Матемагия цветка c Золотой серединой

· Nov. 19th, 2020 at 3:51 PM

Бог действует как величайший геометр, предпочитающий наилучшее решение задач. (Готфрид Лейбниц)

...Мы – подмастерья в команде Матемагов, создающих генетические матрицы растений Земли под руководством планетарного Демиурга. Для начала поручение нам дали несложное – сделать шаблон для лекарственного цветка, который был бы неприхотлив и легко распространялся в разных широтах планеты. Подмастерья из команды Алхимиков уже создали формулу эссенции для цветка, а нам предстояло разработать его геометрическую матрицу.

И мы взялись за работу. Эх, привыкли руки к циркулю!..

Чтобы стать доступным лекарством, цветок должен расселиться по планете как можно шире, поэтому семенам следует быть маленькими, легко разносимыми птицами, насекомыми, червями, водой и даже ветром. Генетического материала нужно много, поэтому мы задумались, как разместить семена на плоскости цветоложа наиболее компактно?

Из наших прошлых заданий в неорганическом мире мы помнили, что наиболее плотно-упакованные структуры создают квадрат и шестиугольник. Формируя пчелиный био-алгоритм для постройки сотов, наши старшие братья Матемаги взяли за основу шестиугольник, поскольку экономнее него формы в Природе нет.

Но вот незадача: соты статичны, а цветок – живой, он растет. Соты можно начинать из любого места, а цветок разворачивается из бутона центробежно, увеличиваясь в размере. Как сохранить одну и ту же пропорцию между старыми и новыми соцветиями и при этом разместить их как можно ближе друг к другу? Шестигранники тут не подойдут.

Решением может быть спираль с постоянным углом поворота. Но каким должен быть этот угол? Цветок не сможет «думать» и менять его в зависимости от ситуации: что мы заложим в генетическую матрицу, то и будет материализовать растение.

Поэкспериментировав на Матемагическом Симуляторе, мы поняли, что, выбрав любое целое число поворотов спирали - 1,2,3,4,5 и так далее, мы получим лишь прямую линию. Ведь, сделав полный круг, мы всегда возвращаемся на то же самое место, не так ли? Мы попытались улучшить результат, используя дробные числа - 1/4 оборота, 1/3 оборота, 9/10 - и увидели, что это улучшает компактность, но лишь незначительно:

Мы поняли, что нам следует искать число, которое невозможно было выразить дробью из целых чисел – иррациональное число. Забравшись в Архив, мы выбрали несколько Священных Констант – иррациональных чисел, которые были в большом почете у Матемагов:

- число π, приблизительно равное 3,14 и имеющее особую связь с окружностями и циклами. Любой периодический процесс во Вселенной - дыхание, биение сердца, порывы ветра, волны в океане, движение планет вокруг солнца, электронов внутри атома – управляется числом π;

- √2, квадратный корень из двух, приблизительно равный 1,41 и выражаемый геометрически как диагональ квадрата со стороной 1. Он тесно связан с неорганической жизнью и обеспечивает наиболее плотно-упакованные структуры в молекулярных решетках, сохраняющие энергию благодаря принципу наименьшего действия;

- число е, приблизительно равное 2,72 и часто присутствующее в функциях роста;

- число φ (фи), приблизительно равное 1,618 и называемое Золотой Пропорцией или Золотым Сечением. Оно встречается в соотношениях частей тела живых организмов и их ДНК, звезд, планет и их орбит, элементарных частиц – иначе говоря, во всем, что движется и самоорганизуется.

Итак, мы задали углы поворота спирали, соответствующие Священным Числам Матемагов, на Симуляторе, и вот что у нас получилось:

Совершенно очевидно, что Золотая Пропорция дает наиболее компактное расположение соцветий. Ближе всего к ней оказася результат √2, но он все же оставляет больше зазоров. Если хотите повторить опыт подмастерьев Матемагов, можете воспроизвести эти результаты на обычном компьютерном симуляторе.

Число φ, Золотая Пропорция - победитель в соревновании, поэтому наши соцветия и семена будут располагаться по спирали, разворачивающейся под «Золотым» углом - 137,5^о.

