Карл Фридрих Гаусс: вундеркинд от математики

Вундеркинд — это очень талантливый ребенок. Обычно его называют «развитым не по годам» или «одаренным», так как он почти всегда опережает сверстников в развитии. Немецкий математикКарл Фридрих Гаусс (1777–1855) был одним из таких детей. Он часто хвастался тем, что научился производить расчеты раньше, чем говорить. Будучи трех лет от роду, он исправил платежную ведомость отца, заявив: «Подсчеты неверны». Дальнейшая проверка ведомости показала, что малыш Карл был прав.

В десятилетнем возрасте ученик Гаусс получил на уроке следующую математическую задачу: какова сумма чисел от 1 до 100? Пока одноклассники отчаянно производили расчеты с бумагой и карандашом, Гаусс сразу представил себе, что если он запишет числа от 1 до 50 слева направо, а от 51 до 100 — справа налево прямо под списком чисел от 1 до 50, то каждая сумма чисел, стоящих друг под другом, будет равна 101 (1 + 100, 2 + 99, 3 + 98…). Поскольку выходило всего пятьдесят таких сумм, ответ составил 101 х 50 = 5050. Ко всеобщему изумлению (включая учителя), юный Карл получил ответ, не только опередив всех остальных учеников, но и вычислив его целиком в уме. Мальчик записал ответ на своей грифельной доске и швырнул ее на стол учителя с дерзкими словами: «Вот ответ».

Учитель был настолько поражен, что за свои деньги купил наилучший из доступных учебников по арифметике и отдал его Гауссу, заявив: «Это превышает пределы моих возможностей, я больше ничему не смогу его научить».

Действительно, Гаусс стал учить математике других и в конечном итоге достиг небывалых высот, прослыв одним из величайших математиков в истории, чьи теории до сих пор служат науке. Его желание лучше понимать природу посредством языка математики было подытожено в его девизе, взятом из шекспировского «Короля Лира» (заменяя «закон» на «законы»): «Природа, ты моя богиня! В жизни я лишь твоим законам послушен».

 

ВЫЧИТАНИЕ СЛЕВА НАПРАВО

Для большинства из нас сложение проще вычитания. Но если вы будете вычитать слева направо и начнете разделять вычисления на более простые действия, вычитание может стать почти таким же простым, как сложение.

 

Вычитание двузначных чисел

При вычитании двузначных чисел следует упростить задачу, сведя ее к вычитанию (или сложению) однозначных. Начнем с очень простого примера.

 

После каждого действия вы переходите на новый, более простой этап вычитания. Сначала отнимаем 20 (86–20 = 66), затем 5, имея простое действие 66 — 5, в итоге получаем 61. Решение схематически можно представить как:

 

Конечно, вычитать значительно легче, если не нужно занимать единицу из старшего разряда (так происходит, когда бóльшая цифра вычитается из меньшей). Однако хочу вас успокоить: трудные задачи на вычитание обычно можно превратить в легкие задачки на сложение. Например:

 

Существуют два способа решить этот пример в уме.

1. Сначала вычитаем 20, затем 9:

 

 

Но для этой задачи я предлагаю другую стратегию.

2. Сначала вычитаем 30, потом прибавляем 1

 

Определить, какой метод лучше использовать, вам поможет правило:

 

если в задаче на вычитание двузначных чисел вычитаемая цифра больше уменьшаемой, округлите ее до десяти.

 

Далее из уменьшаемого числа вычтите округленное число, а потом прибавьте разность между округленным числом и первоначальным. Например, в задаче 54–28 вычитаемое 8 больше уменьшаемого 4. Поэтому округляем 28 до 30, вычисляем 54–30 = 24, после чего прибавляем 2 и получаем ответ — 26.

 

А теперь закрепим знания на примере 81–37. Так как 7 больше 1, округляем 37 до 40, вычитаем это число из 81 (81–40 = 41), а затем прибавляем разность 3 для получения ответа:

 

Всего лишь немного практики — и вы без труда сможете решать задачи обоими способами. Используйте вышеуказанное правило для принятия решения о том, какой способ лучше подходит.

