+my+f(x,y) = 1(i)                       -----T------ xy m L======+------------- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10 x1 L==============+----- +----+------+ m \---T---T---T--- x2 L======+------------- ¦ 00 ¦ i ¦ 0 ¦ ¦ ¦ j ¦ j ¦ y1 L---------------+===- ¦ 01 ¦ i ¦ +---+---+---+---+ y2 L-------+===========- ¦ 10 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ ¦ y3 L-------+=====+------ ¦ 11 ¦ i ¦ L---+---+---+----                       L----+------- f(x,y) = xy'+i(xy')' = Ixy' = Oxy. У Аристотеля этот модус считается "неправильным". 1.6. EmxEym -> f(x,y) = mx+my+f(x,y) = 1(i)                        -----T------  xy m L--------------+====- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10 x L=========+---------- +----+------+ m \---T---T---T--- y1 L----------+==+------ ¦ 00 ¦ 1 ¦ 0 ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ y2 L=============+------ ¦ 01 ¦ i ¦  +---+---+---+---+ y3 L======+------------- ¦ 10 ¦ i ¦ 1 ¦ ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦                       ¦ 11 ¦ i ¦       L---+---+---+----                       L----+------- f(x,y) = x'y'+i = Ix'y'(3). Это тоже "неправильный" по Аристотелю модус.Очередная ошибка ве-ликого логика. 1.7. EmxIym -> f(x,y) = mx+jm'y'+f(x,y) = 1(i) m L=========+---------- -----T------  xy x L--------------+====- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10 y1 L-----+======+------- +----+------+ m \---T---T---T--- y2 L----+==============- ¦ 00 ¦ i ¦ 0 ¦ j ¦ j ¦ j ¦ j ¦ y3 L====+--------------- ¦ 01 ¦ 1 ¦  +---+---+---+---+ y4 L----+===========+--- ¦ 10 ¦ i ¦ 1 ¦ j ¦ ¦ 1 ¦ 1 ¦ y5 L==================+- ¦ 11 ¦ i ¦  L---+---+---+----                       L----+------- f(x,y) = x'y+i(x'y)' = Ix'y. У Аристотеля получено заключение Оху.                        Фигура 2. 2.1. AxmAym -> f(x,y) = m'x+jmx'+m'y+jmy'+f(x,y) = 1(i) m L=========+---------- -----T------ xy x1 L====+--------------- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10 x2 L=========+---------- +----+------+ m \---T---T---T--- y1 L=======+------------ ¦ 00 ¦ 1 ¦ 0 ¦ ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ y2 L===+---------------- ¦ 01 ¦ i ¦ +---+---+---+---+ y3 L=========+---------- ¦ 10 ¦ i ¦ 1 ¦ j ¦ j ¦ j ¦ j ¦ y4 L----+====+---------- ¦ 11 ¦ i ¦ L---+---+---+----                       L----+------- f(x,y) = x'y'+i(x'y')' = Ix'y'. Этот "неправильный" по Аристотелю модус также оказался правильным. 2.7. ExmIym -> f(x,y) = mx+j(my)'+f(x,y) = 1(i)                            -----T------ xy m L=========+---------- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10 x L--------------+====- +----+------+ m \---T---T---T--- y1 L================+--- ¦ 00 ¦ i ¦ 0 ¦ j ¦ j ¦ j ¦ j ¦ y2 L===========+-------- ¦ 01 ¦ 1 ¦ +---+---+---+---+ y3 L-----+=============- ¦ 10 ¦ i ¦ 1 ¦ j ¦ ¦ 1 ¦ 1 ¦ y4 L===+---------------- ¦ 11 ¦ i ¦ L---+---+---+----                       L----+------- f(x,y) = x'y+i(x'y)' = Ix'y. У Аристотеля этот модус имеет вид EIO.                        Фигура 3. 3.2. AmxEmy -> f(x,y) = mx'+jm'x+my+f(x,y) = 1(i)                       -----T------ xy m L=========+---------- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10 x1 L============+------- +----+------+ m \---T---T---T--- x2 L=========+---------- ¦ 00 ¦ i ¦ 0 ¦ ¦ ¦ j ¦ j ¦ y1 L--------------+====- ¦ 01 ¦ i ¦ +---+---+---+---+ y2 L----------+========- ¦ 10 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ ¦ y3 L---------+=+-------- ¦ 11 ¦ i ¦ L---+---+---+----                       L----+------- f(x,y) = xy'+i(xy')' = Ixy'. У Аристотеля этот модус - "неправильный". 