Углы 137,5^о и 222,5^о соотносятся в пропорции Золотого Сечения 1: 1,618. То, что угол 137,5^о создает наиболее плотную упаковку семян в круглом цветоложе, было доказано и земными математиками (Ridley, 1982). Оптимальность Золотой Пропорции в плотной упаковке справедливо не только для плоскостей, но и для объемов – сфер, полусфер, форму которых можно часто встретить в цветах.

Мы поняли, за что Золотую Пропорцию так любят Матемаги, и почему в Архиве Шаблонов столь много матриц растений, использующих «Золотой» угол:

Просматривая в Архивах эти уже созданные Шаблоны, мы обнаружили занятную вещь. Оказалось, что Шаблоны неизменно состояли из правосторонних и левосторонних спиралей, количество которых всегда следовало определенному соотношению. Например, в этом желтом цветке на иллюстрации ниже голубых спиралей, закручивающихся влево, - 13, а синих, закручивающихся вправо – 21:

В других Шаблонах соотношения были 5/8, 21/34, 8/13, 13/21 и так далее, что привело нас к (явно неслучайному) ряду чисел:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...........

В этом ряду каждое последующее число было суммой двух предыдущих: например, 13+21=34.

Мы были заинтригованы и обратились с вопросом к старшим Матемагам: отчего мы всегда встречаем эти загадочные числа в Шаблонах, созданных с Золотым углом? Те объяснили, что обнаруженный нами ряд – земное приближение к иррациональной Золотой Пропорции при помощи целых чисел. Соотношение каждых двух соседних чисел в этом ряду приближается к φ =1,618. Чем больше числа, тем ближе их соотношение к φ. На Земле теперь тоже знают об этом ряде и называют «числами Фибоначчи» по имени одного земного ученого, обнаружившего такую закономерность в живых созданиях.

Но почему Шаблоны часто используют именно числа Фибоначчи, а не саму Золотую Пропорцию, спросили мы. Дело в том, сказали Мастера, что спираль Золотого Сечения – непрерывность, она выходит из бесконечности и устремляется в бесконечность, а земная природа состоит из конечных объектов. Цветок не может расти с 1,618 соцветия. Он начинает от единицы, первого целого числа. Поэтому в самом начале последовательность Фибоначчи довольно сильно отступает от спирали Золотого Сечения, - как отставший воин, пытающийся попасть в ногу со своим отрядом, - но после двух-трех неловких шагов встраивается в ритм и идет почти в ногу, а потом и вовсе слаженно с остальными.

Мы поняли, что везде, где мы найдем числа Фибоначчи, будет незримо присутствовать Шаблон Матемагов - Золотое Сечение.

Мы решили, что последовательность Фибоначчи будет вполне приемлемой и для листьев нашего цветка, чтобы они располагались по спирали вокруг стебля равномерно, а солнечный свет с влагой доставались им поровну.

Мы открывали все новые свойства Золотой Пропорции в созданном нами опытном образце. Оказалось, что она позволяет масштабировать растущие структуры, создавая самоподобный фрактал. Есть только одно число, которое дает один и тот же результат при прибавлении себя и при умножении на себя, и это число φ - Золотая Пропорция. Она позволяет живым объектам и расти (увеличиваться в размере), и прирастать (добавлять новые части) с сохранением неизменной пропорции:

При размещении соцветий по спиралям Золотого Сечения соотношение между старыми и новыми фазами роста, обозначенными цифрами 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, остается неизменным и приблизительно равным той же Золотой Пропорции 1,618. Иллюстрация из книги: Gyorgy Doczi, The Power of Limits, 1981

Так мы написали алгоритм роста цветоложа в генетической матрице нашего цветка:

Когда мы завершили работу с шаблоном цветоложа, форма самих соцветий пришла естественным образом – конечно, пятиугольник! Потому что в Природе нет другого правильного многоугольника, столь совершенно объемлющего Золотую Пропорцию:

Пролистывая Архивы, мы обнаружили, что более половины видов растений на планете Земля были созданы с использованием пятиугольной симметрии. А уж геометрия съедобных растений и подавно основана на Золотой Пропорции – цветы фруктовых и плодовых растений обычно пятилепестковые:

Цветы растений со съедобными плодами, чьи цветки содержат Золотую Пропорцию. Верхний ряд: яблоня, вишня, абрикос, слива. Средний ряд: шиповник, арбуз, огурец, помидор. Нижний ряд: перец, баклажан, картофель, свекла.

