Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2022-02-11 | 41 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Задача [Эрмит]. Построить полином , имеющий заданные значения своих производных в узлах интерполяции :
При узел называется простым узлом интерполяции, при узел называется кратным узлом.
Для случая вещественной интерполяционной таблицы () задаче можно придать следующую геометрическую интерпретацию: требуется провести алгебраическую кривую через заданные точки так, чтобы в каждой точке обеспечить заданные наклоны касательных (а также, возможно, кривизны и т.п.).
§
Интерполяционный полином Эрмита используется в задаче разложения дробно-рациональной функции на простейшие дроби. Сам Эрмит применял его для оценки величины определенного интеграла по значениям функции и ее производных на концах интервала. Еще одно приложение — в задаче вычисления функции от матрицы.
Интерполяционная таблица дает условий на коэффициенты неизвестного полинома. По аналогии со стандартной задачей интерполяции, можно ожидать, что искомый полином будет существовать среди полиномов степени . Будем искать этот полином методом неопределенных коэффициентов. Обозначим
Пусть — произвольный полином степени . Разложим дробь на сумму простейших над множеством :
Определим числители дробей с помощью интерполяционных данных. Домножим обе части тождества на , получим:
здесь через обозначена дробно-рациональная функция по , знаменатель которой не обращается в нуль при . Подставим это значение в обе части последнего равенства:
Теперь продифференцируем последнее тождество по , подставим и воспользуемся данными интерполяционной таблицы:
Снова продифференцируем по и т.д. В результате получаем:
Аналогично поступаем и с другими узлами интерполяции. В результате, получаем решение задачи в виде интерполяционного полинома Эрмита:
|
В литературе имеется неоднозначность терминологии — этот же полином называется и интерполяционным полиномом Лагранжа-Сильвестра, и интерполяционным полиномом Серре.
Теорема. Подмножество всевозможных полиномов из , принимающих значения по таблице, можно представить в виде
здесь — интерполяционный полином Эрмита.
Интерполяционный полином Эрмита является естественным обобщением обычного интерполяционного полинома в форме Лагранжа () и формулы Тейлора ().
Можно указать и явное представление для этого полинома — с использованием формализма определителей. На основании правила дифференцирования дробно-рациональной функции, получаем:
Здесь — биномиальный коэффициент. Еще один подход к построению полинома см. ☞ [8].
П
Пример. Построить интерполяционный полином по таблице
Решение. Здесь
Для имеем и в формуле Эрмита этому узлу соответствует одно слагаемое:
Для имеем и этому узлу соответствует полином
значения которого — вместе с первой и второй производной — в точке должны совпадать с табличными:
Для имеем :
и для определения четырех коэффициентов этого полинома мы имеем четыре условия из таблицы:
Этот же результат можно получить и в виде альтернативного — детерминантного — представления:
и
Наконец, для имеем :
Ответ. .
Построить уравнение «горки»: найти полином из условий .
Следующий результат не очень связан с содержанием настоящего пункта, но надо было куда-то поместить.
Теорема [1]. При заданных существуют а) полином
(т.е. ) и б) числа такие, что
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!