Пространственное распределение амплитуды лазерного излучения

Теоретическая часть

Параметры лазерного излучения

Для нахождения параметров лазерного излучения, формируемого резонатором с известной конфигурацией, удобно воспользоваться матричными методами расчета.

Действие оптической системы резонатора, заполненного активной средой с показателями преломления n (см. рис. 3), определяется оптическими силами Ф ₁ и Ф₂ зеркал резонатора с радиусами R ₁ и R ₂ и приведенной оптической длиной резонатора

 

 

 

 

 

 

Рис. 3 б

 

За "полный проход" через резонатор исходный луч  распространяется через пространство между зеркалами резонатора, отражается от одного зеркала, возвращается обратно и отражается от второго зеркала. Этот процесс описывается следующим образом [5]:

Откуда следует, выражения для матрицы действия оптического резонатора [4,6]

        (7)

 

Элементы матрицы резонатора A_P, B_P, C_P, D_P определяют параметры формируемого резонатором излучения (см. таблицу 1). Кроме того, по значениям элементов A_P, D_P может быть найден тип резонатора: устойчивый либо неустойчивый. Неустойчивые резонаторы в приближении геометрической оптики формируют гомоцентрический пучок (сферическую волну) и преобразование такого излучения оптической системой трудности не представляет. К преобразованию же гауссовых пучков теория оптических систем непосредственно не может быть применена.

 

1.3. Преобразование гауссового пучка

Метод матричной оптики

Пусть гауссов пучок с параметром конфокальности z_K и радиусом сечения перетяжки r₀ преобразуется безаберрационной дифракционно неограниченной оптической системой, удаленной от сечения перетяжки пучка на расстояние -a, и имеющей светосилу Ф' (см. рис. 4). Требуется найти параметры z_K ', r ₀ ' и положение перетяжки преобразованного излучения.

Если в качестве опорных плоскостей ОП₁ и ОП₂ выбрать сечения перетяжки до и после преобразования, то матрица [M] преобразования оптической системы опишется как [4]:

(8)

Может быть показано, что комплексный параметр кривизны q (z) гауссового пучка, который по определению находится из выражения

                                             (9)

преобразуется оптической системой с произвольной матрицей преобразования  по закону [4]

                                                (10)

 

Так как в качестве опорных плоскостей выбрали сечения перетяжки, для которых

то с учетом того, что

,

(см. таблицу 1) комплексный параметр кривизны, определяемый выражением (9), принимает значение

Соответственно,

 

Метод геометрической оптики

Для правильного применения методов геометрической оптики и к расчету преобразования оптической системы излучения произвольного типа нужно знать физическое обоснование, на котором базируется геометрическая оптика. Так как излучение имеет электромагнитную природу, то, следовательно, и обоснование должно вытекать из системы уравнений Максвелла или теории дифракции, на ней базирующейся.

В пределах гауссовой (параксиальной) оптики линза со светосилой Ф ' может рассматриваться как фазовый транспарант.

В курсе "Физическая оптика" было показано, что поле в выходной плоскости ОП₃ подобно распределению поля во входной плоскости ОП₁, с коэффициентом подобия:

:

Это выражение позволяет исследовать свойства пучка, преобразованного линзой.

1. Радиус сечения преобразованного пучка r ' (z) по уровню амплитуды 1/ е можно найти, если учесть что для сопряженных плоскостей z (a) и z (a ') (см. рис. 4) справедливо выражение r ' (za ') = b r (za), где za '= za - a + a '

Учитывая соотношение между отрезками (-а), (а) и расстоянием (-а ₀) от сечения претяжки до оптической системы

а также выражение (3) для преобразованного пучка может быть получено

      (11)

2. Поскольку преобразованный пучок гауссов, то для него положение сечения перетяжки [как плоскости с минимальным значением r ' (a ')] определяется из условия ∂ t (a ') /∂ a ' = 0:

                                   (12)

             

Выражения (11) и (12) можно записать в виде

; , где           (13)

3. Угол расходимости преобразованного пучка можно найти, если учесть, что сечение преобразованного пучка находится в бесконечности, оптически сопряжено с передней фокальной плоскостью линзы:

                                    (14)

Из (14) следует, что минимальная расходимость достигается при совпадении сечения перетяжки с фокальной плоскостью линзы. На основании (14) определяется параметр конфокальности преобразованного пучка

4. Использованная методика основана на подобии полей в сопряженных плоскостях и применении методов геометрической оптики. Следовательно, эта методика пригодна для анализа преобразования гауссова пучка и сложной (n -компонентной) оптической системы (см. рис. 5). Характеризуя сложную систему эквивалентной светосилой можно получить выражения для параметров преобразованного пучка, которые аналогичны соответствующим выражениям для одиночной линзы:

Рис. 5

;                        (15)

       

         

 

Из (15) следует инвариант преобразования гауссовых пучков

(16)

или

Инвариант (16) позволяет сократить число операций при анализе процесса последовательного распространения излучения через ряд оптических систем.

 

Интерференционный метод

Рис. 6

При отражении излучения от плоскопараллельной пластины формируются два гауссовых пучка примерно равной интенсивности, которые в области перекрытия образуют интерференционную картину (рис. 6). Может быть показано, что вид интерференционной картины определяется радиусом кривизны волнового фронта R (z).

 

 

Действительно, при падении гауссова пучка под углом a на плоскопараллельную пластину толщиной d с показателем преломления n в результате отражения от внешней и внутренней поверхностей пластины формируются два пучка: I ₁ и I ₂. Оси их параллельны и смещены по координате O_x на величину d _x

                                                 (16')

Кроме того второй пучок приобретает дополнительную разность хода d l. В системе координат (xyz) с осью oz, совпадающей с осью первого отраженного пучка, фазы комплексной амплитуды пучков в точке Q (x, y, z) произвольной плоскости сечения (z) задаются в соответствии с (5) выражениями

     (17)

Интенсивность светового поля I _S (Q) в области интерференции определяется суммарной амплитудой пучков

v _S (Q) = v ₁(Q) + v ₂(Q)

и описывается выражением

где в соответствии с (17)

     (18)

Условие D j (Q) = 2 p n (n = 0, 1, 2…) определяет точки интерференционной картины с максимальной интенсивностью светового поля.

Если измерено расстояние D x = D x (z) между двумя соседними максимумами, т.е. между точками Q_n (x, y, z) и Q_{n +1}[ x +D x (z), y, z ], то из уравнения

с учетом (18) следует

откуда

                       (19)

Если измерить D x (z ₁) и D x (z ₂ = z ₁+ z ₁₂), вычислить по (19) радиусы кривизны R (z ₁) и R (z ₂), а затем записать в соответствии с (3) систему из двух уравнений, то решив эту систему, можно найти конфокальный параметр z_K и положение (z ₁) сечения перетяжки

;   (19')

затем (по табл.1) вычислить радиус пятна r ₀ в сечении перетяжки и расходимость пучка 2 q.

Независимость радиуса кривизны волнового фронта от модовых чисел, позволяет использовать этот метод как для одномодовых, так и многомодовых гауссовых пучков. Однако линейная зависимость R (z) от волнового числа (k >>1) и D x / z (см. выражение (19)) приводит вследствие ошибок измерения к существенной абсолютной ошибке вычисления R (z).

 

По энергетическому методу

рис.8

Порядок проведения работы

Ознакомиться с теоретической частью работы и подготовить ответы на контрольные вопросы.

1 часть. Измерение параметров преобразованного гауссова пучка интерференционным методом.

1. Рассчитать параметры z ₀₁, z _K1, 2 θ ₁ гауссова пучка, формируемого лазером ЛГН-208А и пучка, преобразованного оптической системой (расстояние b ₂ между лазером и объективом задается преподавателем).

2. На лабораторной установке (рис. 7) для преобразованного гауссова пучка провести измерения величин α ₁, Δ_XK(α ₁), α ₂, Δ_XK(α ₂) (при выбранном K) и расстояние Δ z.

3. Рассчитать экспериментальные значения параметров r ^Э₀₁, z ^Э_K1, 2 θ ^Э₁ для преобразованного пучка. Провести сравнение теоретических и экспериментальных значений параметров.

2 часть. Измерение параметров гауссова пучка, формируемого лазером, энергетическим методом.

1. Рассчитать параметры z ₀₂, z _K2, 2 θ ₂ гауссова пучка для лазера ЛГН-203.

2. На лабораторной установке (рис. 8) провести измерение величин P, P _S(z ₁), P _S(z ₂), z ₁₂.

3. Рассчитать экспериментальные значения параметров r ^Э₀₂, z ^Э_K2, 2 θ ^Э₂, и сравнить их с теоретическими значениями. Оформить отчет по лабораторной работе, который должен содержать основание содержания теоретической части, используемые в расчетах формульные зависимости, схемы лабораторных установок и результаты экспериментов, расчеты, проведенные при нахождении теоретических и экспериментальных параметров гауссовых пучков.

