Тема занятия: Теория пар сил, свойства пар сил

Тема занятия: Теория пар сил, свойства пар сил

Основные понятия.

Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил (). Плоскость, в которой лежат силы и , называется плоскостью пары, а кратчайшее расстояние d между линиями действия сил - плечом пары.

Пара сил не может быть заменена одной эквивалентной ей силой, т.е. не имеет равнодействующей, так как Пара может быть уравновешена только другой парой сил.

Под действием пары сил тело вращается. Вращательный эффект пары, характеризуется моментом пары.

Моментом пары называется вектор равный векторному произведению , модуль которого равен произведению модуля одной из сил пары на ее плечо

Вектор направлен перпендикулярно плоскости пары в ту сторону, откуда пара видна стремящейся повернуть тело против хода часовой стрелки. Момент пары - свободный вектор, т. е. его можно прикладывать в любой точке тела.

Свойства пар сил.

1. Момент пары равен сумме моментов сил пары относительно произвольного центра (точки) О: .

2. Момент пары относительно любого центра равен моменту пары m:

3. Момент пары равен моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы пары:

Теорема 1. Пары сил с равными моментами эквивалентны.

Следствия:

1. Пару сил, приложенную к твердому телу ,можно заменить другой парой в той же плоскости, если при такой замене не изменяется величина момента пары и его направление:

2. Пару сил можно переносить в плоскость, параллельную плоскости пары.

Теорема 2. Совокупность нескольких пар с моментами эквивалентна одной паре, момент которой равен геометрической сумме моментов данных пар:

Если пары лежат в одной плоскости, то момент пары считают величиной алгебраической, так как в этом случае все вектора моментов пар параллельны. Алгебраический момент пары равен взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на плечо пары:

.

Знак «+» соответствует повороту тела под действием пары против хода часовой стрелки, «─» - по ходу часовой стрелки.

Пары сил на плоскости часто изображается дуговой стрелкой, показывающей направление поворота тела парой.

Согласно теореме 2 на плоскости пары можно заменить одной парой с моментом равным алгебраической сумме моментов пар:

m = m₁ + m₂ +... + m_n.

Если на тело действуетплоская система пар, то тело находится в равновесии, если сумма моментов пар равна нулю:

.

Приведение сил к заданному центру

Лемма Пуансо.

Теорема1 - О параллельном переносе силы (лемма Пуансо): силу , не изменяя ее действие на абсолютно твердое тело, можно переносить из данной точки А в любую другую точку О тела, прибавляя при этом пару с моментом равным моменту переносимой силы относительно точки О, в которую переносится сила

Доказательство

Пусть сила приложена к телу в точке А. Приложим в точке О уравновешенную систему сил и параллельных и равных по модулю силе , равновесие тела при этом не нарушится (аксиома 2, §1). Таким образом, сила перенесена из точки А в точку О без изменения ее действия. В точке О приложена сила и момент этой силы относительно центра О.

Теорема Пуансо.

Теорема 2 – О приведении системы сил к заданному центру (теорема Пуансо): Любая система сил , действующая на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольному центру О заменяется главным вектором системы сил , приложенным в центре О и парой сил с моментом , равным главному моменту системы сил относительно центра О.

Доказательство

Используя теорему 1, перенесем все силы в центр О, прибавляя пары с моментами равными моментам сил относительно центра О. Сложив все силы и моменты, получим в центре О

два вектора и равные:

Величина главного вектора не зависит от выбора центра О, а значение главного момента при изменении положения центра О может изменяться.

Для плоской системы сил главный вектор лежит в плоскости действия сил, а главный момент перпендикулярен этой плоскости. Поэтому главный момент плоской системы сил относительно центра О определяется как сумма алгебраических моментов сил относительно центра О и изображается на плоскости дуговой стрелкой.

Частные случаи.

Частные случаи приведения системы сил:

1. :

система сил приводится к одной паре, с моментом , лежащей в плоскости действия сил (причем это свободный вектор).

2. :

система сил приводится к равнодействующей , приложенной в центре О.

 

 

3. :

система сил приводится к равнодействующей , проходящей через точку С, положение которой определяется равенством

 

4. : система сил уравновешена.