А вот растения с одним, тремя, четырьмя или шестью лепестками нередко несъедобны и даже ядовиты, хотя могут использоваться как лекарства. Они основаны на геометрии √2 и √3, треугольниках и квадратах.

Итак, форму наших маленьких цветов мы сделали пятиугольной, а сами цветы - узкими, вытянутыми и трубчатыми, как раз такими, какие предпочитают пчелы или бабочки.

Цветоложе состоит из множества крохотных трубчатых цветов с пятью лепестками. Справа: пятиугольная фрактальная геометрия трубчатого цветка, вид сверху.

И цвет для соцветий мы выбрали такой, чтобы он был наиболее заметен для опылителей. Мы знали, что оттенки, лучше всего различаемые и пчелами, и бабочками - из желтого, голубого, белого и ультрафиолетового участков спектра. Но бабочки не жалуют вниманием синий цвет, а пчелы не видят красного, поэтому мы остановились на желтом. Собранные вместе, наши маленькие трубчатые цветы походили на полусферу, очень удобную для посадки насекомых, предпочитающих доступные, расположенные кластерами соцветия, где можно собрать сразу много нектара.

Наш опытный образец выглядел довольно незамысловатым:

Matricaria discoidea

Когда мы показали его старшим Матемагам, те сказали, что цветок будет недостаточно заметен для опылителей среди других цветов из-за малого размера и простой формы. Однако они разрешили оставить наш промежуточный результат в Архивах Шаблонов Земли, придав цветку сильный запах для привлечения насекомых и назвав его Matricaria discoidea - «Мать-и-Матрица Дисковидная». В названии была отражена форма цветка, а также его связь с пятиричностью и Золотой Пропорцией - числом Матери-Природы.

Ну, а мы продолжили работу...

Еще раз изучив архивные шаблоны, мы подумали, что можем сделать наш цветок более заметным, если добавим яркий венчик из крайних соцветий-трубочек, вытянув их и удалив из них тычинки. Венчик будут похож на ряд лепестков, хотя на самом деле это не настоящие лепестки, а видоизмененные соцветия. Мы возьмем их из крайнего ряда цветоложа.

Этим белым видоизмененным соцветиям обязана своим появлением загадка:
«На лугах сестрички – золотые глазки, белые реснички». Поскольку «реснички»
происходят из крайнего ряда соцветий, их число, как правило, - одно из ряда Фибоначчи:
13, 21 или 34. У цветка на картинке, например, 21 лепесток. Вероятность того,
что желающая погадать девушка найдет цветок с 13 или 21 лепестками,
достаточно велика, и значит, и результат «любит» статистически выпадает чаще, чем «не любит».

Цвет для венчика мы решили выбрать белый. Он выглядит контрастно с желтой серединкой даже в ультрафиолетовом свете, в котором видят многие насекомые. Помимо пчел и бабочек, белый цвет привлекает жуков, мух и ночных мотыльков, которые тоже могут стать помощниками в опылении.

В соотношении размеров лепестков и серединки мы снова отразили число 5 и геометрию Золотого Сечения, cделав так, чтобы концы пятиконечной звезды, описанной вокруг желтой серединки, касались окружности, описанной вокруг всего цветка. Это позволит новому элементу стать хорошо слаженным с уже существующими частями и геометрически, и энергетически.

В одной из фаз роста соотношение размеров лепестков и серединки цветка достигает Золотой Пропорции. Это хорошо видно по тому, что цветок почти идеально вписывается в пятиконечную звезду. Источник иллюстрации: Keith Critchlow, The Hidden Geometry of Flowers, 2011

Формула эссенции, которую придумали наши друзья-Алхимики, придает цветку приятный аромат спелых яблок. Поэтому мы решили назвать его Matricāria chamomīlla – «Мать-и-Матрица Земного Яблока».

