Особенности расчета мембраны в форме квадратичного параболоида вращения (универсальный спортзал в г. Санкт-Петербурге)

Для круглого в плане здания в этом случае уравнение поверхности мембраны от постоянной равновесной нагрузки имеет вид

          ,                  (1)

где а – радиус поверхности (мембраны); а = 80 м;

 стрела провеса мембраны; м;

оси координат поверхности в плане.

Такая форма поверхности обеспечивает близкое к равномерному распределение радиальных и кольцевых усилий по поверхности мембраны от полной распределенной нагрузки. Это позволило изготовить всю мембрану одинаковой толщины 6 мм.

Стрела провеса в таких мембранах принимается в пределах , где диаметр. Для диаметра стрела провеса  будет находиться в пределах . При этом бóльшую стрелу провеса рекомендуется брать при бóльшем отношении и наоборот.

Для рассматриваемого случая стрела провеса принята .

На I этапе расчета по методике С.П. Тимошенко [2, с. 302] для круглой оболочки, имеющей форму параболоида вращения, по линейной безмоментной теории применяют уравнение Лапласа

          ,                  (2)

где проекция внешней нагрузки на нормаль к поверхности оболочки;

29

соответственно меридиональное и кольцевое усилия в оболочке;

 радиусы кривизны оболочки, соответственно меридиональный и кольцевой.

Меридиональный радиус кривизны оболочки (в вертикальной плоскости) в форме параболоида вращения имеет вид

. (3)

Для пологих оболочек  можно принять (рис. 4.1)

,                  (4)

 ,                             (5)

где угол наклона между касательной и горизонталью в точке касания в сечении   х  оболочки с нормалью;

нормальная составляющая внешней нагрузки к поверхности оболочки.

Рис. 4.1. Параболоид вращения: а) ‒ расчетная схема с равномерно распределенной нагрузкой; б) ‒ расчетная схема с неравномерной снеговой нагрузкой; в) ‒ схема горизонтальных (v) и вертикальных (w) смещений оболочки; 1 ‒ нормаль; 2 ‒касательная; 3 ‒ оболочка до деформации; 4 ‒ то же, после деформации.

30

На этом этапе расчета величину  определяют аналитически из условия равновесия отсеченной части мембраны горизонтальной плоскостью в сечении х:

.                 (6)

Из уравнения (6) выражение для усилия  имеет вид

.                          (7)

Из уравнения Лапласа (2) выражение для усилия  получает вид

.                        (8)

Для определения перемещения  в середине параболоида вращения в общую формулу

подставим  и получим

(9)

где на опоре;

коэффициент Пуассона,

Примечания:

1. Как показывают примеры расчетов, для мембраны в форме квадратного параболоида вращения вся поверхность мембраны испытывает почти одинаковые усилия. Это позволяет изготавливать ее из листов одинаковой толщины.

2. Для  мембраны  в  форме  кубического  параболоида  вращения

                                           (10)

 

31

усилия по поверхности распределяются неравномерно. Поэтому изготовить такую мембрану из листов одинаковой толщины уже нельзя         [1, с. 210].

На I этапе расчета опорных колец рассматривают загружение полной симметричной нагрузкой ,  от которой наружное опорное кольцо работает на сжатие: , а внутреннее опорное кольцо на растяжение: .

Аналитический расчет при асимметричном загружении мембраны на I этапе рекомендован по готовым формулам [2].

Затем выполняются II и III этапы расчетов с уточнением жесткостей мембраны и опорных колец.

4.2.  Особенности расчета мембраны в форме гипаров (седловидные покрытия) – двух гиперболических параболоидов велотрека в Крылатском (г. Москва) (см. рис. 4.2)

Рис. 4.2. Гиперболический параболоид вращения: 1 ‒ главная несущая (направляющая) парабола; 2 ‒ главная стабилизирующая (образующая) парабола.

 

32

Такая мембрана и покрытие в целом имеют отрицательную гауссову кривизну. Она малодеформируема от действия неравновесных нагрузок и не нуждается в специальной стабилизирующей конструкции.

Поверхность каждого из двух гипаров описывается уравнением вида

                       ,                  (11)

где соответствующие стрелы провесов главной несущей и главной стабилизирующей парабол, образуемых сечением плоскостями ZOX и  ZOY;

соответствующие полуоси покрытия (типа радиусов).

Поверхность гипара относится к поверхности переноса, т. е. образуется скольжением образующей параболы по направляющей параболе: образующая – выпуклая, направляющая – вогнутая.

Такая поверхность воспринимает равномерно распределенные нагрузки как равновесные.

Усилия в мембране от такой нагрузки будут одинаковыми в каждом из направлений, параллельных главным осям поверхности. Это свойство поверхности гипара позволяет принимать одинаковую толщину мембраны (t)по всей поверхности без излишних запасов по прочности.

Однако при действии вертикальной нагрузки в мембране в направлении главной несущей параболы будут действовать усилия растяжения, а в направлении главной стабилизирующей параболы – усилия сжатия. При этом потери устойчивости от сжатия не возникает, так как ортогонально разнозначные усилия действуют в одной мембране, нагруженной вертикальной поперечной нагрузкой.

