Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2022-12-20 | 29 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
6.3.1. Задача №1
Рассчитать потери напора при неизотермической перекачке нефти по участку трубопровода, равные
где d – внутренний диаметр,
L – протяженность трубопровода,
Q – расход нефти,
начальная и конечная температуры соответственно,
температура окружающей среды,
кинематическая вязкость при температуре
соответственно.
Вычисления провести в следующем порядке:
4). Функция зависит от величины числа Рейнольдса:
если ламинарное течение, то
,
если переходный режим течения, то
, где
,
если течение в зоне гидравлически гладких труб, то
(Формула Блазиуса).
В качестве исходных данных взять
и
( -сантистокс
Задание выполнить по вариантам:
№ вар. | d, мм | L, км | Q, | |||
1 | 514 | 125 | 800 | 45 | 25 | 10 |
2 | 700 | 140 | 1500 | 50 | 25 | 8 |
3 | 800 | 130 | 1900 | 50 | 30 | 12 |
4 | 700 | 150 | 1400 | 45 | 25 | 5 |
5 | 514 | 150 | 750 | 40 | 20 | 10 |
6 | 700 | 130 | 800 | 45 | 25 | 8 |
7 | 800 | 120 | 1500 | 50 | 30 | 12 |
№ вар. | d, мм | L, км | Q, | |||
8 | 514 | 160 | 1900 | 50 | 30 | 5 |
9 | 514 | 120 | 1400 | 50 | 25 | 10 |
10 | 700 | 125 | 750 | 40 | 25 | 8 |
11 | 800 | 140 | 800 | 40 | 25 | 12 |
12 | 514 | 130 | 1500 | 45 | 25 | 5 |
13 | 700 | 120 | 1900 | 55 | 35 | 10 |
14 | 700 | 160 | 750 | 45 | 25 | 8 |
15 | 800 | 125 | 1400 | 40 | 20 | 12 |
16 | 514 | 140 | 800 | 40 | 20 | 5 |
17 | 800 | 130 | 1500 | 45 | 25 | 10 |
18 | 700 | 120 | 1900 | 45 | 25 | 8 |
19 | 800 | 160 | 750 | 40 | 20 | 12 |
20 | 514 | 125 | 1400 | 50 | 30 | 5 |
21 | 700 | 140 | 800 | 45 | 25 | 10 |
22 | 514 | 130 | 1500 | 50 | 25 | 8 |
23 | 700 | 120 | 1900 | 50 | 30 | 12 |
24 | 800 | 125 | 1400 | 40 | 25 | 5 |
6.3.2. Задача №2
Два прямолинейных участка дороги часто сопрягают по кривой, которая строится следующим образом: для первой половины кривой ее кривизна пропорциональна ее длине, вторая же половина кривой строится симметрично первой. Т.е. если величина S – длина участка кривой, отсчитываемая от ее начала, а K – кривизна кривой в конце этого участка, то .
|
Такие кривые называются клотоидами или спиралями Карно.
Можно показать, что в прямоугольных координатах кривая задается следующим образом:
Эти интегралы носят название интегралов Френеля.
Положим . Необходимо рассчитать координаты x, y точек сопрягающей кривой при различных S.
Вычисления интегралов предлагается провести по формуле трапеций.
Данные по вариантам:
№ вар. | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
S | 0.5 | 0.75 | 1 | 1.25 | 1.5 | 1.75 | 2 | 2.25 | 2.5 | 2.75 | 3 | 3.25 |
7. Методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка
7.1. Основные понятия
Решение задачи Коши для уравнения вида заключается в отыскании функции , удовлетворяющей этому уравнению и начальному условию .
Есть задачи, для которых решение можно найти аналитически. Но таких задач немного. А для остальных используют приближенные методы решения. Эти методы не дают аналитического вида функции, а значит и нельзя получить значение искомой функции в любой точке. Но они позволяют оценить приближенно значения искомой функции на некотором отрезке , где , а правый конец отрезка задан, исходя из потребностей.
Для получения решения приближенными методами указанный отрезок разбивается на n равных частей точками , так что . При этом говорят, что задается сетка. Шагом сетки h называется расстояние между соседними точками разбиения (узлами) . Оно равно . Значение функции в начальной точке сетки известно: оно задается начальным условием . Значение функции в каждом следующем узле сетки рассчитывается по значению в предыдущем узле по формулам метода. Таким образом, приближенные методы позволяют найти решение уравнения в виде сеточной функции со значениями в узлах сетки .
Познакомимся с некоторыми из этих методов.
7.1.1. Метод Эйлера
Этот простейший численный метод заключается в разложении искомой функции в ряд Тейлора в окрестностях узлов сетки в котором отбрасываются все члены, содержащие производные второго и более высоких порядков. Запишем это разложение в окрестности узла :
|
Т.к. и , то, отбрасывая , получаем:
.
Введя обозначение , окончательно получаем формулу метода Эйлера, позволяющую по значению искомой функции в точке найти значение ее в следующем узле :
.
Погрешность метода на каждом шаге вычислений имеет порядок . Это следует из того, что для получения формулы был отброшен член .
7.1.2. Модифицированный метод Эйлера
Этот метод имеет лучший порядок точности, и формулу для него получают, оставляя в разложении функции в ряд Тейлора в окрестностях узлов слагаемые, содержащие вторую производную:
. (1)
Затем аппроксимируют вторую производную с помощью отношения конечных разностей:
(2)
Подставляя выражение (2) вместо второй производной в (1), получают:
.
