Лукашенко В.И., Ахметзянов Р.И., Минсагиров М.Ф.

Лукашенко В.И., Ахметзянов Р.И., Минсагиров М.Ф.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕСУРСА СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ  СИСТЕМЫ ПРИ ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРАХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Учебно-методическое пособие

 

Казань

2017

 

 

УДК 624.04

ББК 38.112

    Л84

 

 Лукашенко В.И., Ахметзянов Р.И., Минсагиров М.Ф.

Л84 Определение ресурса статически определимой системы при заданных параметрах случайных величин: Учебно-методическое пособие. – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитект.-строит. ун-та, 2017. – с. 55

 

Печатается по решению Редакционно-издательского совета Казанского государственного архитектурно-строительного университета

 

 

В учебно-методическом пособии изложены методы вероятностного анализа случайных величин, моделируемых в заданных интервалах, применительно к решению задач оценки прочности и ресурса строительных конструкций.  Пособие  определяет задания и порядок выполнения курсовой работы, предусмотренной рабочей программой по курсу   «Вероятностные методы строительной механики и теория  надежности строительных конструкций» для студентов специальности 08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений» и магистрантов направления подготовки 08.04.01 “Строительство” по программе «Теоретические основы и практические методы расчета строительных конструкций»

 

Ил. 17 + 8 (Приложения 1 и 2); табл. 19 + 10 (Приложения 1 и 2).

 

 

                                                 Рецензенты:

Доктор технических наук, заслуженный деятель науки и техники РТ, профессор кафедры металлоконструкций и ИС

И.Л. Кузнецов

Кандидат технических наук, доцент кафедры металлоконструкций и ИС

О.И. Ефимов

                        

 

                                                              УДК 624.04

                                                                        ББК 38.112

 

                                                © Казанский государственный

                                                             архитектурно-строительный         

                                                             университет, 2017                                   

 © Лукашенко В.И., Ахметзянов Р.И.,

Минсагиров М.Ф., 2017

С ОДЕРЖАНИЕ

 

Введение ……………………..……………………………….………………....3

1. Основные понятия и задачи вероятностных методов (СМ) ……… ……. 3

2. Понятия и математический аппарат, используемые в вероятностных методах СМ …………………………………………………………...….……..5

3. Основные характеристики случайных величин. Квантили

вероятности P(x). …………………………………………….…………..……..9

4. Понятие надежности сооружения. Резерв прочности.

Характеристика безопасности. Коэффициент запаса прочности...………....11

5. Сочетания прочностных свойств. Метод статистической линеаризации.14

6. Повторные нагружения. Определение расчетной нагрузки

при многократном действии...…………………………………………….……15

7. Определение ресурса статически определимой системы при

заданных параметрах случайных величин........………………………………16

Приложение 1……………………………………………………………………33

Приложение 2……………………………………………………………………49

Список литературы…………………………………………………………… 51

Схемы к РГР № 1………………………………………………………………...52

 

Введение

Реальное сооружение и его условия эксплуатации отличаются от идеа-лизированной расчетной модели и условий, рассматриваемых на стадии проектирования. Фактические напряжения, деформации и перемещения являются случайными величинами из-за случайного характера внешних воздействий, прочностных и др. внешних условий. Поэтому надежность результатов расчета и, в конечном счете, конструкции, должна быть определена с помощью вероятностных методов строительной механики с привлечением методов теории вероятностей.

Обычный подход к расчету конструкций состоит из двух этапов.

1. Для заданной расчетной модели вычисляются напряжения, деформации и перемещения в элементах конструкций, подверженных действию различных внешних нагрузок. Эта задача решается методами строительной механики, теории упругости, теории пластичности и т.д. Такой подход называется детерминистическим.

2. Вычисленные величины сопоставляются с нормативно допустимыми значениями. При этом решается задача надежности, долговечности и экономичности конструкции. Обычно для решения этих задач использовался сначала метод допускаемых напряжений для определения коэффициентов запаса прочности. Он заключался в том, что для любого волокна конструкции должно было выполняться условие

k S £ S _доп,

где S _доп – допускаемое напряжение; S – напряжение в волокне, определяемое методами строительной механики; k – коэффициент запаса.

