II Нижегородская открытая ОСЕННЯЯ олимпиада

II Нижегородская открытая ОСЕННЯЯ олимпиада

По математике для 5-7-х классов

Класс

Существует ли треугольник, у которого все стороны (в см) равны простым числам, причём одно из них равно 2?

Ответ: Да, например, равносторонний треугольник со стороной 2. А вообще условию задачи удовлетворяют все треугольники со сторонами (2, р, р), где р – любое простое число, и треугольник со сторонами (2, 2, 3). Это совсем нетрудно доказать, воспользовавшись неравенством треугольника.

Комментарий: К сожалению, многие школьники не вдумались в условие этой простой задачи про простые числа и не решили её, посчитав все стороны различными простыми числами.

Мюнхгаузен утверждает, что существуют семь различных положительных чисел таких, что каждое из них равно половине произведения каких-то двух других. Прав ли он?

Ответ: Мюнхгаузен прав. Решение: Например, подойдут числа , , 2⁰=1, 2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴=16. Тогда .

Комментарий: К сожалению, многие школьники также не вдумались в условие этой задачи про положительные числа и не решили её, посчитав числа целыми и ошибочно рассуждая с самым маленьким числом. На самом деле, самое маленькое число вполне может быть половиной произведения двух бОльших  чисел, например, . Данный факт верен для произведения, но не является верным для суммы различных чисел, что и привело к ошибке школьников. Очень надеемся, что первые две задачи нынешней нашей олимпиады станут для школьников прекрасным уроком на будущее и они больше никогда не будут видеть в задаче то, чего в ней нет.

3. Найдите наибольшее возможное значение разности пятизначных чисел , если . (одинаковые буквы – одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры)

Ответ: 85407. Решение: Заметим, что цифры С, Е и Н не равны 0 в силу неравенства . , тогда согласно транснеравенству и с учётом отличия от нуля цифр (В, С, Е и Н) наибольшее значение будет приниматься при , при этом Н может принимать какое-то значение из пяти оставшихся цифр (3, 4, 5, 6), тогда , т.е., например, 98237–12830=85407, что ещё и удовлетворяет условию 9∙8∙2∙3∙7¹1∙2∙8∙3∙0 ().

Комментарий 1: Обязательно, нужна проверка, что .

Комментарий 2: Естественно, что в данной задаче автором подразумевалось, что школьникам не требуется знать транснеравенство, но …: 1) действовать через разложение чисел по разрядам с дальнейшей попыткой объяснения, почему максимум будет получаться при соответствующем наборе букв-цифр – это было важно; 2) желающему учиться всерьёз – желаем познакомиться с транснеравенством и в будущем спокойно им пользоваться. Поэтому только 1 нижегородский школьник смог получить полный балл (7) по этой задаче.

На олимпиаде участвовало 100 школьников, каждый решил ровно три задачи. Оказалось, что у любых четверых из них есть общая решённая задача. Докажите, что и у любых пятерых из них есть общая решённая задача.

Доказательство: Рассмотрим любых пятерых. Выделим одного из них. Тогда с каждой из четырёх троек, составленных из оставшихся четверых, он имеет общую решённую задачу. Значит, по принципу Дирихле с двумя тройками у него есть общая задача, тогда со всеми детьми из этих двух троек у него есть общая задача, т.е. со всеми четырьмя остальными школьниками из этой пятёрки. Следовательно, все пятеро имеют общую решённую задачу, что и требуется доказать.

Комментарий: Практически было понятно, что ни одному школьнику не удастся решить эту задачу, что и произошло. Потому что … надо УЧИТЬСЯ! Без серьёзной учёбы в ОЛИМПИДНОЙ МАТЕМАТИКЕ делать нечего!

5. Винтик измерил все стороны своей картонной коробочки в виде прямоугольного параллелепипеда и обнаружил, что: 1) все три стороны (a, b, c – длина, ширина и высота) имеют целую длину в см, 2) сумма объёма (в см³) и всех трёх сторон (в см) равна 63, 3) суммарная площадь всей поверхности (в см²) равна 124. Шпунтик утверждает, что у его коробочки такие же свойства, причём его коробочка (также прямоугольный параллелепипед) отличается от коробочки Винтика. Могло ли такое быть?

Ответ: да, например, если этикоробочки имеют размеры 1´6´8 и 1´2´20. Решение: abc + a + b + c =63, ab + bc + ca =62 – половина площади поверхности, тогда abc + a + b + c = ab + bc + ca +1, откуда после переноса в левую часть равенства увидим, что левая часть раскладывается на множители    (a –1)(b –1)(c –1)=0, откуда один из размеров (можно считать, что с) равен 1. Тогда первое уравнение примет вид ab + a + b + 1=63, что равносильно равенству (a +1)(b +1)=63, где слева оба множителя являются натуральными числами, не меньшими двух, и дают в произведении 63=3∙21=7∙9. Значит, две других стороны равны или 2 и 20, или 6 и 8.

Комментарий: И это решение, конечно же, было нереальным для нынешних нижегородских школьников. Но … найти ответ перебором малых чисел вполне можно было … Подставим 1 и 2 вместо двух чисел. Нам везёт, мы находим сразу, что третья сторона равна 20. Попробуем ещё перебирать при одном размере, равном 1. Нам не везёт при 3, 4, 5, … Но вдруг везёт при 6, третий размер равен 8. Вывод – есть две разных коробочки, которые могли быть у Винтика и Шпунтика! Кроме того, у Носова, автора историй про Незнайку, Винтик и Шпунтик были весьма умелыми инженерами, поэтому явно должны быть такие две разные коробочки: J. Осталось их найти, например, методом … подбора. Нашёл – 7 баллов получи! Вот, если бы героями задачи были Знайка и Незнайка, тогда ответ непредсказуем: J!

 

Класс

1. Сколько решений имеет ребус:   К+Л+А+С+С = 6? (разные буквы – разные цифры, одинаковые буквы – одинаковые цифры)

Ответ: 6 решений. Решение: Заметим, что 6³ К+Л+А+С ³0+1+2+3=6, значит, цифра С обязательно равна 0, а набор цифр К, Л и А является набором 1, 2 и 3, причём в любом порядке, что даёт ровно 3!=6 случаев перестановки цифр 1, 2, 3 по трём местам.

Комментарий 1: Всё решение в одну строчку! Жаль, что такую строчку увидеть не удаётся. Школьники начинают мучиться с перебором буквы С … ОЛИМПИАДНАЯ МАТЕМАТИКА – это ИСКУССТВО решать задачи КРАСИВО!

Комментарий 2: Бывает и такая красота – задача про 6-й класс с ответом 6.

Класс

1. Есть ли хотя бы одно решение у ребуса: ? (разные буквы – разные цифры)

Ответ: да, например, , . Явно есть и другие варианты.

Комментарий: Догадаться до дроби со знаменателем 1 и таких целочисленных дробей, как 4/2, 6/2, 8/2, 6/3, 9/3 8/4, совсем нетрудно, а дальше подобрать цифры Т и Д уже дело техники. Но, к огромному сожалению, дети массово путают понятия «цифра» и «число».

2. Мог ли на контрольной в классе из 20 человек процент отличников оказаться равен 20%, а средний балл при этом оказаться равен 4,4? Могли быть выставлены только оценки 2, 3, 4 и 5.

Ответ: Нет, т.к. в этом случае получаем ровно 4 отличника (20% – это пятая часть (от 20)), суммарный балл будет не более 4∙5+16∙4=84, тогда средний балл будет не более 84:20=4,2, что ниже заявленных 4,4.

II Нижегородская открытая ОСЕННЯЯ олимпиада