Осталась лишь одна деталь, впрочем, немаловажная. Поскольку пчелы лучше всего различают цвет в ультрафиолетовой части спектра, мы введем в серединку нашего цветка специальные цветовые нектарные указатели, заметные для опылителей по их яркому свечению:

Таким наш цветок видят пчелы. Белые части в ультрафиолетовом свете кажутся им голубоватыми, а серединка цветка сияет как посадочная полоса благодаря особым нектарным указателям.

...Работа наша завершена и одобрена Матемагами. Новый Шаблон пополнил Архив, а каждое лето луга и опушки планеты Земля теперь расцвечиваются белым чудом с золотой серединкой под названием Matricāria chamomīlla, или попросту – ромашка лекарственная. Народы Земли так полюбили ромашку за целебные свойства, что стали считать ee священным растением.

...Мастера говорили нам, что иногда Матемаги так хотят увидеть красоту сотворенного ими, что воплощаются на своих планетах в человеческой расе. И тогда, глядя на земные творения, они вспоминают когда-то созданное ими, возрождая на земле Знание Матемагии. Но случается и так, что Матемаги в человеческом облике забывают, кто они и откуда пришли сюда. От того каждую весну на земле распускаются цветы – напоминание Матемагам об их родном Доме через гармонию Числа...

*****

На удивительном цветке с золотой серединкой наши матемагические приключения не заканчиваются, и в следующий раз мы отправимся искать клад в конце радуги, который тоже непременно окажется золотым:)

НЕ ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Существует убеждение, что определённые соотношения обладают рядом очень интересных свойств, применимых в разных сферах жизни. Так называемому «Золотому сечению», пропорции 1,618 часто приписывают чудодейственные свойства, и именуют гармоничной пропорцией или золотой пропорцией.

Золотое это соотношение двух неравных величин, при котором большая величина относится к меньшей, так же, как сумма величин к большей. Это соотношение обозначается прописной греческой буквой Ф (фи) и равняется 1,618. Для практических целей ограничиваются приблизительным значением Ф = 1,618 или Ф = 1,62.

Как исследователя-любителя, меня очень заинтриговала эта тема, и было принято решение провести поиск данной пропорции в проявлениях природы. Несмотря на то, что утверждается повсеместная распространённость «золотого сечения» в природе, мне так и не удалось найти этому подтверждение. Но обнаружилась другая пропорция, а точнее группа пропорций, которые встречались чаще, чем остальные. Эти часто наблюдаемые пропорции были разные: 1,37; 2,37; 1,73; 2,73. Но их объединяет значение после запятой, которое равно 37 или 73. Далее станет ясно, что эти соотношения описывают одно и то же неравенство.

 

 

Очень часто золотое сечение демонстрируют на спиральных ракушках, и у меня, очень кстати, под рукой оказалась окаменелая ракушка аммониты. Как видно из иллюстрации, пропорции здесь 1,73; 1,37 и 2,37. Эти соотношения можно часто обнаружить в растениях если взять во внимание углы, под которыми расходятся ветви.

 

На примере еловой ветки и кипариса видно, что пропорции 1,73 и 1,37 хорошо прослеживаются в углах. Возможно, это происходит по тому, что молекула воды имеет угол 104 градуса в строении своей молекулы, что является фундаментальной предпосылкой к формированию разветвлений с такими же углами. Если разделить развёрнутый угол 180 градусов на 104, получится 1,73.

 

Есть примеры наблюдения данных соотношений в размерах разных частей тела насекомых.

 

Иллюстрация с бабочкой часто используется в литературе описывающей золотое сечение (1,618). Но опять же при самостоятельном замере электронной линейкой, получаем пропорции 1,73 и 1,37.

 

Предположение о том, что структура молекулы воды может являться фундаментальным определяющим фактором структуры растений, даёт повод найти другие подобные фундаментальные факторы, влияющие на другие величины (размеры, массы), соотносящиеся через пропорции 1, 37 и 1,73. И такие факторы нашлись, причём на микроуровне, на уровне атомов. Дело в том, что атомы плотно соприкасаясь друг с другом неизбежно образуют пустоты между собой определённого размера, которые и формируют величины соотносящиеся с размерами атомов через пропорции 1,37; 2,37; 4,37; 6,37.