В 1945 году метод допускаемых напряжений уступил место другому методу, снимавшему частично эти противоречия, и получил название «Метод предельных состояний». Общий коэффициент запаса был рас-членен на три коэффициента: однородности материала, перегрузки и усло-вий работы. Таким образом, вероятностная оценка общих коэффициентов запаса прочности была расчленена на три независимых оценки, учиты-вающих различную изменчивость прочностных характеристик мате- риалов, величин и характера нагрузок. При этом предполагалось, что    в расчлененном варианте решение неопределенностей будет точнее.      В 1955 году метод, благодаря работам Н.С. Стрелецкого, был включен в «Строительные нормы и правила СССР» и в дальнейшем усовершенствован: система расчетных коэффициентов была расширена до пяти. Это коэффициенты надежности по нагрузке – , по материалу – ,     по назначению – , при расчете по временному сопротивлению –  и коэффициенты условий работы – .

 

Основные понятия и задачи вероятностных методов (СМ)

Надежность – свойство объекта сохранять во времени в установлен-ных пределах значения всех параметров, характеризующих способность объекта выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонта и транспортирования. Иначе, надежность – это устойчивость качества по отношению ко всем возможным возмущениям. Надежность определяется количественными показателями (промежуток времени, число рабочих циклов, число километров и т.д.).

В зависимости от назначения системы и условий ее эксплуатации надежность включает различные свойства: 1) безотказность; 2) долговечность; 3) ремонтопригодность; 4) сохраняемость и любые их сочетания.

Безотказность – вероятность безотказной работы конструкции за определенный промежуток времени.

Долговечность – вероятный промежуток времени безотказной работы конструкции.

Ремонтопригодность – вероятность того, что неисправная система может быть восстановлена за заданное время.

Содержание теории надежности – разработка методов оценки надежности систем и создание систем, обладающих заданными показателями надежности и долговечности.

Задачи расчета на надежность:

–  определение вероятности выхода конструкции из строя в заданных условиях;

– нахождение по заданной экономически целесообразной надежности требуемых размеров конструкции;

– определение допустимых нагрузок или оптимального срока эксплуатации;

– оценка надежности системы по имеющимся оценкам надежности составляющих ее элементов.

 В задачу теории надежности строительных конструкций входит также обоснование процедур нормирования расчетных характеристик.

Специфика теории надежности строительных конструкций состоит в необходимости учета случайных свойств нагрузок и воздействий на сооружения, а также учета совместного действия случайных нагрузок на систему со случайными прочностными характеристиками.

Основное понятие теории надежности – отказ – это событие, состоящее в нарушении работоспособности системы. Понятие отказа близко по смыслу к понятию предельного состояния. К предельным состояниям 1-й группы относятся: общая потеря устойчивости формы, потеря устойчивости положения, любое разрушение, переход в изменяемую систему, качественное изменение конфигурации; состояния, при которых возникает необходимость прекращения эксплуатации в результате текучести материала, сдвига в соединениях, ползучести или чрезмерного раскрытия трещин. Предельные состояния 2-й группы – недопустимые деформации конструкции в результате прогиба, поворота или осадок, характеризуемых разностью вертикальных перемещений узлов, отнесенных к расстоянию между ними, креном сооружения в целом, относительным прогибом или выгибом, кривизной элемента, относительным углом закручивания, горизонтальным или вертикальным смещением элемента или сооружения в целом, углом перекоса или поворота. К предельным состояниям 2-й группы относятся также недопустимые колебания конструкции, изменение положения, образование или раскрытие трещин.

Примеры отказов – обрушения, опрокидывания, потеря устойчивости, хрупкое разрушение, большие деформации и прогибы, механический или коррозионный износ, растрескивание и т.д.

Отказы вызваны влиянием случайных факторов, поэтому они носят случайный характер. За показатель (меру) надежности системы может быть принята вероятность Р безотказной работы в течение всего срока службы Т.

Недостатки теории надежности – сложно получить опытные данные в количестве, достаточном для последующей их обработки методами теории вероятностей. Сложно длительный срок проводить испытания конструкции для получения надежных выводов о ее долговременной работе.

 

Вероятности P (x)

Математическое ожидание с.в. Х:

– дискретной                  ,                                                                                  

при этом        (М(x) – случайна при n ¹ ¥);

– непрерывной                                                                   

Математическое ожидание  – достоверная величина, так как вероятность того, что при n =¥ испытаниях мы получим среднее арифметическое М(X)=  равна 1.

М(с)=с, М(сx) = сМ(x), где с – неслучайное число.

Для независимых с.в. Х ₁ и Х ₂

М(x ₁ + x ₂)=М(x ₁)+М(x ₂), М(x ₁ x ₂)=М(x ₁)М(x ₂), М(x ²)=[М(x)]²+ D (x).

К математическому ожиданию стремится среднее арифметическое наблюдаемых значений с.в. при количестве испытаний n ®¥. Геометрически м.о. – это абсцисса ц. т. площади под кривой плотности распределения. Размерность м.о. совпадает с размерностью с.в.

Дисперсия с.в. Х – м.о. квадрата отклонения с.в. Х от ее м.о. (центра распределения):

D (x)= M [ x - M (x)]²= M (x ²)- M ² (x),

так как M [ x - M (x)]²= M [ x ² -2 xM (x)+ M ² (x)]= M (x ²)-2 M ² (x)+ M ² (x),

M [2 xM (x)]=2 M ² (x) и M [ M (x)]= M (x).

Дисперсия дискретной с.в. Х

                                                               

случайна при n ¹ ¥.

Дисперсия непрерывной с.в. Х:

                                           

(дисперсия непрерывной с.в. – достоверна).

 – математическое ожидание.

Дисперсия характеризует разброс с.в. вокруг ее среднего значения (математического ожидания).

D (c)=0,

D (cx)= c ² D (x),

D (c + x)= D (x).

Для независимых с.в. Х ₁ и Х ₂ D (x ₁ ± x ₂)= D (x ₁)+ D (x ₂).

Характеристика безопасности

Общее условие непревышения предельного состояния может быть представлено в виде

                        y (F_p, R_p, g _n, g _a, g _c,с) ³ 0.

Входящие в это условие факторы можно условно разделить на две группы. Первая группа факторов зависит от свойств самой конструкции, вторая от внешних воздействий. Это разделение возможно из-за отсутствия в большинстве случаев функциональных и корреляционных связей. Тогда это условие  можно представить в виде:

                         .                                      

Условие непревышения границы области допустимых состояний конструкций может определяться как

R – F > 0,

где с.в. R – обобщенная прочность конструкции (несущая способность);

F – обобщенная нагрузка, или иначе

S = R – F,

где F – наибольшее значение усилия (или напряжения) в конструкции, выраженное через внешнюю нагрузку (т.е. задача определения напряженного состояния предполагается решенной);

R – несущая способность, выраженная в тех же единицах, и отвечающая пре-дельному состоянию конструкции по прочности (предел текучести, предел прочности и т.д.); S – резерв прочности.

Вероятность неразрушения конструкции или надежность N – это вероятность непревышения случайной величины, характеризующей предельное состояние. Если кривая распределения этой величины каким-то образом определена, то по интегральной кривой распределения вероятности  можно найти квантиль вероятности N того, что реализация случайной величины S будет меньше этого квантиля, отсекая на кривой ординату  = N.

Вероятность разрушения конструкции:

.

При любых законах распределения с.в. R и F м.о. и дисперсия резерва прочности S:

            ;   .                                          

Для удобства вводят характеристику безопасности (при независимых R и F)

                      .                                      

b показывает число стандартов s (S), укладывающихся в интервале от S до  (рисунок).

Из определения вариативности с.в. следует

                                              ,                                             

где V (S) – коэффициент вариации (изменчивости) с.в. S (резерва прочности).

Иногда вместо резерва прочности вводят случайный коэффициент запаса

                                    K = R / F,                                              

здесь K, R, F – случайные величины.

Вероятность неразрушения:

P = P (K >1).

М.о. коэффициента запаса (коэффициент детерминированный)

.