 

Вычитание трехзначных чисел

Теперь займемся вычитанием трехзначных чисел.

 

 

Этот пример не требует округления чисел (каждая цифра второго числа как минимум на единицу меньше соответствующих цифр первого), поэтому задача не должна быть слишком сложной. Просто вычитайте по одной цифре за раз, с каждым шагом упрощая задачу.

 

Теперь рассмотрим задачу на вычитание трехзначных чисел, которая требует округления.

 

 

На первый взгляд она кажется довольно сложной. Но если сначала вычесть 600 (747–600 = 147), а потом прибавить 2, то получим 149 (147 + 2 = 149).

 

Теперь попробуйте сами.

 

Вначале вы вычли 700 из 853? Если да, то получили 853–700 = 153, не правда ли? Так как вы вычли число, на 8 большее исходного, прибавили ли вы 8, чтобы получить ответ 161?

 

Теперь я могу признаться, что нам удалось упростить процесс вычитания, потому что вычитаемые числа были почти кратными 100. (Вы заметили?) А как насчет других задач, например такой?

 

Если вычитать по одной цифре за раз, упрощая каждое действие, то последовательность будет выглядеть так:

 

А что произойдет, если округлить вычитаемое до 500?

 

Вычесть 500 легко: 725–500 = 225. Но вы отняли слишком много. Хитрость в том, чтобы точно определить, чему равно это «слишком много».

На первый взгляд, ответ не очевиден. Чтобы найти разницу между 468 и 500. Ответ можно получить с помощью дополнения — ловкого приема, который упростит большинство задач на вычитание трехзначных чисел.

 

Вычисление дополнений

Быстро скажите, как далеко от 100 эти числа?

 

 

Вот ответы:

 

Обратите внимание, что для каждой пары чисел, сумма которых равна 100, первые цифры (слева) в сумме дают 9, а последние (справа) — 10. Можно сказать, что 43 — это дополнение для 57, 32 — для 68 и так далее.

А сейчас отыщите дополнения к следующим двузначным числам:

 

Чтобы найти дополнение к числу 37, сначала определите, сколько нужно прибавить к 3, чтобы получить 9. (Ответ — 6.)

Затем выясните, сколько следует добавить к 7 для получения 10. (Ответ — 3.) Следовательно, 63 — дополнение к 37.

Остальные дополнения: 41, 7, 56, 92 соответственно. Обратите внимание, что как матемаг вы ищете дополнения, как и все остальное, слева направо. Как мы уже выяснили, первую цифру увеличиваем до 9, вторую до 10. (Исключение, если числа заканчиваются на 0 — например, 30 + 70 = 100, — но такие дополнения легко вычислить!)

Какая связь между дополнениями и устным вычитанием?

Они позволяют преобразовать сложные примеры на вычитание в простые задачи на сложение. Рассмотрим последнюю задачу, доставившую нам некоторые трудности.

 

Итак, сначала вычитаем из 725 число 500 вместо 468 и получаем 225 (725–500 = 225). Однако поскольку мы вычли слишком много, нужно выяснить, сколько теперь следует прибавить. Использование дополнений позволяет мгновенно дать ответ. На сколько цифр 468 отстоит от 500? На столько же, насколько 68 отстоит от 100. Если искать дополнение для 68 показанным выше способом, то выйдет 32. Прибавьте 32 к 225 и получите 257.

 

Попробуйте другую задачу на вычитание трехзначных чисел:

 

Чтобы подсчитать это в уме, отнимите 300 от 821, выйдет 521. Затем прибавьте дополнение для 59 (то есть 41), получится 562. Весь процесс выглядит следующим образом:

 

Вот еще один пример:

 

 

Проверьте свой ответ и ход решения:

 

Вычитание трехзначного числа из четырехзначного не многим сложнее, что иллюстрирует следующий пример.

 

Путем округления вычитаем 600 из 1246. Получаем 646.

Затем прибавляем дополнение для 79 (то есть 21). Ответ: 646 + + 21 = 667.

 

Выполните упражнения на вычитание трехзначных чисел, данные ниже, а затем попробуйте придумать свои примеры на сложение (или на вычитание?).

 

 

Глава 2