Теорема: Для равновесия любой системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы относительно любого центра (точки) были равны нулю.

Равновесие системы тел

Статический расчет системы тел сводится к рассмотрению условий равновесия конструкций, состоящих из не жестко соединенных между собой тел. Связи между частями конструкции называются внутренними, скрепляющие конструкцию с другими телами, - внешними.

Системы тел, для которых число неизвестных реакций связей равно числу уравнений равновесия, называются статически определимыми. Если число неизвестныхреакцийсвязейбольше числа уравнений равновесия (на одно, два и т.д.), то системы тел называются статически неопределимыми (соответственно один, два и т.д. раза). Такие задачи невозможно решить методами статики.

При решении задач на равновесие системы тел обычно конструкцию расчленяют на отдельные тела и составляют уравнения равновесия для каждого из тел в отдельности. При этом проверяют, не превышает ли число неизвестных реакций связей число уравнений равновесия, которые можно составить для данной конструкции

Пример. Для определения внутренних и внешних реакций связей трех шарнирной аркирасчленим конструкцию по соединительному шарниру С на две части и рассмотрим равновесие каждой из частей в отдельности. Внешние реакции шарниров А и В разложим на составляющие . Реакцию со стороны части СВ на АВ разложим на составляющие , а реакцию со стороны АС на ВС на составляющие . Так как по третьему закону Ньютона (аксиома 4, §1) , то неизвестных реакций связей в уравнения равновесия войдет шесть.

При действии на трех шарнирную арку заданной произвольной плоской системы сил для каждой части можно записать по три уравнения равновесия:

для АС для СВ

 

 

Следовательно, система тел, образующих арку, статически определима.

Для проверки решения задачи считают всю конструкцию отвердевшей (принцип отвердевания, аксиома 5, §1) и составляют одно - два уравнения равновесия для конструкции в целом или строят в масштабе многоугольник внешних активных сил и реакций связей, действующих на конструкцию. Если проверочные уравнения равновесия обращаются в тождества, а многоугольник сил замкнут, то задача решена верно.

 

Тема занятия: Теория пар сил, свойства пар сил

Основные понятия.

Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил (). Плоскость, в которой лежат силы и , называется плоскостью пары, а кратчайшее расстояние d между линиями действия сил - плечом пары.

Пара сил не может быть заменена одной эквивалентной ей силой, т.е. не имеет равнодействующей, так как Пара может быть уравновешена только другой парой сил.

Под действием пары сил тело вращается. Вращательный эффект пары, характеризуется моментом пары.

Моментом пары называется вектор равный векторному произведению , модуль которого равен произведению модуля одной из сил пары на ее плечо

Вектор направлен перпендикулярно плоскости пары в ту сторону, откуда пара видна стремящейся повернуть тело против хода часовой стрелки. Момент пары - свободный вектор, т. е. его можно прикладывать в любой точке тела.

Свойства пар сил.

1. Момент пары равен сумме моментов сил пары относительно произвольного центра (точки) О: .

2. Момент пары относительно любого центра равен моменту пары m:

3. Момент пары равен моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы пары:

Теорема 1. Пары сил с равными моментами эквивалентны.

Следствия:

1. Пару сил, приложенную к твердому телу ,можно заменить другой парой в той же плоскости, если при такой замене не изменяется величина момента пары и его направление:

2. Пару сил можно переносить в плоскость, параллельную плоскости пары.

Теорема 2. Совокупность нескольких пар с моментами эквивалентна одной паре, момент которой равен геометрической сумме моментов данных пар:

Если пары лежат в одной плоскости, то момент пары считают величиной алгебраической, так как в этом случае все вектора моментов пар параллельны. Алгебраический момент пары равен взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на плечо пары:

.

Знак «+» соответствует повороту тела под действием пары против хода часовой стрелки, «─» - по ходу часовой стрелки.

Пары сил на плоскости часто изображается дуговой стрелкой, показывающей направление поворота тела парой.

Согласно теореме 2 на плоскости пары можно заменить одной парой с моментом равным алгебраической сумме моментов пар:

m = m₁ + m₂ +... + m_n.

Если на тело действуетплоская система пар, то тело находится в равновесии, если сумма моментов пар равна нулю:

.