Разделим числитель и знаменатель правой части выражения b  на  и получим характеристику безопасности:

 ,

где ,  – коэффициенты вариации усилия и несущей способности.

Использование значений V (F) и V (R) имеет то преимущество, что они могут быть сравнительно легко оценены с достаточной точностью даже при отсутствии полных статистических данных относительно с.в. R и F. Кроме того, при изменении значения нагрузки (например, в результате увеличения площади, с которой она собирается), равно как при изменении прочности несущих элементов (например, вслед-ствие увеличения размеров поперечных сечений), коэффициенты вариации V (F) и V (R) остаются постоянными.

Из выражения b при делении на  числителя и знаменателя видно, что при , при . Можно доказать, что при увеличении  от 1 до ¥ b монотонно изменяется от 0 до .

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ

 

1. Основанием для выполнения КР служит индивидуальная карточка-задание, выдаваемая преподавателем. Индивидуальная карточка наклеивается на титульный лист расчетно-пояснительной записки.

2. Курсовая работа выполняется в виде расчетно-пояснительной записки на листах чертежной бумаги (формат 210х297 мм), соединенных в брошюру-альбом. Оформление КР (текст, чертежи) проводится с соблюдением требований ЕСКД (Единой системы конструкторской документации, ГОСТ 2.105-68) и стандарта предприятия «Дипломные и курсовые проекты. Требования к оформлению пояснительной записки и чертежей», КИСИ, 1990.

3. Сроки выполнения КР устанавливаются учебными планами в соответствии с утвержденными рабочими программами. Текущий контроль выполнения задач и консультации по ним ведутся преподавателями кафедры.

4. Прием КР ведется индивидуально с проверкой разделов теоретических знаний и выдачей тестовых задач.

5. Компьютеры и программное обеспечение используются для самоконтроля, приобретения навыков исследовательской работы, более глубокого понимания изучаемых методов; необходимость их использования определяется преподавателем.

 

Рассматриваемые вопросы или этапы выполнения работы:

1. Расчет ресурса отдельного элемента сооружения.

2. Распределение прочности статически определимой системы.

3. Вычисления ресурса и коэффициентов запаса.

 

Работа выполняется как продолжение РГР по теме: «Расчет статически определимых систем на случайные постоянную и подвижную нагрузки». Для справки приводим перечень параметров случайных величин, порядок и пример их получения в соответствии с методическими указаниями [7] (см. Приложение 1).

Порядок выполнения РГР «Расчет статически определимых систем на случайные постоянную и подвижную нагрузки»

1. Провести кинематический анализ и построить поэтажную схему заданной системы.

2. Построить линии влияния (Л.В.) внутренних усилий M, Q в заданном сечении к (соответствует К в Приложении 1).

3. Используя нормальный закон распределения, смоделировать случайные величины в Excel-таблицах для всех заданных нагрузок (постоянных и временных) в заданных пределах их изменения.

4. Вычислить характеристики распределения случайных нагрузок и доверительные интервалы обнаружения их М.О. с вероятностью 0.95– 0.99 в Excel-таблицах.

5.  Определить расчетные сочетания нагрузок.

6. Для невыгоднейших сочетаний постоянной и временных нагрузок определить диапазоны изменения внутренних усилий M, Q в заданном сечении    по Л.В..

7. Используя нормальный закон распределения, смоделировать случайные величины в Excel-таблицах для M, Q в полученных пределах их изменения.

8. Вычислить характеристики распределения случайных M, Q и доверительные интервалы обнаружения их М.О. с вероятностью 0.95– 0.99 в Excel-таблицах.

9. Подобрать параметры сечения по найденным значениям М.О. M, Q.

10. Для заданных диапазонов пределов прочности бетона, стали и глубины закладки арматуры определить вероятностные характеристики распределения предельных M, Q с вероятностью 0.95–0.99 в Excel-таблицах.

11. Определить характеристики резерва и коэффициенты запаса прочности.

 

Результаты расчета от действия случайных подвижных и постоянных нагрузок используются как исходные данные для расчета на повторные статические случайные нагрузки с полученными статистическими параметрами.