3.5. EmxAmy -> f(x,y) = mx+my'+f(x,y) = 1(i)                       -----T------ m L=========+---------- ¦ xy ¦f(x,y)¦  xy x L------------+======- +----+------+ \ 00 01 11 10 y1L=========+---------- ¦ 00 ¦ i ¦ m \---T---T---T--- y2L==============+----- ¦ 01 ¦ 1 ¦ 0 ¦ ¦ j ¦ j ¦ ¦ y3L=========+--+======- ¦ 10 ¦ i ¦  +---+---+---+---+                       ¦ 11 ¦ i ¦ 1 ¦ 1 ¦ ¦ 1 ¦ 1 ¦                       L----+-------  L---+---+---+---- f(x,y) = x'y+i(x'y)' = Ix'y. "Правильный" модус - EAO. 3.13.OmxAmy -> f(x,y) = j(mx')'+my'+jm'y+f(x,y) = 1(i) m L=========+---------- -----T------ xy x1 L-------------+=====- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10 x2 L----+==============- +----+------+ m \---T---T---T--- x3 L=====+-------------- ¦ 00 ¦ i ¦ 0 ¦ j ¦ j ¦ j ¦ j ¦ y1 L=============+------ ¦ 01 ¦ 1 ¦ +---+---+---+---+ y2 L=========+---------- ¦ 10 ¦ i ¦ 1 ¦ 1 ¦ ¦ j ¦ 1 ¦ y3 L=========+---+=====- ¦ 11 ¦ i ¦ L---+---+---+----                        L----+------- f(x,y) = Ix'y. "Правильный" модус - OAO.Очередная ошибка классической логики.                        Фигура 4. 4.1. AxmAmy -> f(x,y) = m'x+jmx'+my'+f(x,y) = 1 m L=========+---------- -----T------ xy x1 L====+--------------- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10 x2 L=========+---------- +----+------+ m \---T---T---T--- y1 L============+------- ¦ 00 ¦ 1 ¦ 0 ¦ ¦ j ¦ 1 ¦ 1 ¦ y2 L=========+---------- ¦ 01 ¦ i ¦ +---+---+---+---+                       ¦ 10 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦ j ¦ ¦ 1 ¦                       ¦ 11 ¦ 1 ¦ L---+---+---+----                       L----+------- f(x,y) = x'y'+xy+ix'y = Axy. Грубейшая ошибка классической логики,которая настаивает на модусеAAI. 4.5. ExmAmy -> f(x,y) = mx+my'+jm'y+f(x,y) = 1(i)                       -----T------ xy m L=========+---------- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10 x L--------------+====- +----+------+ m \---T---T---T--- y1L================+--- ¦ 00 ¦ i ¦ 0 ¦ ¦ j ¦ j ¦ ¦ y2L=========+---------- ¦ 01 ¦ 1 ¦ +---+---+---+---+ y3L=========+---+=====- ¦ 10 ¦ i ¦ 1 ¦ 1 ¦ ¦ 1 ¦ 1 ¦                       ¦ 11 ¦ i ¦ L---+---+---+----                       L----+------- f(x,y) = Ix'y. "Правильный" модус EAO - очередная ошибка классической логики. В результате получим следующие правильные модусы: 1-я фигура: AAA,AEO,AII,AOI,EAE,EEI,EII,EOI,IEO,OEI. 2-я фигура: AAI,AEE,AII,AOI,EAE,EEI,EII,IEO,OAO. 3-я фигура: AAI,AEI,AII,AOO,EAI,EEI,EII,EOI,IAI,IEO,OAI,OEI. 4-я фигура: AAA,AEE,EAI,EEI,EII,EOI,IAI,IEI. Полученные результаты очевидны,однако в большей своей части дан-ные модусы не совпадают с традиционными "правильными" силлогизмами[8]. Пример. В замечательной книге известного автора и политического легендар-ного деятеля России начала 20-го века В.В.Шульгина "Что нам в них ненравится"(М.:"Хорс",1992) на стр.210 есть интересный пример примененияклассической силлогистики для решения спорного вопроса. "...Карл Маркс плох,говорю я, - большая посылка. Карл Маркс - ев-рей, - малая посылка. Вывод:еврей - плох,не годится в качестве руково-дителя." Прав ли автор? Здравый смысл не согласен с таким выводом. Прове-рим формально по алгоритму ИЭИ силлогизм В.В.Шульгина. Карл Маркс - m плохой - x еврей - y M = AmxAmy = (m'+x)(m'+y) = m'+xy f(x,y) = xy+i = Ixy(3) Таким образом,мы получили следующее заключение (в Аристотелевомбазисе):"Некоторые евреи - плохие люди". Такой вывод справедлив длялюбой нации,хотя с позиции здравого смысла здесь нельзя сделать ника-кого заключения. Следовательно, В.В.Шульгин ошибся в силлогистике. Соотношения (1) - (4) описывают аристотелевскую логику,которая несоответствует требованиям,предъявленным русским ученым ВасильевымН.А.[6] к частным суждениям с научной точки зрения и с позиции логикиздравого смысла.Поэтому логика Аристотеля-Жергонна представляет инте-рес с чисто научно-исторической точки зрения. Некоторые дополнительные аспекты проблем современной силло-гистики изложены в [13].           Домашнее задание. 1.Проверить все "правильные" Аристотелевы модусы на основе базисаАристотеля-Жергонна. 2.Найти заключения для AxmImy',EmxIm'y,AmxIm'y',Am'xIxy.