Контрольные вопросы

1. В чем заключается метод последовательных приближений, используемый при нахождении поля устойчивого резонатора. Решением какого интегрального уравнения является выражение (3)?
2. Как используется матричная оптика для анализа гауссовых пучков?
3. Каким образом обосновывается возможность применения, и как используются методы геометрической оптики для анализа преобразования гауссовых пучков оптической системы? Какую форму для гауссова пучка имеют лучи в их классическом определении?
4. По известному распределению энергии в сечении пучка и положению этого сечения относительно фокальных и главных плоскостей оптической системы построить распределение энергии в оптически сопряженном сечении.
5. По известным форме огибающей гауссова пучка и положениям главных и фокальных плоскостей оптической системы найти графически расходимость пучка, преобразованного этой системой. Как может быть найдено сечение перетяжки преобразованного пучка?
6. На каких свойствах гауссовых пучков основаны описанные методы измерений его параметров?
7. Решением каких систем уравнений являются выражения (29') и (31), используемые при расчете параметров пучков по результатам измерений?
8. При применении диафрагмы с круглым отверстием в энергетическом методе существенно упрощается обработка результатов. Почему диафрагма такой формы не использована в установке? Как изменится расчет, если щелевую диафрагму заменить на непрозрачную полосу, дополнительную к щели?
9. Какие допущения приняты при теоретическом описании результата интерференции смещенных гауссовых пучков?
10. Какие погрешности в лабораторных установках наиболее существенно влияют на точность экспериментально определяемых параметров

Приложения

Таблица 1

	Оптическая схема	Матрица преобразования
Перемещение в свободном пространстве
Преломление на одной поверхности	n2
Отражение от одной поверхности
Тонкая линза в воздухе с фокусным расстоянием
Преобразование луча между двумя главными плоскими системами линз в воздухе
Преобразование луча между фокальными плоскостями системы линз в воздухе
Преобразование луча между двумя сопряженными плоскостями поперечное увеличение
Афокальная система с поперечным увеличением

 

Таблица 2

Таблица формул для расчета параметров лазерного излучения

Неустойчивые резонаторы		Рассматриваемое свойство	Устойчивые резонаторы
Условия резонатора		След матрицы A + D	Условие резонатора
	положительная ветвь   отрицательная ветвь
где *;		Главное собственное значение l/t берется положительным, а q в интервале [0, p]	; где ;
Радиус кривизны		Отношение компонент собственного вектора	Комплексный параметр кривизны
		Параметры гауссова пучка
		1. Радиус кривизны		Измеряется в выходной плоскости
		2. Расходимость волнового фронта
		3. Радиус сечения пучка
		4. Положение перетяжки
		5. Радиус в сечении перетяжки пучка
		6. Конфокальный параметр пучка
		7. Половина угла расходимости в дальней зоне (в радианах)
Хорошая при условии, что число Френеля системы достаточно велико		Селекция мод	Проявляется лишь при малых числах Френеля

 

 

Литература

 

1. Борн М., Вольф Э. Основы оптики: перевод с англ. /Пер. Г.Н. Мотулевич. -М.:Наука, 1973. -850с.
2. Ананьев Ю.А. Неустойчивые резонаторы и их применение. - В кн. Квантовая электроника /Под ред. Н.Г. Басова. -М.:Сов. радио, 1971, №6, с.89-97.
3. Ищенко Е.Ф., Климов Ю.М. Оптические квантовые генераторы. М.: Сов. радио, 1968. -468с.
4. Пахомов И.И., Рожков О.В., Рождествин В.Н. Оптико-электронные квантовые приборы: учебное пособие для вузов /Под ред. И.И. Пахомова. -М.:Радио и связь, 1982. -456с.
5. Джеррад А., Берч Дж.М. Введение в матричную оптику: пер. с англ. /Под ред. В.В. Коробкина. -М.:Мир, 1979. -540с.
6. Пахомов И.И. Расчет преобразования лазерного пучка в оптических системах: учебное пособие по курсу "Физические основы оптикоэлектронных квантовых приборов" /Под ред. Л.Н. Лазарева.        -М.:МВТУ им. Н.Э. Баумана. 1983. -54с.
7. Мосягин Г.М., Немтинов В.Б. Теория преобразования сигналов в оптико-электронных приборах. М.:МВТУ. I, II. 1997.
8. Справочник по специальным функциям /Под ред. М. Абрамовица и      И. Стиган. -М.:Наука. 1979. -830с. (с.122-132).