Резерв прочности в сечении k:  (k соответствует К в Приложении 1) по моменту   19964 - 17669,73 = 2294кНм и по поперечной силе  = 3412 - 2236,947 =1175кН. (См. Приложение 1 п.11)

 

Дальнейшие расчеты ресурса проводятся как определение числа повторных нагружений до исчерпания полученного резерва прочности с заданной надёжностью неразрушения статически определимой системы. В работах  [8] и [9] на основе положений [3] приводятся алгоритмы решения этой задачи.

Дальнейшие расчеты проводятся в следующем порядке:

12. Для невыгоднейшего сочетания постоянной и временных нагрузок в условиях повторных нагружений определить зависимость и построить график изменения характеристики безопасности β(N) от числа повторений при сохранении доверительной вероятности 0.99 обнаружения максимальных M и Q в сечении к (по результатам пункта 8 и таблиц 6,7 в Excel-таблицах (стр. 8 и 9)).

При однократном приложении случайных нагрузок доверительный интервал при доверительной вероятности 0.99 обнаружения максимальных M и Q в сечении к (по результатам пункта 8 и таблиц 6,7 в Excel-таблицах (стр. 8 и 9)) получается при нормальном распределении с помощью таблиц функции Лапласа (Приложение 2) как значение β(1) = х аргумента Ф(х) = 0.99 – 0.5 = 0.49 и равно 2.33.

При повторных приложениях этих же нагрузок для сохранения доверительной вероятности 0.99 доверительный интервал увеличивается и значение β(N) должно определяться при вероятности                  

              Р = .

Полагая Ф(β) = Р – 0.5 = 0.5 – 0.01/N, по таблицам функции Лапласа (Приложение 2) получаем β(N) для N = 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000. 

 

N	1	10	100	1000	10000	100000
	0.49	0.499	0.4999	0.49999	0.499999	0.4999999
	2.33	3.15	3.77	4.15	5.00	5.00

 

Значения для произвольных значений можно получить и в Excel-таблицах [11] .

Характеристика безопасности для данного числа повторений
N	1	10	100	1000	10000	100000
Ф(β)	0,49	0,499	0,4999	0,5	0,5	0,5
β(N)	2,326	3,09	3,719	4,265	4,753	5,199
lq(N)	0	1	2	3	4	5

Представим в виде графика  (Рис. 1).

Рис. 1. Характеристика безопасности для данного числа повторений

 

13. Определить M(N) и Q(N) в сечении к и построить их графики при повторении нагрузки от lgN = 1,2,3,4,5.

(N) = , (N) =  , здесь n – число случайных величин при моделировании их в заданных интервалах.

Стандарты   σ M и Q в сечении к (по результатам пункта 8 и таблиц 6,7 в Excel-таблицах (стр. 8 и 9)) при моделировании их в заданных интервалах. Результаты можно получить в Excel-таблицах  и представить в виде графиков   и  (Рис.2 и Рис.3).

Расчетные М и Q для данного числа повторений нагрузки
N	1	10	100	1000	10000	100000
Qkmax(N)	2424,6	2486,2	2537	2581	2620,4	2656,4
Mkmax(N)	19460	20047	20531	20952	21327	21670

 

lq(N)	0	1	2	3	4	5
Mkmax(N)	19460	20047	20531	20952	21327	21670

Рис. 2. График

 

lq(N)	0	1	2	3	4	5
Qkmax(N)	2424,6	2486,2	2537	2581	2620,4	2656,4

 

Рис. 3. График

 

14. Определить и построить графики изменения коэффициента перегрузки (N) для M и Q в сечении к при повторении нагрузки от lgN = 1,2,3,4,5.

          (N) = 1+ , .

Коэффициенты перегрузки
N	1	10	100	1000	10000	100000
kпMk(N)	1,5548	1,737	1,887	2,0173	2,1337	2,2401
kпQk(N)	1,4595	1,6104	1,7346	1,8425	1,9389	2,027

 

Коэффициенты вариации (изменчивости) V  с.в. (Mk) и (Qk) (по результатам пункта 8):

= =  4214,545/17669,73 = 0,2385

и, аналогично,

=  = 441,8624/2236,947 = 0,1975,   

где     – стандарт, а   – М.О. Mk и Qk. 