 

 

 

Так видно, что в квадрате, в пустом пространстве между сфер может поместиться только сфера которая в диаметре в 2,37 раза меньше диаметра больших сфер. В кубе, в пространстве между сфер может поместиться только сфера, которая в диаметре меньше в 1,37 раза сфер образующих куб.

 

Если рассмотреть сферы пересекающимися, то увидим, что тут тоже повсеместно наблюдаются ожидаемые пропорции.

 

Vesica piscis— фигура, образованная пересечением двух кругов с одинаковым радиусом, наложенных так, что центр одного лежит на окружности другого. Достаточно широко эта фигура используется в иконописи и мистицизме. Математическое соотношение высоты и ширины фигуры равно корню из 3 или 1,7320508… Так же построения разных сочетаний сфер даёт нам возможность получить более точное значение пропорции 1,37 или 1,366.

 

 

Вот ещё интересное наблюдение. Температура теля здорового человека 36,6 градусов, а температурный диапазон воды в жидком состоянии 100 градусов. Температура со значением 36,6 градусов разбивает этот диапазон на 2 интервала 36,6 и 63,4 (100-36,6). 63,4/36,6 = 1,73. Вот так природа определила наилучшее температурное положение для нашей жизни. И любое отклонение от этой температуры ведёт к болезни!

 

 

Гармония это согласование разнородных элементов. В эстетике и художественном творчестве — «категория, означающая целостность, согласованность, закономерную связанность всех частей и элементов формы». Учитывая то, что пропорции 1,37 и 1,73 соответствуют понятию гармонии и наблюдаются в природе часто, и в большей степени описывают ключевые соотношения на фундаментальном уровне, эти пропорции вправе претендовать на звание золотого сечения или гармоничной пропорции. Но учитывая то, что звание «золотое сечение» принадлежит пропорции 1,618 (Ф), чтобы внести ясность в дальнейшее обсуждение соотношений 1,37 и 1,73, предлагаю дать ему название «Не золотое сечение».

 

 

По поводу практического применения «не золотого сечения» есть некоторые идеи и на данный момент поставлено несколько любительских экспериментов, результаты которых говорят о том, что пользуясь этими соотношениями можно увеличить эффективность разных процессов. Позже я вынесу проведённые эксперименты на обсуждение. Уверен, что в будущем учёт пропорции 1,37 и 1,73 станут необходимостью в оптимизации разных процессов.

 

"И.Кеплер был первым, кто заметил присутствие "золотой пропорции" в архитектонике ботанических экземпляров. В XIX веке исследования в этой области приобрели особый размах. Немецкими специалистами было показано, что углы растительного ветвления подчинены именно этому принципу, обеспечивая оптимальную освещенность лиственного покрова деревьев. Ветвь отклоняется от ствола в среднем на угол 137,5±, в квадрат числа "золотого отношения" меньшей плотности 360±. Кстати, само число 137 поистине загадочное в своей универсальности.

Проанализировав, пластику лица человека (профиль, фас) и изображения животных, мы выявили, что угол древовидного ветвления - некий структурный инвариант не только для растений, но и для животных и человека. На нашем лике этот угол обрисовывает одновременно и профиль (с вершиной на кончике носа), и важнейшие лицевые точки - глаза, ноздри, рот; причем нетривиально расположение в картинной плоскости центра глаза, ноздри и середины рта практически вдоль одной прямой.

Каждый палец руки можно представить в виде древовидного ответвления от пальца соседнего, как от ствола. Наибольший раствор между пальцами составляет угол 42,5± (дополнение угола 137,5± до 180±), одновременно это латинская буква "V", или цифра "пять" - число пятипалости. Этот острый угол или его половина повторяются в запрокинутых к небу руках, в растворе ног, для лучшей опоры поставленных на ширину плеч, в следах птиц, в форме крыльев бабочек, в острие конических вершин многих раковин, крон хвойных деревьев, в геометрии русских шатровых церквей.

Рассмотрим теперь растрескивания от точки на неравные части некоей физически однородной плоскости. Оно будет целесообразным, как бы не разрушающим, лишь когда остается хотя бы память об исходном состоянии как сумме следствий, которые аналогичны друг к другу, и прежней целостности. Если членение плоскости простейшее - на две неодинаковые части, что углы растрескивания равны 137,5± и 222,5± (222,5/137,5 =1,6181) (222,5+137,5 =360), а это как раз древовидное "золотое" ветвление. Поэтому любые ветвящиеся структуры, будь то лицо человека, его руки, дерево и молния над ним, горная долина, где настигла стихия, разливающиеся вокруг бурные потоки - все это несет на себе печать гармоничной двуединой вписанности в окружающее, причем по всем направлениям, в любом объеме и безотносительно к виду Среды, где протекает то или иное природное действо, обязано ли оно проявлению живого, либо "косного" начала".

 

МАТЕМАГИЯ ЦВЕТКА C ЗОЛОТОЙ СЕРЕДИНОЙ

Бог действует как величайший геометр, предпочитающий наилучшее решение задач. (Готфрид Лейбниц)

...Мы – подмастерья в команде Матемагов, создающих генетические матрицы растений Земли под руководством планетарного Демиурга. Для начала поручение нам дали несложное – сделать шаблон для лекарственного цветка, который был бы неприхотлив и легко распространялся в разных широтах планеты. Подмастерья из команды Алхимиков уже создали формулу эссенции для цветка, а нам предстояло разработать его геометрическую матрицу.

И мы взялись за работу. Эх, привыкли руки к циркулю!..

Чтобы стать доступным лекарством, цветок должен расселиться по планете как можно шире, поэтому семенам следует быть маленькими, легко разносимыми птицами, насекомыми, червями, водой и даже ветром. Генетического материала нужно много, поэтому мы задумались, как разместить семена на плоскости цветоложа наиболее компактно?

Из наших прошлых заданий в неорганическом мире мы помнили, что наиболее плотно-упакованные структуры создают квадрат и шестиугольник. Формируя пчелиный био-алгоритм для постройки сотов, наши старшие братья Матемаги взяли за основу шестиугольник, поскольку экономнее него формы в Природе нет.

Но вот незадача: соты статичны, а цветок – живой, он растет. Соты можно начинать из любого места, а цветок разворачивается из бутона центробежно, увеличиваясь в размере. Как сохранить одну и ту же пропорцию между старыми и новыми соцветиями и при этом разместить их как можно ближе друг к другу? Шестигранники тут не подойдут.

Решением может быть спираль с постоянным углом поворота. Но каким должен быть этот угол? Цветок не сможет «думать» и менять его в зависимости от ситуации: что мы заложим в генетическую матрицу, то и будет материализовать растение.

Поэкспериментировав на Матемагическом Симуляторе, мы поняли, что, выбрав любое целое число поворотов спирали - 1,2,3,4,5 и так далее, мы получим лишь прямую линию. Ведь, сделав полный круг, мы всегда возвращаемся на то же самое место, не так ли? Мы попытались улучшить результат, используя дробные числа - 1/4 оборота, 1/3 оборота, 9/10 - и увидели, что это улучшает компактность, но лишь незначительно:

Мы поняли, что нам следует искать число, которое невозможно было выразить дробью из целых чисел – иррациональное число. Забравшись в Архив, мы выбрали несколько Священных Констант – иррациональных чисел, которые были в большом почете у Матемагов:

- число π, приблизительно равное 3,14 и имеющее особую связь с окружностями и циклами. Любой периодический процесс во Вселенной - дыхание, биение сердца, порывы ветра, волны в океане, движение планет вокруг солнца, электронов внутри атома – управляется числом π;

- √2, квадратный корень из двух, приблизительно равный 1,41 и выражаемый геометрически как диагональ квадрата со стороной 1. Он тесно связан с неорганической жизнью и обеспечивает наиболее плотно-упакованные структуры в молекулярных решетках, сохраняющие энергию благодаря принципу наименьшего действия;

- число е, приблизительно равное 2,72 и часто присутствующее в функциях роста;

- число φ (фи), приблизительно равное 1,618 и называемое Золотой Пропорцией или Золотым Сечением. Оно встречается в соотношениях частей тела живых организмов и их ДНК, звезд, планет и их орбит, элементарных частиц – иначе говоря, во всем, что движется и самоорганизуется.

Итак, мы задали углы поворота спирали, соответствующие Священным Числам Матемагов, на Симуляторе, и вот что у нас получилось:

Совершенно очевидно, что Золотая Пропорция дает наиболее компактное расположение соцветий. Ближе всего к ней оказася результат √2, но он все же оставляет больше зазоров. Если хотите повторить опыт подмастерьев Матемагов, можете воспроизвести эти результаты на обычном компьютерном симуляторе.

Число φ, Золотая Пропорция - победитель в соревновании, поэтому наши соцветия и семена будут располагаться по спирали, разворачивающейся под «Золотым» углом - 137,5 ^о.

Углы 137,5 ^о и 222,5 ^о соотносятся в пропорции Золотого Сечения 1: 1,618. То, что угол 137,5 ^о создает наиболее плотную упаковку семян в круглом цветоложе, было доказано и земными математиками (Ridley, 1982). Оптимальность Золотой Пропорции в плотной упаковке справедливо не только для плоскостей, но и для объемов – сфер, полусфер, форму которых можно часто встретить в цветах.

Мы поняли, за что Золотую Пропорцию так любят Матемаги, и почему в Архиве Шаблонов столь много матриц растений, использующих «Золотой» угол:

Просматривая в Архивах эти уже созданные Шаблоны, мы обнаружили занятную вещь. Оказалось, что Шаблоны неизменно состояли из правосторонних и левосторонних спиралей, количество которых всегда следовало определенному соотношению. Например, в этом желтом цветке на иллюстрации ниже голубых спиралей, закручивающихся влево, - 13, а синих, закручивающихся вправо – 21:

В других Шаблонах соотношения были 5/8, 21/34, 8/13, 13/21 и так далее, что привело нас к (явно неслучайному) ряду чисел:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...........

В этом ряду каждое последующее число было суммой двух предыдущих: например, 13+21=34.

Мы были заинтригованы и обратились с вопросом к старшим Матемагам: отчего мы всегда встречаем эти загадочные числа в Шаблонах, созданных с Золотым углом? Те объяснили, что обнаруженный нами ряд – земное приближение к иррациональной Золотой Пропорции при помощи целых чисел. Соотношение каждых двух соседних чисел в этом ряду приближается к φ =1,618. Чем больше числа, тем ближе их соотношение к φ. На Земле теперь тоже знают об этом ряде и называют «числами Фибоначчи» по имени одного земного ученого, обнаружившего такую закономерность в живых созданиях.

Но почему Шаблоны часто используют именно числа Фибоначчи, а не саму Золотую Пропорцию, спросили мы. Дело в том, сказали Мастера, что спираль Золотого Сечения – непрерывность, она выходит из бесконечности и устремляется в бесконечность, а земная природа состоит из конечных объектов. Цветок не может расти с 1,618 соцветия. Он начинает от единицы, первого целого числа. Поэтому в самом начале последовательность Фибоначчи довольно сильно отступает от спирали Золотого Сечения, - как отставший воин, пытающийся попасть в ногу со своим отрядом, - но после двух-трех неловких шагов встраивается в ритм и идет почти в ногу, а потом и вовсе слаженно с остальными.

Мы поняли, что везде, где мы найдем числа Фибоначчи, будет незримо присутствовать Шаблон Матемагов - Золотое Сечение.

Мы решили, что последовательность Фибоначчи будет вполне приемлемой и для листьев нашего цветка, чтобы они располагались по спирали вокруг стебля равномерно, а солнечный свет с влагой доставались им поровну.

