Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2022-02-10 | 26 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Кинематика
Основные законы и формулы
1. Материальная точка – это твёрдое тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь.
X |
Y |
Z |
Рис. 1 – Радиус-вектор
где единичные векторы направлений; x, y, z – координаты точек.
2. Основная задача кинематики поступательного движения заключается в нахождении явного вида функции
3.Вектор средней скорости материальной точки
,
где – перемещение материальной точки за интервал времени .
Модуль средней скорости
.
4. Средняя путевая скорость или средняя скорость на всем пути (скалярная величина)
,
где – путь, пройденный точкой за время .
5. Вектор мгновенной скорости материальной точки
.
- вектор, определяемый производной радиуса-вектора движущейся точки по времени и направленный по касательной к рассматриваемой точке траектории в сторону движения.
Модуль мгновенной скорости
Вектор можно разложить на составляющие, направленные вдоль координатных осей
,
где ; ; – проекции вектора скорости на координатные оси.
Модуль мгновенной скорости через проекции
.
6. Закон сложения скоростей
,
где - скорость точки в системе K; - скорость этой точки в системе K ’; - скорость системы K ’ относительно системы K.
Относительная скорость двух тел
и ,
где - относительная скорость первого тела относительно второго; - относительная скорость второго тела относительно первого.
7. Вектор среднего ускорения материальной точки
,
где – изменение вектора скорости за интервал времени
8. Вектор мгновенного ускорения материальной точки
|
Направление вектора совпадает с направлением вектора d (приращением вектора скорости за время d t)
Вектор можно разложить на составляющие, направленные вдоль координатных осей
где – проекции вектора ускорения на оси координат.
Модуль мгновенного ускорения через проекции
,
Рис. 2 – Полное линейное ускорение
где , определяет изменение вектора скорости по направлению; , определяет изменение вектора скорости по величине.
Модули этих ускорений
; ; ,
где R – радиус кривизны траектории; – производная модуля скорости по времени.
10. Основная задача кинематики вращательного движения заключается в нахождении явного вида функции ,
где – угловое перемещение материальной точки, модуль которого равен углу поворота.
11. Вектор средней угловой скорости
где – приращение угла поворота за промежуток времени .
12. Вектор мгновенной угловой скорости
R |
z |
Рис. 3 – Кинематические характеристики вращательного движения
13. Вектор среднего углового ускорения
.
14. Вектор мгновенного углового ускорения
15. Связь между линейными и угловыми величинами:
путь, пройденный точкой
,
где R – радиус окружности, по которой движется точка;
скорость точки
;
тангенциальная составляющая ускорения точки
;
нормальная составляющая ускорения точки
.
16. Период вращения T равномерно вращающейся точки
() – это время, за которое точка совершает один оборот, то есть поворачивается на угол радиан
или .
17. Частота вращения n – число полных оборотов в единицу времени
|
.
Тогда угловая скорость точки связана с частотой вращения соотношением .
Таблица 1
Основные уравнения кинематики поступательного и вращательного движений
Движение | Поступательное | Вращательное |
равномерное | ; а) где – радиус-вектор, определяющий положение материальной точки в момент времени t; – радиус-вектор, определяющий положение материальной точки в момент времени t = 0. б) в координатной форме . | ; а) где – начальное угловое перемещение. б) в проекции на ось вращения Z . |
равнопеременное | а) где – начальная скорость. б)в координатной форме . в) . г) в координатной форме | а) где – начальная угловая скорость. б) в проекции на ось вращения Z . |
Примеры решения задач
Пример 1. Движение материальной точки задано уравнением , где А= 4 м/с ,В = – 0,05 м/с2. Определить момент времени, в который скорость u точки равна нулю. Найти координату и ускорение точки в этот момент времени.
Дано: ; м/с; – 0,05 м/с2.
Найти: 1) t ; 2) x; 3) a.
Решение. Материальная точка совершает одномерное прямолинейное движение вдоль оси x, уравнение которого имеет вид
Мгновенная скорость материальной точки – есть первая производная от координаты по времени
Определим момент времени t, в который скорость точки равна нулю:
;
;
;
.
Подставим числовые значения и выполним вычисления
с.
Определим координату в момент времени t = 40 c:
м.
Мгновенное ускорение материальной точки – есть первая производная от проекции скорости на ось x по времени
Выполним вычисления:
– 0,1 м/с2.
Ответ: t = 40 c; x = 80 м; а = – 0,1 м/с2.
Пример 2. Диск радиусом R = 20 см вращается согласно уравнению где ; ; . Определить тангенциальное , нормальное и полное а ускорения точек на окружности диска для момента времени с.
Дано: ; ; ; ; см = 0,2 м; с.
Найти:
Решение. В задаче дано уравнение движения диска в проекции на ось вращения
Возьмем производную от угла поворота по времени и найдем угловую скорость диска
Возьмем производную от угловой скорости по времени и найдем угловое ускорение диска
.
Связь между линейной и угловой скоростями определяется соотношением
u = w R
Тогда линейная скорость диска
u = (B +3 Ct 2) R
Выполним вычисления для момента времени с:
u = (– 1+3·0,1·102)·0,2 = 5,8 м/с.
Связь между тангенциальным и угловым e ускорениями
|
.
Тогда
Выполним вычисления для момента времени с:
a t= 6 × 0,1× 0,2 × 10 = 1,2 м/с2.
Модуль нормальной составляющей ускорения
.
Произведем вычисления :
м/с2.
Модуль полного ускорения a
Выполним вычисления а:
м/с2.
Ответ: м/с2; м/с2; м/с2.
Пример 3. Три четверти своего пути автомобиль прошёл со скоростью , остальную часть пути – со скоростью . Определить среднюю путевую скорость автомобиля?
Дано: u 1= 60 км/ч; u 2 = 80 км/ч.
Найти: .
Решение. Средняя путевая скорость тела равна отношению пути к тому промежутку времени, за которое пройден этот путь
.
Весь путь движения автомобиля S целесообразно разделить на два участка и .
Время движения автомобиля на первом участке равно
, (1)
а на втором участке –
. (2)
Тогда средняя путевая скорость равна
. (3)
Подставив выражения (1) и (2) в формулу (3), получаем
.
Подставим числовые значения и выполним вычисления:
км/ч.
Ответ: = 64 км/ч.
Пример 4.Под каким углом к горизонту охотник должен направить ствол ружья, чтобы попасть в птицу, сидящую на высоте H на дереве, находящемся на расстоянии l от охотника? В момент выстрела птица свободно падает вниз на землю.
Дано: H; l.
Найти: a.
Решение.
l |
A |
X |
H |
Y |
α |
0 |
Рис. 4 – Траектория движения
Запишем уравнения движения:
- свободно падающей птицы
- пули, выпущенной под углом α к горизонту с начальной скоростью u 0
В момент попадания пули в птицу их координаты равны, тогда
Тогда
.
Искомый угол равен
Динамика
Основные законы и формулы
1. Импульс материальной точки массой m, движущейся со скоростью
2. Основное уравнение динамики поступательного движения (второй закон Ньютона)
,
где – геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку; N – число сил, действующих на точку; – производная от импульса материальной точки по времени.
При m = const(масса не зависит от скорости) второй закон Ньютона имеет вид
|
или ,
где – вектор ускорения.
3. Основное уравнение динамики в проекциях на касательную и нормаль к траектории точки
, .
4. Виды сил.
· сила гравитационного взаимодействия материальных точек массами и , находящихся на расстоянии r друг от друга
где G – гравитационная постоянная.
Это соотношение справедливо и для тел сферической формы значительно удалённых друг от друга (r – расстояние между центрами этих тел).