Результаты можно получить и в Excel-таблицах  и представить в виде графиков   и  (Рис. 4 и  Рис. 5).

 

lq(N)	0	1	2	3	4	5
kпMk(N)	1,5548	1,737	1,887	2,0173	2,1337	2,2401

 

Рис. 4. График

 

lq(N)	0	1	2	3	4	5
kпQk(N)	1,4595	1,6104	1,7346	1,8425	1,9389	2,027

 

Рис. 5. График

 

15. Определить и построить графики резерва прочности  при повторении нагрузки от lgN = 1,2,3,4,5 при несущей способности  = 19964кНм и = 3412 кН, полученной в пункте 11 в Excel-таблицах (стр. 11–13 ).

  19964 - ,

 = 3412 - .

Резервы прочности по Q и М
N	1	10	100	1000	10000	100000
SMk(N)	505,27	-82,61	-566,6	-986,7	-1362	-1705
SQk(N)	987,41	925,77	875,03	830,98	791,62	755,64

 

Результаты можно получить и в Excel-таблицах  и представить в виде графиков   и  (Рис. 6 и Рис. 7).

lg(N)	0	1	2	3	4	5
SMk(N)	505,27	-82,61	-566,6	-986,7	-1362	-1705

 

Рис. 6. График

 

 

lq(N)	0	1	2	3	4	5
k-Qk(N)	1,5845	1,7263	1,8467	1,9529	2,0486	2,1367

 

Рис. 7. График

 

16. Вычислить значения коэффициента запаса прочности для M и Q в сечении к:  при повторении нагрузки от lgN = 1,2,3,4,5, принимая   постоянным, полученным в пункте 11, и построить графики  для M и Q в сечении к.

Коэффициенты запаса по Q и М
N	1	10	100	1000	10000	100000
k-Mk(N)	1,5561	1,7383	1,8883	2,0185	2,1349	2,2413
k-Qk(N)	1,5845	1,7263	1,8467	1,9529	2,0486	2,1367

Результаты можно получить в Excel-таблицах и представить в виде графиков   и  (Рис. 8 и Рис. 9).

 

lq(N)	0	1	2	3	4	5
k-Mk(N)	1,5561	1,7383	1,8883	2,0185	2,1349	2,2413

Рис. 8. График

 

lq(N)	0	1	2	3	4	5
k-Qk(N)	1,5845	1,7263	1,8467	1,9529	2,0486	2,1367

 

Рис. 9. График

17. Считая рассчитываемую систему равнопрочной, определить зависимость и построить график изменения характеристики безопасности β(ns) от числа равнонагруженных элементов по M и Q в опасных сечениях при сохранении доверительной вероятности 0.99 обнаружения предельной несущей способности по M и Q (по результатам пунктов 9, 10 и таблицах 8,9,10 в Excel-таблицах (стр. 11–13 )).  Доверительный интервал увеличивается и значение β(ns) должно определяться при вероятности                  

              Р = .

Полагая Ф(β) = Р – 0.5 = 0.5 – 0.01/ns, по таблицам функции Лапласа (Приложение 2) получаем β(ns) для ns = 1, 5, 10, 15, 20, 25.

 

Характеристика безопасности для данного числа опасных сечений:
Ns	1	5	10	15	20	25
Ф(β)	0,49	0,498	0,499	0,4993	0,4995	0,4996
β(ns)	2,326	2,878	3,09	3,209	3,291	3,353

 

Значения β(ns) для произвольных значений можно получить в Excel-таблицах  

 

β(ns) для ns = 1,  5, 10,  15, 20,  n. 

ns	1	5	10	15	20	25
	0.49	0.498	0.499	0.4993	0.4995	0.4996
	2.33	2.88	3.18	3.2	3.27	3.33

и представить в виде графика β(ns) (Рис. 10).

 

Рис. 10. График β(ns)

 

18.  Определить и построить графики изменения предельной несущей способности по M(ns) и Q(ns) зависимости от числа опасных сечений по рассчитываемой схеме.

При нес