В «треугольник» и «треугольника» в «звезду»

Условие эквивалентности схем: в схемах должны быть одинаковые токи I ₁, I ₂, I ₃ и потенциалы точек φ₁, φ₂, φ₃, т.е. напряжения U ₁₂, U ₂₃, U ₃₁:

{ I ₁, I ₂, I ₃} — const, { U ₁₂, U ₂₃, U ₃₁} — const

Вывод формул преобразования:

Уравнение 2-го закона Кирхгофа для контура треугольника:

I ₁₂ R ₁₂ + I ₂₃ R ₂₃ + I ₃₁ R ₃₁ = 0

Уравнение 1-го закона Кирхгофа для узлов:

I ₃₁ = I ₁₂ – I ₁; I ₂₃ = I ₁₂ + I ₂

Подставим токи I ₃₁ и I ₂₃ в первое уравнение:

I ₁₂ R ₁₂ + R ₂₃ (I ₁₂ + I ₂) + R ₃₁ (I ₁₂ – I ₁) = 0;

;

.

В схеме «звезда» U ₁₂ = I ₁ R ₁ – I ₂ R ₂

    По условиям эквивалентности схем:

U ₁₂ ^Δ = U ₁₂ ^Y, U ₂₃ ^Δ = U ₂₃ ^Y

 

 

    

 

 

                                                                          
Метод контурных токов

По методу контурных токов записываются только уравнения 2-го закона Кирхгофа

Доказательство метода:

Уравнение 1-го закона Кирхгофа: 

I ₁ + I ₂ – I ₃ = 0, I ₃ =   I ₁ + I _2.

Уравнения 2-го закона Кирхгофа:

I ₁ R ₁ + I ₃ R ₃ = E ₁;   I ₂ R ₂ + I ₃ R ₃ = E ₂.

I ₁ (R ₁ + R ₃) + I ₂ R ₃ = E ₁;    I ₂(R ₂ + R ₃) + I ₁ R ₃ = E ₂.

Обозначим: I ₁ = I ₁₁ I ₂ = I ₂₂ — токи, протекающие через все элементы контуров — контурные токи

I ₁₁ (R ₁ + R ₃) + I ₂₂ R ₃ = E ₁;    I ₂₂(R ₂ + R ₃) + I ₁₁ R ₃ = E ₂

I 1 = I 11 I 2 = I 22 I 3 = I 11 + I 22

 

 

В основе метода контурных токов лежат

два положения:

1) в каждом независимом контуре цепи протекают независимые друг от друга токи, которые называются контурными токами;

2) составляются уравнения по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, определяются контурные токи;

3) ток каждой ветви определяется как алгебраическая сумма контурных токов, замыкающихся через данную ветвь:

если направление контурного тока совпадает с направлением тока ветви, то он записывается со знаком плюс (+), если не совпадает — со знаком минус (–).

Направления контурных токов при составлении уравнений целесообразно выбирать одинаково с направлениями обхода контуров.

Частные случаи

В схеме цепи кроме источников напряжения имеются источники тока.

1. При G _вн > 0 целесообразно реальный источник тока преобразовать в реальный источник ЭДС по формулам: E _J = J / G _J; R _J = 1/ G _J

 

 

2. G _вн = 0 — применить преобразование

параллельно соединенных активных ветвей  

 

 

J ₃₃ = E ₃/ R ₃              J _{3 Э} = J ₃₃ + J ₃     E _Э = J _{3 Э} / G ₃

                                                                                             I _3Э = I ₃ + J ₃

                                                                                           

        3. Контурный ток в контуре с источником тока принять равным току источника тока

(I ₃₃ = J ₃). Применяется только при одном источнике тока в цепи.

