Тема: Основы конструктивной геометрии. Основные геометрические построения.

Цели: 1. Формирование представлений о сущности решения задачи на построение;

2. Закрепление умений решать основные задачи на построение (14 задач).

Оборудование: Циркуль, линейка.

Методы и средства:

1. Лекция с включённой беседой;

2. Параллельная работа учителя у доски, а учащихся в тетради;

3. Самостоятельная работа учащихся в тетради.

 

План-конспект занятия:

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания: на карточках дать по одному основному построению.

Вопросы:

1. Что значит найти решение задачи на построение?

2. Что значит решить задачу?

3. Какие элементарные построения вы знаете?

4. Какие основные задачи на построение вы знаете?

3. Объяснение нового материала:

Преподаватель: На прошлом занятии мы решали с вами некоторые простейшие задачи на построение, но в конструктивной геометрии существуют гораздо более сложные задачи, решение которых не видно из условий сразу. Для этого решение задачи разбивают на этапы. Может быть, вы помните – какие этапы включает в себя задача на построение?

Ученики: Анализ и построение.

Преподаватель: Правильно, но вы перечислили не все этапы.

1 этап: Анализ. Это поиск способа решения задачи на построение. На этапе анализа мы предполагаем, что искомая фигура построена и отмечаем из этого наброска все зависимости, отношения между элементами этой фигуры.

Пусть, например, надо построить треугольник по основанию и медиане и высоте, проведённых к этому основанию.

 

Анализ: Допустим, что такой треугольник построен, где BD = m,

BE = h. Заметим, что треугольник АВС легко будет построить, если будет известен треугольник BDE. Отложив по обе стороны от точки Е отрезки, равные половине основания(данного), получим искомый треугольник АВС. Но ведь треугольник BDE состоит из известного (данного нам) катета и гипотенузы. А такой треугольник строить мы умеем и сможем его построить. На этом рассуждения на этапе анализа закончены, можно приступать к построению.

На этапе построения расписывается поэтапно каждое построение. Вернёмся к нашему примеру и выполним построения в следующей последовательности:

1. Строим ∆ BDE по гипотенузе m и катету h.

2. По обе стороны то точки на продолжении прямой откладываем отрезки, равные а/2 (ЕС = а/2; EA = a/2);

3. ∆АВС – искомый.

Дано:

 

 

Следующим этапом решения задачи является доказательство того, что построенная нами фигура удовлетворяет всем поставленным нами условиям.

Доказательство: 1. АЕ = ЕС по построению, ВЕ – медиана;

2. ∆ BDE – прямоугольный по построению, а BD – высота к основанию ВС;

4. BE = m, BD = h, AC = a.

После доказатества переходим к исследованию. При построении обычно ограничиваются нахождением какого-либо решения. Но ведь мы знаем, что решить задачу – это что значит?

Ученики: Это значит найти все её решения.

Преподаватель: Обратите внимание на пример нашей задачи. Как вы думаете, сколько решений возможно в данной задаче, если не учитывать различие в расположении на плоскости?

Ученики: Единсвенное решение.

Преподаватель: Итак, при решении задачи на построение принято действовать по схеме:

1. Анализ;

2. Построение;

3. Доказательство;

4. Исследование.

3. Закрепление: решение несложных задач по схеме.

Задача 1

Через точку А, лежащую в середине угла провести прямую так, чтобы точка А была серединой отрезка, отсекаемого от прямой сторонами угла.

1) Анализ. Дан угол А и точка внутри его. Точка будет удовлетворять условиям, если она будет лежать на пересечении диагоналей параллелограмма. Как сделать точку А точкой пересечения диагоналей?

Ученики: на продолжении отрезка КА построить АN = KA и достроить до параллелограмма.

2) Построение.

а) AN = AK;

б) Ð 1 = Ð 2 (NP È KP = P);

в) MP = KM;

г) MP – искомая.

3) Доказательство.

∆ КМА = ∆ APN (Ð 1 = Ð 2, KA = AN, Ð 5 = Ð 6).

4) Исследование:

МР – единственная прямая, так как точка А (как точка пересечения диагоналей) определена единственным образом.

Домашнее задание: Нерешённые задачи на дом;

Повторение этапов решения задачи.

Занятие 3