· сила тяжести
,
где – ускорение свободного падения.
· сила упругости
,
где – радиус-вектор, определяющий смещение частицы от положения равновесия. Примером такой силы является сила упругой деформации при растяжении (сжатии) пружины или стержня. В соответствии с законом Гука
,
где k – коэффициент упругости; x – величина упругой деформации.
· сила трения скольжения
,
где – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления.
5. Работа, совершаемая переменной силой на участке траектории L
,
где интегрирование ведётся вдоль траектории L; – элементарный путь.
6. Работа, совершаемая постоянной силой ( cosa = const)
,
где – угол между направлениями векторов силы и скорости
При решении задач следует точно представлять, какая сила F совершает работу, и указывать это в пояснениях к решению.
7. Мгновенная мощность в поступательном движении, или мощность развиваемая силой F в данный момент времени
или
где – угол между векторами силы и скорости
Работа и мощность являются скалярными величинами.
Механическая энергия системы Е имеет две составляющих, кинетическую (энергию движения) и потенциальную (энергию взаимодействия и взаиморасположения частей механической системы).
Е=Е к +Е п.
В замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы, механическая энергия сохраняется. В этом суть закона сохранения энергии в механике.
8. Кинетическая энергия материальной точки, движущейся со скоростью , пренебрежимо малой по сравнению со скоростью света с:
или
9. Потенциальная энергия материальной точки, находящейся в однородном поле силы тяжести ( = const):
,
где h – высота материальной точки над уровнем, принятым занулевой для отсчета потенциальной энергии; g – ускорение свободного падения.
Данная формула применима и для расчета потенциальной энергии протяженных тел, в этом случае h – высота центра масс тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчета потенциальной энергии.
10. Потенциальная энергия упруго деформированного тела (сжатой или растянутой пружины)
11. Закон сохранения импульса замкнутой системы – импульс замкнутой системы частиц не меняется со временем, т.е. остается постоянным.
|
или
где N – число материальных точек, входящих в систему.
12. Момент инерции относительно неподвижной оси вращения:
материальной точки
где mi – масса материальной точки; ri – расстояние от неё до оси вращения;
системы материальных точек
где – масса i -ойматериальной точки; – расстояние от этой точки до оси вращения;
твердого тела
,
где d m и d V – масса и объём элемента тела, находящегося на расстоянии r от оси Z; – плотность тела в данной точке.
16. Теорема Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси
,
где – момент инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс; m – масса тела; a – расстояние между произвольной осью и параллельной осью, проходящей через центр масс тела.
Таблица 2
Моменты инерции некоторых однородных тел правильной геометрической формы относительно их геометрических осей вращения
Тело | Ось, относительно которой определяется момент инерции | Формула момента инерции |
однородный тонкий стержень массой m и длиной l | Ось проходит через середину стержня перпендикулярно ему | |
тонкое кольцо, труба радиусом R и массой m | Ось симметрии | |
сплошной однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой m | Ось симметрии | |
однородный шар массой m и радиусом R | Ось проходит через центр шара |
17. Момент силы относительно точки О равен векторному произведению векторов и
,
где – радиус-вектор, проведённый из точки О в точку приложения силы (рис. 5).
О |
А |
d |
Модуль момента силы
,
где d – плечо силы (величина, равная кратчайшему расстоянию от точки О до линии действия силы).Рис. 5 – Момент силы
18. Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси Z
,
где – момент инерции твёрдого тела относительно неподвижной оси Z; – проекция угловой скорости твёрдого тела на ось Z.
19. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной точки О
,
где – момент импульса твёрдого тела; – результирующий момент внешних сил.
В проекции на ось Z
,
где – момент инерции твёрдого тела относительно неподвижной оси Z; – проекция углового ускорения твёрдого тела на ось Z.
20. Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы, когда результирующий момент внешних сил равен нулю ():
или проекция результирующего момента сил равна нулю
где – момент инерции твёрдого тела относительно неподвижной оси Z; – угловая скорость относительно неподвижной оси Z.