Пример

                         

 

                  I ₁₁ (R ₂ + R ₅ + R ₆) – I ₂₂ R ₂ +   I ₃₃ R ₅ = E ₂;   

I ₂₂ (R ₁ + R ₂ + R ₄) – I ₁₁ R ₂ + I ₃₃ R ₄ = E ₁;

    I ₃₃ (R ₁ + R ₂ + R ₄) + I ₁₁ R ₅ + I ₂₂ R ₄  – J ₃ R ₃= E ₃

I ₁₁ (R ₂ + R ₅ + R ₆) – I ₂₂ R ₂ +   I ₃₃ R ₅ = E ₂;   

         – I ₁₁ R ₂ + I ₂₂(R ₁ + R ₂ + R ₄) + I ₃₃ R ₄ = E ₁;

     I ₁₁ R ₅ + I ₂₂ R ₄  + I ₃₃(R ₁ + R ₂ + R ₄) + = E ₁ + J ₃ R ₃

	I 1 = I 22 I 2 = I 11 – I 22 I 3 = I 33 – J 3 I 4 = – I 22 – I 33                        I 5 = I 11 +   I 33    I 6 = I 11

Метод узловых потенциалов

 

 

 

φ_a = 0

Доказательство метода

Уравнения первого закона Кирхгофа:

(d) I ₁ – I ₂ – I ₆ – I ₇ + J ₁ = 0;

                 (c) I ₂ – I ₄ – I ₅ = 0;

                 (b) I ₃ + I ₄ – J ₂ + I ₆ + I ₇ = 0.

По обобщенному закону Ома:

; ;

; ;

; ; .

 

(– φ_d + E ₁) G ₁ – [(φ_d –   φ_c + E ₂)] G ₂ –(φ_d –   φ_b) G ₆ –

̶ (φ_d –   φ_b) G ₇ + J ₁ = 0;

 [(φ_d – φ_c + E ₂)] G ₂ –(φ_c – φ_b) G ₄ – (φ_d – φ_b) G ₆ – φ_c G ₅ = 0;

 (– φ_b + E ₃) G ₃ + (φ_c –   φ_b) G ₄ – J ₂ + (φ_d –   φ_b) G ₆ +

+ (φ_d –   φ_b) G ₇ = 0,

где G ₁ = 1/ R ₁, G ₂ = 1/ R ₂, G ₃ = 1/ R ₃, G ₄ = 1/ R ₄, G ₅ = 1/ R ₅,

G ₆ = 1/(R ₆₁ + R ₆₂), G ₇ = 1/ R ₇.

    φ _d (G ₁ + G ₂ + G ₆ + G ₇) – φ _c G ₂ – φ _b (G ₆ + G ₇)  =

= E ₁ G ₁ – E ₂ G ₂ + J ₁;

φ _с (G ₂ + G ₄ + G ₅) – φ _d G ₂ – φ _b G ₄ = E ₂ G ₂;

φ _b (G ₃ + G ₄ + G ₆ + G ₇) – φ _c G ₄ – φ _d (G ₆ + G ₇) = E ₃ G ₃ – J ₂.

  G _d = G ₁ + G ₂ + G ₆ + G ₇ — собственная проводимость узла d (сумма проводимостей ветвей узла d);

  G _c = G ₂ + G ₄ + G ₅ — собственная проводимость узла с (сумма проводимостей ветвей узла с);

  G _b = G ₃ + G ₄ + G ₆ + G ₇ — собственная проводимость узла b (сумма проводимостей ветвей узла b);

  G _dc = G ₂ — взаимная проводимость узлов d - c;

  G _cb = G ₄ — взаимная проводимость узлов c - b;

  G _db = (G ₆ + G ₇) — взаимная проводимость узлов d - b (сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы узла d и b).

   φ _d G _d – φ _c G _dc – φ _b G _db = E ₁ G ₁ – E ₂ G ₂ + J ₁;

   φ _с G _c – φ _d G _dc – φ _b G _cb = E ₂ G ₂;

            φ _b G _b – φ _c G ₄ – φ _d G _db = E ₃ G ₃ – J ₂.

В общем случае: