Момент инерции различных тел. Теорема Штейнера

МЕХАНИКА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ТЕЛ. ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА

 

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2017 г.

РАБОТА 5. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ТЕЛ. ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА

 

Цель работы – измерить моменты инерции различных тел. Проверить теорему Штейнера.

 

Порядок выполнения работы

 

При выполнении работы следует строго соблюдать правила техники безопасности и охраны труда, установленные в лаборатории. Выполнять работу нужно предельно аккуратно, не трясти и не толкать установку, поскольку это может исказить результаты. Работа выполняется в строгом соответствии с нижеизложенным порядком выполнения и в объёме, предусмотренном индивидуальным заданием.

Записать в таблицу технические данные прибора:

№ п.п.	Название прибора	Пределы измерений	Число делений	Цена деления	Класс точности	Абсолютная приборная погрешность
1
2

I. Определение модуля кручения пружины.

1. Возьмите стержень с грузами и насадите его на ось пружины. Грузы сдвиньте к центру.

2. Поверните стержень на 90^о (p/2 радиан).

Таблица 5.1.
j	F	l	M
p/2
p
3p/2
2p

3. Прикрепите к стержню (у края грузов) динамометр и измерьте величину силы F, необходимую для удержания стержня в этом положении (динамометр держите перпендикулярно стержню и оси вращения).

4. Проделайте эти измерения для углов j, равных 180^о, 270^о, 360^о.

5. Полученные данные занесите в таблицу 5.1.

II. Определение периода колебаний системы с исследуемым телом.

Для измерения периода используется устройство, называемое световым барьером. Оно состоит из источника и приемника света. На ось пружины насажена непрозрачная полоска, размещаемая между источником и приемником света. При колебаниях эта пластинка периодически перекрывает луч света. Световой барьер может работать в нескольких режимах, которые устанавливаются с помощью переключателя. Он может измерять число колебаний, полпериода или целый период колебаний. Удобнее использовать режим измерения периода колебаний.

Порядок измерения периода

1. Установите переключатель в положение режим измерения периода, при котором на индикаторе высвечиваются четыре точки.

2. Насадите на ось пружины исследуемое тело.

3. Расположите всю систему так, чтобы непрозрачная полоска перекрывала луч света от источника.

4. Обнулите счётчик времени, закрутите пружину на 180^о и отпустите исследуемое тело.

5. Перепишите значение периода с индикатора.

6. Нажмите кнопку на световом барьере (обнулите показания индикатора).

7. Повторите измерения периода 5 – 10 раз.

8. Определите среднее значение периода.

III. Определение моментов инерции различных тел относительно оси, проходящей через центр симметрии.

1. Выберите (по указанию преподавателя) определенное тело и насадите его на ось пружины.

2. Измерьте период колебаний системы описанным выше способом (пункт II).

3. Измерьте радиус тела (характерный размер) и определите его массу, взвесив тело на весах.

4. Проведите аналогичные измерения для других тел (по указанию преподавателя).

IV. Изучение зависимости момента инерции от расстояния между центром масс тела и осью вращения.

1. Расположите грузы на стержне симметрично относительно оси вращения как можно ближе к оси.

2. Измерьте расстояние r от оси вращения до центров масс грузов.

3. Насадите стержень с грузами на ось пружины.

4. Измерьте период колебаний системы описанным выше способом (пункт II).

5. Последовательно смещайте грузы от оси пружины на 2 см и измеряйте период.

6. Составьте таблицу 5.2.

        Таблица 5.2.

r	м
r2	м2
T	с
J	кг.*м2

V. Проверка теоремы Штейнера.

1. Насадите на ось пружины стержень без грузов. Ось пружины должна совпадать с центром стержня.

2. Измерьте период колебаний описанным выше способом (пункт II).

3. Сместите стержень относительно центра на некоторое расстояние d.

4. Измерьте период колебаний стержня со смещённой осью.

5. Измерьте массу стержня, его длину и расстояние d.

 

МЕХАНИКА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА

 

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

Г.

МЕХАНИКА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА

 

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

Г.

Описание установки

Общий вид установки представлен на рис.7.2. В основании 1 закреплена колонка с электронным секундомером 2, к которой прикреплен неподвижно верхний кронштейн 9 и подвижный нижний кронштейн 7. На верхнем кронштейне находится электромагнит 10 и фотоэлектрический датчик 11, а на нижнем кронштейне – фотоэлектронный датчик 3.

Маятник представляет собой диск 5, закрепленный на оси 6, подвешенной на двух нитях 4 (бифилярный подвес). На диск можно насаживать сменные кольца 12, изменяя, таким образом, момент инерции системы.

Маятник удерживается в верхнем положении электромагнитом 10. Фотоэлектрические датчики 3 и 11 соединены с электронным секундомером 2. Верхний электронный датчик фиксирует момент начала движения маятника, а нижний - окончания движения (опускания) маятника.

Порядок выполнения работы

При выполнении работы следует строго соблюдать правила техники безопасности и охраны труда, установленные в лаборатории. Выполнять работу нужно предельно аккуратно, не трясти и не толкать установку, поскольку это может исказить результаты. Работа выполняется в строгом соответствии с нижеизложенным порядком выполнения и в объёме, предусмотренном индивидуальным заданием.

Записать в таблицу технические данные прибора:

№ п.п.	Название прибора	Пределы измерений	Число делений	Цена деления	Класс точности	Абсолютная приборная погрешность
1
2

1. Надеть на диск маятника одно из колец.
2. Включить установку нажатием кнопки «сеть».
3. Установить ось маятника в горизонтальное положение.
4. Опустить нижний конец маятника примерно на 2 мм ниже оптической оси фотоэлектрического датчика. (Регулировка положения маятника осуществляется изменением длины нити или перемещением нижнего кронштейна на нужную высоту.)
5. Включить электромагнит (кнопка «Пуск» должна находиться в отжатом положении).
6. Намотать равномерно нить подвески на ось маятника до фиксации маятника электромагнитом в верхнем положении.
7. Измерить время падения маятника по электронному секундомеру, нажав кнопку «Сброс», а затем «Пуск».

8. Повторить пп.1-7 еще десять раз.

1. Определить по шкале на вертикальной колонке прибора длину маятника h.
2. Провести измерения времени с другими кольцами (по указанию преподавателя).
3. Результаты измерений занести в таблицу.

МЕХАНИКА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

Момент силы

Характеристикой внешнего механического воздействия, приводящего к изменению параметров вращения тела, является момент силы.

Моментом силы  относительно неподвижной точки О называется векторная величина , равная векторному произведению радиус-вектора , проведенного из точки О в точку приложения силы, на вектор этой силы   (см. рис. 1):

                            (2.1)

Момент силы  – псевдовектор, его направление определяется правилом правого буравчика. При повороте винта с правой нарезкой по часовой стрелке от радиуса-вектора   к вектору силы  поступательное движение буравчика покажет направление момента силы. Модуль момента силы равен

,                    (2.2)

где a – угол между векторами  и , а  – плечо силы относительно точки О.

Если действует несколько сил (система сил), то моментом этой системы (главным или результирующим Моментом) является геометрическая сумма моментов относительно этой точки всех п сил системы:

                                                (2.3)

где  – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы .

Моментом силы  относительно неподвижной оси О z   называется скалярная величина M_z, равная проекции на эту ось вектора момента силы , определенного относительно произвольной точки О данной оси z (см. рис. 2).

.                                           (2.4)

Вектор силы может быть представлен как сумма трех взаимно перпендикулярных векторов:  – параллельный оси вращения,   – перпендикулярный ей и   – направленный перпендикулярно к оси и к радиус-вектору   (касательный). Моменты параллельной (осевой) и перпендикулярной (радиальной) составляющих силы равны нулю, поэтому

M _z = RF _t,  (2.5)

где F _t – проекция вектора   на орт t, касательный к окружности радиуса R и направленный так, что движение по окружности в направлении t образует с направлением оси правовинтовую систему.

Главный (результирующий) момент, действующей на точку системы сил, равен алгебраической сумме моментов, относительно этой оси всех сил системы.

, .

Момент импульса

Моментом импульса материальной точки относительно неподвижной точки О называется вектор , равный векторному произведению радиус-вектора , проведенного из точки О в место, нахождения материальной точки, на вектор ее импульса  (рис. 3).

.                                 (2.6)

Момент импульса – псевдовектор, его направление определяют правилом правого буравчика. При повороте винта с правой нарезкой по часовой стрелке от радиуса-вектора   к вектору импульса  поступательное движение буравчика покажет направление момента импульса. Модуль вектора момента импульса материальной точки равен

,                         (2.7)

где a– угол между векторами   и ,  – плечо.

Моментом импульса тела (системы материальных точек) относительно неподвижной точки О называется вектор ,равный геометрической сумме моментов импульса всех материальных точек  относительно той же точки О.

.                                                     (2.8)

Моментом импульса тела относительно неподвижной оси z называется скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора момента импульса тела   относительно точки О, принадлежащей этой оси:

.                                     (2.9)

, .

 

Гироскоп

 

Рассмотрим прецессионное движение подробнее. Такое движение реализует массивный диск, насаженный на вертикальную ось вокруг, которой он вращается. Диск обладает моментом импульса , направленным по оси вращения диска (рис. 7).

У гироскопа, основным элементом которого является диск D, вращающийся со скоростью  вокруг горизонтальной оси ОО ' возникнет вращающий момент  относительно точки C и моментом импульса   направлен по оси вращения диск D.

 

Ось гироскопа шарнирно закреплена в точке C. Прибор снабжен противовесом К. Если противовес установлен так, что точка C является центром масс системы (m – масса гироскопа; m ₀ – масса противовеса К; масса стержня пренебрежимо мала), то без учёта трения запишем:

                           (2.35)

то есть результирующий момент сил, действующий на систему, равен нулю.

Тогда справедлив закон сохранения момента импульса :

.                                                   (2.36)

Иными словами, в этом случае const; где J – момент инерции гироскопа,  – собственная угловая скорость вращения гироскопа.

Поскольку момент инерции диска относительно его оси симметрии есть величина постоянная, то вектор угловой скорости также остается постоянным как по величине, так и по направлению.

Вектор  направлен по оси вращения в соответствии с правилом правого винта. Таким образом, ось свободного гироскопа сохраняет своё положение в пространстве неизменным.

Если к противовесу К добавить еще один с массой m ₁, то центр масс системы сместится и возникнет вращающий момент  относительно точки C. Согласно уравнению моментов, . Под действием этого вращающего момента вектор момента импульса получит приращение , совпадающее по направлению с вектором :

                              (2.37)

Векторы сил тяжести  и  направлены вертикально вниз. Следовательно, векторы , и , лежат в горизонтальной плоскости. Спустя время  момент импульса гироскопа изменится на величину  и станет равен

.                                                  (2.38)

Таким образом, вектор  изменяет своё направление в пространстве, всё время оставаясь в горизонтальной плоскости. Учитывая, что вектор момента импульса гироскопа направлен вдоль оси вращения, поворот вектора  на некоторый угол d a за время dt означает поворот оси вращения на тот же угол. В результате ось симметрии гироскопа начнет вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси ВВ ' с угловой скоростью:

.                                                 (2.39)

Такое движение называется регулярной прецессией, а величина  – угловой скоростью прецессии. Если в начальный момент ось ОО ' гироскопа установлена не горизонтально, то при прецессии она будет описывать в пространстве конус относительно вертикальной оси. Наличие сил трения приводит к тому, что угол наклона оси гироскопа будет постоянно изменяться. Такое движение носит название нутации.