И после преобразования:
(3)
Заменяя производные выражениями
и ,
где - найдено по формуле Эйлера, т.е. , получают формулу модифицированного метода Эйлера:
, где
Погрешность метода на каждом шаге вычислений имеет порядок . Это следует из того, что для получения формулы был отброшен член .
7.1.3. Метод Рунге-Кутта
Этот метод является самым популярным, т.к. дает хороший порядок точности. Формулу для этого метода получают, сохраняя в представлении функции в виде ряда Тейлора в узлах большее число членов. Т.к. вывод ее достаточно громоздкий, то он здесь не приводится.
Формулы метода Рунге-Кутта имеют следующий вид:
, где
Погрешность метода на каждом шаге вычислений имеет порядок .
Отметим некоторые существенные моменты применения указанных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с начальным условием .
Заметим, что погрешность вычислений с каждым следующим шагом может иметь тенденцию к накоплению. Отсюда сразу следует, что лучше применять для расчетов методы, дающие более точный результат на каждой итерации. Из рассмотренных выше методов лучшим является метод Рунге-Кутта, ошибка в котором пропорциональна шагу в пятой степени. А так как шаг выбирается обычно маленьким, то и ошибка мала.
|
Если метод решения выбран, то следующая задача – это выбор шага . И тут возникает следующая проблема. Допустим, нужно получить значения искомой функции на отрезке , где . С одной стороны, шаг нужно взять маленьким, чтобы ошибка каждого шага была небольшой. С другой стороны, при этом возрастет число шагов вычислений, что приводит в свою очередь к накоплению ошибки. Так что шаг в каждом случае следует выбирать некоторым оптимальным образом.
7.1.4. Пример 1
Решим предлагаемую ниже задачу Коши методом Эйлера с заданным шагом на отрезке :
Для данной задачи можно указать аналитическое выражение для функции решения. Легко проверить, что это будет функция . Здесь специально выбрана такого рода задача, чтобы иметь возможность сравнить работу методов, зная точные значения функции решения в точках разбиения отрезка .
Проведем расчеты по формуле Эйлера.
По условию . Формула Эйлера имеет вид:
Следовательно,
Выпишем полученные по методу Эйлера значения функции и значения точного решения в этих же точках в таблицу и проследим накопление ошибки:
Метод Эйлера | Точное решение | Ошибка вычислений | |
1.2000 | 1.2221 | 0.0221 | |
1.4420 | 1.4977 | 0.0557 | |
1.7384 | 1.8432 | 0.1048 | |
2.1041 | 2.2783 | 0.1742 | |
2.5569 | 2.8274 | 0.2705 | |
Метод Эйлера | Точное решение | Ошибка вычислений | |
3.1183 | 3.5202 | 0.4019 | |
3.8139 | 4.3928 | 0.5789 | |
4.6747 | 5.4895 | 0.8148 | |
5.7377 | 6.8645 | 1.1268 | |
7.0472 | 8.5836 | 1.5364 |
7.1.5. Пример 2
Рассмотрим ту же задачу и решим ее теперь модифицированным методом Эйлера:
Формула метода имеет вид
, где
Проведем по ней расчеты
Выпишем полученные по модифицированному методу Эйлера значения функции и значения точного решения в этих же точках в таблицу и проследим накопление ошибки:
Модифициро-ванный метод Эйлера | Точное решение | Ошибка вычислений | |
1.2210 | 1.2221 | 0.0011 | |
1.4948 | 1.4977 | 0.0029 | |
1.8375 | 1.8432 | 0.0057 | |
2.2685 | 2.2783 | 0.0098 | |
2.8118 | 2.8274 | 0.0156 | |
3.4964 | 3.5202 | 0.0238 | |
4.3579 | 4.3928 | 0.0349 | |
5.4393 | 5.4895 | 0.0502 | |
6.7938 | 6.8645 | 0.0707 | |
8.4856 | 8.5836 | 0.0980 |
|
Сравнивая картину погрешностей в этом методе и в методе Эйлера, можно видеть, что погрешности модифицированного метода Эйлера на порядок меньше соответствующих погрешностей метода Эйлера.
7.1.6. Пример 3
Решить ту же задачу методом Рунге-Кутта:
Запишем формулы метода Рунге-Кутта:
, где
Проведем по ним расчеты.
Для имеем
Для имеем
………………………………………………………………..
Для имеем
Выпишем полученные по методу Рунге-Кутта значения функции и значения точного решения в этих же точках в таблицу и проследим накопление ошибки:
Метод Рунге-Кутта | Точное решение | Ошибка вычислений | |
1.2221 | 1.2221 | 0.0000 | |
1.4977 | 1.4977 | 0.0000 | |
1.8432 | 1.8432 | 0.0000 | |
Метод Рунге-Кутта | Точное решение | Ошибка вычислений | |
2.2783 | 2.2783 | 0.0000 | |
2.8274 | 2.8274 | 0.0000 | |
3.5201 | 3.5202 | 0.0001 | |
4.3927 | 4.3928 | 0.0001 | |
5.4894 | 5.4895 | 0.0001 | |
6.8643 | 6.8645 | 0.0002 | |
8.5834 | 8.5836 | 0.0002 |
Сравнивая картину погрешностей в методе Рунге-Кутта и в рассмотренных ранее методе Эйлера и модифицированном методе Эйлера, можно видеть, что погрешности этого метода на несколько порядков меньше соответствующих погрешностей двух других методов. Именно поэтому метод Рунге-Кутта находит наибольшее применение.
7.2. Лабораторная работа №11
|
|
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!