21. Работа внешних сил при вращении твёрдого тела относительно неподвижной оси Z
где – угол, на который поворачивается тело за время t; – проекция вектора момента силы на ось Z.
22. Работа постоянного момента силы
23. Мгновенная мощность во вращательном движении
24. Кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси Z:
,
где Iz – момент инерции тела относительно оси Z; – угловая скорость тела.
25. Кинетическая энергия плоского движения, когда ось вращения проходит через центр масс системы (тела)
,
где Ic – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс; – линейная скорость центра масс.
Плоское движение - это движение твердого тела, при котором траектории всех его точек лежат в параллельных плоскостях.
26. Приращение кинетической энергии
где – работа всех сил, действующих на тело.
27. Убыль потенциальной энергии в поле консервативных сил
где – работа сил поля.
Консервативными называются силы соответствующие двум условиям:
- работа консервативных сил не зависит от пути перехода из одного состояния в другое, а определяется только начальным и конечным положениями рассматриваемой системы;
- работа консервативных сил на замкнутом переходе равна нулю.
28. Приращение полной механической энергии
где – работа результирующей всех сторонних сил, то есть сил, не принадлежащих к силам данного поля.
Примеры решения задач
Пример 1. Наклонная плоскость, образующая угол с плоскостью горизонта, имеет длину . Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время . Определить коэффициент трения тела о плоскость.
Дано: ; м; с.
Найти:
a |
X |
Y |
a |
Рис. 6 –Наклонная плоскость
На рисунке – сила тяжести, – сила нормальной реакции опоры, – силатрения. Так как все силы, действующие на тело постоянные, то и его ускорение будет постоянным, а движение равноускоренным.
Для решения задачи используем второй закон Ньютона (в инерциальной системе отсчета):
а) в векторной форме
б) в проекциях на координатные оси
в проекции на ось X: ;
в проекции на ось Y:
Составим систему уравнений
(1)
Выразим F тр из системы уравнений (1):
(2)
Решив систему уравнений (1), с учетом F тр = m N найдем коэффициент трения
(3)
В случае равноускоренного поступательного движения координата x изменяется по закону
Так как по условию , то путь пройденный телом
S = x – x 0:
Откуда
(4)
Подставим (4) в (3), получим
Выполним вычисления
Ответ:
Пример 2. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением , где рад; В = 16 рад/с; С = 2 рад/с2. Момент инерции маховика равен50 кг м2. Найти законы, по которым изменяются вращающий момент и мощность. Чему равна мощность в момент времени с.
Дано: ; рад; ; ;
I = 50 кг∙м2.
Найти: (t = 3 с).
Решение. Маховик вращается согласно закону
.
Мгновенная мощность
.
Определим выражение для угловой скорости, как производную от функции j(t)
Определим выражение для углового ускорения, как вторую производную от функции j(t)
Выполним вычисление :
рад/с; рад/с2= const.
Законы, по которым меняются:
а) вращающий момент ;
б) мгновенная мощность
Выполним вычисления:
Н∙м,
Вт.
Ответ: N = 5600 Вт.
Пример 3. Горизонтальная платформа массой кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой . Человек массой стоит при этом на краю платформы. С какой угловой скоростью начнёт вращаться платформа, если человек перейдёт от края платформы к её центру? Считать платформу круглым однородным диском, а человека – материальной точкой.
Дано: кг; кг; мин –1= 0,13 с –1.
Найти:
Решение. Человек и платформа (рис. 7,8) составляют замкнутую механическую систему, поэтому можно воспользоваться законом сохранения моментаимпульса. Рассмотрим его относительно неподвижной оси Z:
или
Рассмотрим два случая:
а) человек на краю платформы | б) человек в центре платформы | |||||||
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при... Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого... Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов... Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима... © cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста. |