Выясним зависимость угловой скорости прецессии гироскопа от основных параметров системы. Спроецируем равенство (2.37) на горизонтальную ось, перпендикулярную ОО'

.                                              (2.40)

Из геометрических соображений (см. рис. 7) при малых углах поворота , тогда , и угловая скорость прецессии выражается:

.                                                    (2.41)

Это означает, что если прикладывать к гироскопу постоянную внешнюю силу, то он начнет поворачиваться вокруг третьей оси, не совпадающей по направлению с основной осью вращения ротора.

 Прецессия, величина которой пропорциональна величине действующей силы, удерживает устройство, ориентированное в вертикальном направлении, причем может быть измерен угол наклона относительно опорной поверхности. Однажды раскрученное устройство стремится сопротивляться изменениям в его ориентации вследствие углового момента. Этот эффект известен в физике также как гироскопическая инерция. В случае прекращения внешнего воздействия прецессия мгновенно заканчивается, но ротор продолжает вращаться.

На диск действует сила тяжести , вызывающая момент силы  относительно точки опоры O. Этот момент направлен перпендикулярно оси вращения диска и равен

,                                          (2.42)

где l ₀ – расстояние от центра тяжести диска до точки опоры O.

На основании основного закона динамики вращательного движения момент силы  вызовет за интервал времени dt изменение момента импульса

.                                            (2.43)

Векторы  и направлены по одной прямой и перпендикулярны к оси вращения.

Из рис. 22 видно, что конец вектора  за время dt переместится на угол

.                                                 (2.44)

Подставив в это соотношение значения L, dL и М, получим

.                        (2.45)

Таким образом, угловая скорость смещения конца вектора :

                                              (2.46)

и верхний конец оси вращения диска будет описывать окружность в горизонтальной плоскости (рис. 6). Подобное движение тела называется прецессионным, а сам эффект гироскопическим эффектом.

 

Лабораторная работа

 

Цель работы – экспериментально исследовать основные свойства гироскопа, изучить законы вращательного движения твердого тела.

Экспериментальная установка

Подвижный элемент гироскопа (рис. 7) представляет собой массив­ный маховик (диск), закрепленный на оси электродвигателя. Вдоль оси маховика закреплена планка с линейной метрической шкалой. Вдоль планки может перемещаться противовес.

Угол поворота оси двигателя в горизонтальной плоскости и время движения измеряются электронной схемой с фотоэлектриче­ским датчиком. Кроме того, угол поворота гироскопа можно считы­вать по нанесенной на основании подвижной части угловой шкале. По окружности основания через каждые 5° нанесены отверстия, ко­торые служат для считывания утла поворота при помощи фотоэлек­трическою датчика. На лицевой панели блока управления располо­жены индикаторные табло утла и времени поворота, а также кнопки «СЕТЬ». «СБРОС», «СТОП», и рукоятка регулятора скорости вра­щения «РЕГ. СКОРОСТИ».

Порядок выполнения работы

При выполнении работы следует строго соблюдать правила техники безопасности и охраны труда, установленные в лаборатории. Выполнять работу нужно предельно аккуратно, не трясти и не толкать установку, поскольку это может исказить результаты. Работа выполняется в строгом соответствии с нижеизложенным порядком выполнения и в объёме, предусмотренном индивидуальным заданием.

Записать в таблицу технические данные прибора:

№ п.п.	Название прибора	Пределы измерений	Число делений	Цена деления	Класс точности	Абсолютная приборная погрешность
1
2

 

1. Перемещая противовес К вдоль планки, уравновесить сис­тему (ось должна принять горизонтальное положение); измерить и записать расстояние l ₀ от центра масс противовеса до оси вращения -точки С (см. рисунок 7).

2. Включить установку, двигатель и довести угловую ско­рость вращения w до 1000 мин^-1.

3. Подвесить к противовесу перегруз m ₁и дать гироскопу свободно прецессировать, записать значение m ₁.

4. После поворота гироскопа на некоторый угол в пределах 30° < a < 100° записать угол a и время t поворота.

5. Повторить пп. 2-4 при данной угловой скорости ротора не менее 5 раз.