Мы открывали все новые свойства Золотой Пропорции в созданном нами опытном образце. Оказалось, что она позволяет масштабировать растущие структуры, создавая самоподобный фрактал. Есть только одно число, которое дает один и тот же результат при прибавлении себя и при умножении на себя, и это число φ - Золотая Пропорция. Она позволяет живым объектам и расти (увеличиваться в размере), и прирастать (добавлять новые части) с сохранением неизменной пропорции:

При размещении соцветий по спиралям Золотого Сечения соотношение между старыми и новыми фазами роста, обозначенными цифрами 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, остается неизменным и приблизительно равным той же Золотой Пропорции 1,618. Иллюстрация из книги: Gyorgy Doczi, The Power of Limits, 1981

Так мы написали алгоритм роста цветоложа в генетической матрице нашего цветка:

Когда мы завершили работу с шаблоном цветоложа, форма самих соцветий пришла естественным образом – конечно, пятиугольник! Потому что в Природе нет другого правильного многоугольника, столь совершенно объемлющего Золотую Пропорцию:

Пролистывая Архивы, мы обнаружили, что более половины видов растений на планете Земля были созданы с использованием пятиугольной симметрии. А уж геометрия съедобных растений и подавно основана на Золотой Пропорции – цветы фруктовых и плодовых растений обычно пятилепестковые:

Цветы растений со съедобными плодами, чьи цветки содержат Золотую Пропорцию. Верхний ряд: яблоня, вишня, абрикос, слива. Средний ряд: шиповник, арбуз, огурец, помидор. Нижний ряд: перец, баклажан, картофель, свекла.

А вот растения с одним, тремя, четырьмя или шестью лепестками нередко несъедобны и даже ядовиты, хотя могут использоваться как лекарства. Они основаны на геометрии √2 и √3, треугольниках и квадратах.

Итак, форму наших маленьких цветов мы сделали пятиугольной, а сами цветы - узкими, вытянутыми и трубчатыми, как раз такими, какие предпочитают пчелы или бабочки.

Цветоложе состоит из множества крохотных трубчатых цветов с пятью лепестками. Справа: пятиугольная фрактальная геометрия трубчатого цветка, вид сверху.

И цвет для соцветий мы выбрали такой, чтобы он был наиболее заметен для опылителей. Мы знали, что оттенки, лучше всего различаемые и пчелами, и бабочками - из желтого, голубого, белого и ультрафиолетового участков спектра. Но бабочки не жалуют вниманием синий цвет, а пчелы не видят красного, поэтому мы остановились на желтом. Собранные вместе, наши маленькие трубчатые цветы походили на полусферу, очень удобную для посадки насекомых, предпочитающих доступные, расположенные кластерами соцветия, где можно собрать сразу много нектара.

Наш опытный образец выглядел довольно незамысловатым:

Matricaria discoidea

Когда мы показали его старшим Матемагам, те сказали, что цветок будет недостаточно заметен для опылителей среди других цветов из-за малого размера и простой формы. Однако они разрешили оставить наш промежуточный результат в Архивах Шаблонов Земли, придав цветку сильный запах для привлечения насекомых и назвав его Matricaria discoidea - «Мать-и-Матрица Дисковидная». В названии была отражена форма цветка, а также его связь с пятиричностью и Золотой Пропорцией - числом Матери-Природы.

Ну, а мы продолжили работу...

Еще раз изучив архивные шаблоны, мы подумали, что можем сделать наш цветок более заметным, если добавим яркий венчик из крайних соцветий-трубочек, вытянув их и удалив из них тычинки. Венчик будут похож на ряд лепестков, хотя на самом деле это не настоящие лепестки, а видоизмененные соцветия. Мы возьмем их из крайнего ряда цветоложа.

Этим белым видоизмененным соцветиям обязана своим появлением загадка:
«На лугах сестрички – золотые глазки, белые реснички». Поскольку «реснички»
происходят из крайнего ряда соцветий, их число, как правило, - одно из ряда Фибоначчи:
13, 21 или 34. У цветка на картинке, например, 21 лепесток. Вероятность того,
что желающая погадать девушка найдет цветок с 13 или 21 лепестками,
достаточно велика, и значит, и результат «любит» статистически выпадает чаще, чем «не любит».

Цвет для венчика мы решили выбрать белый. Он выглядит контрастно с желтой серединкой даже в ультрафиолетовом свете, в котором видят многие насекомые. Помимо пчел и бабочек, белый цвет привлекает жуков, мух и ночных мотыльков, которые тоже могут стать помощниками в опылении.

В соотношении размеров лепестков и серединки мы снова отразили число 5 и геометрию Золотого Сечения, cделав так, чтобы концы пятиконечной звезды, описанной вокруг желтой с<