 

Описание составил:

 

д.т.н., профессор                                                                И.И. Пахомов

 

Московский Государственный Технический Университет имени Н.Э.Баумана

 

 

Кафедра РЛ-2

 

"УТВЕРЖДАЮ"

ЗАВ. КАФЕДРОЙ РЛ-2

________________КОЗИНЦЕВ В.И.

"       "_________________2003г.

 

Лабораторная работа

 

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГАУССОВА ПУЧКА ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ И ИЗМЕРЕНИЕ ЕГО ПАРАМЕТРОВ

 

 

Москва - 2003г.

* Там, где в формулах имеется два знака, верхний знак соответствует положительной ветви, а нижний - отрицательной.

Теоретическая часть

Пространственное распределение амплитуды лазерного излучения

Для того чтобы правильно описать излучение, преобразованное линзой или сложной оптической системой, прежде всего, необходимо знать, что представляет собой само лазерное изучение. Следует четко помнить, что параметры лазерного излучения полностью определяются конфигурацией резонатора лазера, то есть радиусами кривизны резонатора R 1 и R 2 и расстоянием L между ними.

Нахождение лазерного излучения от резонатора с известной конфигурацией основано на скалярной теории дифракции монохроматического излучения. Применение принципа Гюйгенса - Френеля при условии существенной кривизны волновых фронтов (радиусы их кривизны значительно больше длины волны излучения) и малости дифракционных углов позволяет описать результат дифракции с помощью интеграла Френеля-Кирхгофа (1).

         (1)

где E (ξ, η,0) - поле на элементе, на котором происходит дифракция излучения. (см. рис.1)

Σ

Нас интересуют стационарные распределения оптического поля в резонаторе лазера, то есть распространение излучения с амплитудой E от поверхности одного зеркала резонатора к другому и обратно. Таким образом распределение поля на зеркалах ν_р (x, y) в стационарном режиме остается неизменным. Задаваясь некоторым исходным распределением ν_р (ξ, η) и описывая с помощью (1) достаточно большое количество последовательных переотражений, при определенных условиях может быть достигнута практическая неизменность (стационарность) амплитуды излучения в резонаторе, которая и соответствует искомой функции . Этот метод последовательных приближений при ряде допущений позволяет получить аналитическое решение для лазера с устойчивым резонатором, излучение которое представляет собой набор эрмитогауссовых пучков.

Каждый из этих пучков наиболее просто описывается через функции  и параметры , характеризующие геометрию гауссова пучка, и определяется выражением (2), (3):

      (2)

где  - полиномы Чебышева - Эрмита, k = 0, 1, 2, 3, …; например,  и т.д. n, m - модовые числа;  - радиус кривизны волнового фронта в точке (0, 0, z);  - радиус пятна по уровню амплитуды 1/ e в плоскости, пересекающей ось OZ в точке (0, 0, z) и перпендикулярной этой оси;  - радиус пятна в сечении перетяжки;  - параметр конфокальности пучка.

Зависимости  и  в выражении (2) имеют вид

                                  (3)

Из (3) следует, что кривизна волнового фронта гауссового пучка  изменяется от минимального (в сечениях ) до максимального (R(z)= ) значения при  и . Как может быть показано [4], фазовая поверхность представляет собой параболу вращения:

с радиусом кривизны  для точки на оси (0, 0, z), который определяется зависимостью (3). В то время как огибающая гауссового пучка по уровню амплитуды 1/ e есть гиперболоид вращения (см. рис. 2)

,

асимптоты которого определяют угол расходимости гауссового пучка

                                                   (4)

Из выражений (3) и (4) следует, что величина радиуса кривизны волнового фронта R (z) и радиуса пятна в сечении перетяжки не зависят от модовых чисел m и n, т.е. одинаковы для всех мод эрмито-гауссового пучка. Поэтому    анализ лазерного излучения и его преобразование оптической системой целесообразно проводить только для основной моды (ТЕМ₀₀) с нулевым значением модовых чисел. При этом выражение (2) описывает чисто гауссов пучок, для которого изменение амплитуды в поперечном сечении представляет собой гауссоиду

   (5)

Постоянная v₀ в выражениях (2) и (5) связана с энергетическими характеристиками лазерного пучка: с его интенсивностью

и потенциалом

После интегрирования из последнего следует:

В результате пространственное распределение интенсивности излучения лазера можно записать в виде, удобном для практических расчетов:

                             (6)

Таким образом, все основные зависимости, описывающие пространственное распределение лазерного излучения, в конечном счете, выражаются через радиус перетяжки r₀ и параметр конфокальности z_K. Последние в свою очередь определяются конфигурацией резонатора.