При компоновке таких покрытий стрелу провеса несущего направления рекомендуют принимать в пределах

.

33

В случае покрытия велотрека в Крылатском имеем

;

где

*) – учитывается сечение арок;

**) – не учитывается сечение арок, т.е. принимается в осях (66 м).

Таким образом, фактическое отношение  соответствует нижней границе рекомендуемых отношений.

Кроме этих рекомендаций, стрелка провеса выпуклого направления выбирается в соответствии с архитектурными требованиями и для работы мембраны существенного значения не имеет.

Расчет гипаров выполнялся по упругой стадии работы стали в несколько этапов.

На I этапе мембрану рассматривали в двух вариантах:

1) как совокупность отдельных полос, работающих как гибкая нить по формуле В.К. Качурина [1, 2]:

                                                       (12)

на полную расчетную равномерно распределенную нагрузку  для определения распора  и сечения нити.

Для определения вертикальных перемещений по уравнению В.К. Качурина [1] в перемещениях в середине пролета ()

,   (13)

где , , .

Этот вариант расчета показал

2) как пространственную шарнирно-стержневую сетку на ПК или аналитически, учитывающую сдвиговые усилия,  в приопорных зонах арок

34

от неравновесных нагрузок, которые создают изгибающие моменты в опорных арках. При этом для выявления наибольших осевых усилий в арках каждый гипар загружали на полные симметричные нагрузки. , а между внутренними гранями (хребтовая часть покрытия) полная нагрузка принималась в  с перепадом температуры . По полученным усилиям  и  подбирали сечение арок в первом приближении.

По итогам расчетов I этапа устанавливались первичные жесткости.

На II этапе мембранная оболочка рассчитывалась как стержневая пространственная КЭ-модель (пространственная сетка-оболочка) при совместной работе с контурными арками при двух видах граничных условий в опорных узлах контурных арок:

– абсолютно жесткие несмещаемые опоры;

– распор от контурных арок при податливых опорах передавался на затяжки и упруго-податливые связи от трения угловых опор.

При нелинейном (геометрически) расчете пространственной сетки на равномерно распределенную нагрузку наибольшие вертикальные перемещения имели место в 1/3 пролета от наружной арки и составили 92 см.

Под действием неравномерной временной нагрузки наибольшие вертикальные смещения мембраны (при податливых опорах) составили 85 см (на 8% меньше, чем 92 см).

Уточненный расчет контурных арок и оболочки на II этапе проводился в двух вариантах:

1) аналитически, принимая за расчетную модель покрытия мембранно-арочную пространственную систему, в которой удовлетворяются совместность деформаций мембраны и опорных контуров, а также граничные условия по концам арок;

 

 

35

2) численно, проводя проверочный расчет оболочки и арок с учетом геометрической и физической нелинейностей методом перемещений.

В аналитической расчетной модели учтена нелинейность двух типов:

1)  геометрическая нелинейность мембраны, которая приводит при совместной работе с контурными арками к контактной задаче.

2)  конструкция опор оболочки в начале передает распор на силы трения фундамента о грунт, а после их исчерпания оставшуюся часть распора передает на затяжку, соединяющую фундаменты.

Таким образом, в процессе работы арок меняется их расчетная схема, осуществляется переход от неподвижных опор к ограниченно подвижным (на размер удлинения затяжки).

От нелинейности первого типа п. 1 изменяются цепные усилия в мембране на границе контакта с арками вследствие осевого сжатия и изгиба арок и соответственно меняется нагрузка, передаваемая мембраной на арки в форме некоторого отпора упругой среды.

Анализ результатов расчета показал, что в наружной арке при учете совместной работы с мембраной изгибающие моменты и прогибы снизились в 2,5 раза по сравнению с их раздельным расчетом.

Влияние мембранных сил на внутреннюю арку оказалось существенно меньше: снижение изгибающих моментов получено до 15%.

Влияние мембранных сил на изменение нормальной силы в наружной арке показало ее снижение на 15÷20%, во внутренней арке изменений силы  практически не отмечено.

На основе анализа аналитического расчета различных сочетаний составлена таблица максимальных расчетных усилий в арках:

Наружная арка,						Внутренняя арка,
21000	8590	19700	3000	9200	1050	26500	52600	23600

 

36

Численный расчет на ПК выполнялся пошаговым методом.

Рассмотрено два варианта расчетных схем:

1)  пролетная конструкция работает как мембранная гибкая система;

2) пролетная конструкция работает как висячая нить.

Расчет по мембранной схеме проводился с использованием КЭ-модели стержневой сетки. При этом учитывалось два возможных граничных условия для опор арок: а) абсолютно несмещаемые опоры; б) распор контурных арок воспринимается силами трения частично и затем затяжкой.

Величины вертикальных перемещений мембраны в численном решении мало отличались от результатов аналитического расчета.

Прогиб арок при граничных условиях опор (  и ) существенно отличался.

Нормальные усилия  по вариантам расчетных схем отличались у опор на 2%, а в пролете – на 20%.

На II этапе с учетом полученных результатов уточняются жесткости всех элементов покрытия.

Более подробно результаты численных расчетов изложены в       [6, с. 348–349].