6. Провести измерения для пяти-шести режимов вращения ротора, меняя угловую скорость через 1000 мин^-1 от 1000 до 6000 мин^-1. Перед каждым повторным измерением устанавливать ось гироскопа горизонтально.

7. Результаты измерений записать в таблицу 1.

Таблица 1

Номер опыта	Физ. величина	w	a	t	W	DW	J	D J
	Ед. измерения   Номер измерения
1	1
	2
	…
	5
	Среднее
2
…

8. Обработать результаты эксперимента. Вычислить угловую скорость прецессии гироскопа  для всех значений угловой  скорости w (вращение в данном случае равномерное) и вычислить среднее значение  для каждого режима вращения двигателя. Най­ти ошибку измерений DW по разбросу результатов и построить гра­фик зависимости . Сделать вывод относительно выполнения зависимости (2.41).

Рассчитать момент инерции гироскопа в каждом случае (k -номер измерения, w и W выразить в радианах в секунд)

                                            (2.47)

и вычислить среднее значение момента инерции .

Определить среднюю арифметическую ошибку результата D J (формулу вывести самостоятельно). Погрешность D l ₀ и Dw определить по цене деления измерительных приборов, погрешность D m = 1 г.

9. Результат измерений представить в виде .

 

Требования к содержанию отчёта по лабораторной работе

 

Отчёт оформляется в печатном виде на листах формата А4 в соответствии с требованиями, предъявляемыми кафедрой ОТФ, в котором помимо стандартного титульного листа должны быть раскрыты следующие пункты:

I. Цель работы.

II. Краткое теоретическое содержание:

1. Явление, изучаемое в работе.

2. Определение основных физических понятий, объектов, процессов и величин.

3. Законы и соотношения, описывающие изучаемые процессы, на основании которых получены расчётные формулы.

4. Пояснения к физическим величинам и их единицы измерений.

III. Схема установки.

IV. Расчётные формулы.

V. Формулы погрешностей косвенных измерений.

VI. Таблицы с результатами измерений и вычислений.

(Таблицы должны иметь номер и название. Единицы измерения физических величин должны быть указаны в отдельной строке.)

VII. Пример вычисления (для одного опыта):

1. Исходные данные.

2. Вычисления.

3. Окончательный результат.

VIII. Графический материал:

1. Аналитическое выражение функциональной зависимости, которую необходимо построить.

2. На осях координат указать масштаб, физические величины и единицы измерения.

3. На координатной плоскости должны быть нанесены экспериментальные точки.

4. По результатам эксперимента, представленным на координатной плоскости, провести плавную линию, аппроксимирующую функциональную теоретическую зависимость в соответствии с методом наименьших квадратов.

IX. Анализ полученного результата. Выводы.

 

Рекомендации по защите отчета

 

К защите допускаются студенты, подготовившие отчет в соответствии с требованиями к его содержанию в установленные сроки. После проверки преподавателем содержания отчёта, при наличии ошибок и недочетов, работа возвращается студенту на доработку.

При правильном выполнении лабораторной работы, соблюдении всех требований к содержанию и оформлению отчёта, студент допускается к защите.

Для успешной защиты отчета необходимо изучить теоретический материал по теме работы, а так же освоить математический аппарат, необходимый для вывода расчетных формул работы.

При подготовке к защите, помимо данного методического указания, необходимо использовать учебники и другие учебные

пособия, рекомендованные к учебному процессу кафедрой ОТФ и Министерством образования и науки.

Во время защиты студент должен уметь ответить на вопросы преподавателя в полном объёме теоретического и методического содержания данной лабораторной работы, уметь самостоятельно вывести необходимые расчётные формулы, выполнить анализ полученных зависимостей и прокомментировать полученные результаты.

 

Контрольные вопросы

1. Что такое гироскоп?

2. Какими свойствами обладает гироскоп? Какими физиче­скими законами обусловлены эти свойства?

3. Почему возникает регулярная прецессия гироскопа?

4. От каких параметров системы зависит угловая скорость прецессии?

 

МЕХАНИКА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ТЕЛ. ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА

 

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2017 г.