Большая полуось орбиты Земли составляет 1 а.е., а период обращения вокруг Солнца 1 год.

Определение расстояний до тел Солнечной системы основано на измерении их горизонтальных параллаксов. Горизонтальный параллакс – угол, под которым со светила виден радиус Земли, перпендикулярный лучу зрения. Из треугольника OAS на рисунке 3 можно выразить величину – расстояние OS=D:

 

Рисунок 3 – Горизонтальный параллакс светила

                                                                                                                                (7)

где D – от центра Земли до центра какого-нибудь тела Солнечной системы;

R – экваториальный радиус Земли, равный 6371 км;

  p– горизонтальный параллакс светила.

     Для малых углов sinp≈p, если угол p выражен в радианах. 1 радиан=206265". Тогда, заменяя sinp на р и выражая угол в радианной мере, получаем формулу в виде, удобном для вычислений:

                                                                       R                                                (8)

     В астрономии приняты следующие единицы измерения расстояний:

- Световой год (св.год) – расстояние, которое луч света проходит за 1 год.

- Астрономическая единица (а.е) – величина большой полуоси земной орбиты (среднее расстояние от Земли до Солнца).

- Парсек (пк) - это расстояние, с которого отрезок длиной в одну а.е, перпендикулярный лучу зрения, виден под углом в одну угловую секунду.

     Во второй половине XX в. развитие радиотехники позволило определить расстояние до тел Солнечной системы посредством радиолокации. На небесное тело посылают мощный кратковременный импульс, а затем принимают отражённый сигнал. Расстояние до объекта по времени прохождения радиолокационного сигнала определяется следующим образом:

                                                                                                                                   (9)

где D – расстояние до объекта;

     с=299792458 м/c=3·10⁸ м/c – скорость распространения радиоволн;

     t – время прохождения сигнала до объекта и обратно.

Более точная формула третьего закона Кеплера, которая была получена Ньютоном, даёт возможность определить одну из важнейших характеристик любого небесного тела – массу по движению их спутников, а массы двойных звёзд — по элементам их орбит. Формула, выражающая обобщённый третий закон Кеплера, имеет следующий вид:

                                                                                                                       (10)

где m₁, m₂– массы тел,

  Т₁, T₂–сидерические периоды обращения вокруг своих центральных тел;

  М₁, M₂ – массы центральных тел;

  а₁, а₂ – большие полуоси орбит тел.

Первая космическая скорость – минимальная скорость, которую необходимо придать объекту, чтобы он совершал движение по круговой орбите вокруг планеты. Первая космическая скорость определяется следующим выражением:

                                                                                                                              (11)

где  – первая космическая скорость, м/с;

G=6,67∙10^-11 Н∙м²/кг² – гравитационная постоянная;

M – масса светила;

R – радиус светила.

Вторая космическая скорость – наименьшая скорость, которую необходимо придать объекту, масса которого пренебрежимо мала по сравнению с массой небесного тела, для преодоления гравитационного притяжения этого небесного тела и покидания круговой орбиты вокруг него. Вторая космическая скорость определяется следующим выражением:

                                                                                                                            (12)

где  – вторая космическая скорость, м/с;

 

АЛГОРИТМ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАДАНИЯ

Задание к практической работе: В зависимости от номера варианта, указанным преподавателем, решить 7 задач различного уровня сложности на законы движения небесных тел.

1- вариант

I уровень (базовый)

1. Звёздный период обращения Юпитера равен 12 годам. Через какой промежуток времени повторяются его противостояния?

2. Самый первый астероид, открытый 1 января 1801 года, был назван Церерой. Эксцентриситет орбиты Цереры равен 0,079, большая ось 5,54 а.е. Определить наибольшее расстояние ее от Солнца?

3. Определить период обращения астероида Белоруссия, если большая полуось его орбиты равна 2,4 а.е.

4. Радиолокатор зафиксировал отражённый сигнал через 0,667 с от пролетающего вблизи Земли астероида. На каком расстоянии от Земли находился в это время астероид?

II уровень (повышенный)

5. На каком расстоянии от Земли находится небесное тело, если его горизонтальный параллакс 2". Ответ выразить в километрах и астрономических единицах.

6. Рассчитать первую космическую скорость для Луны, если масса Луны равна 7,35·10²² кг, а радиус Луны 1740 км.

III уровень (высокий)

7. Используя формулу уточнённого Ньютоном третьего закона Кеплера, вычислить по движению Луны вокруг Земли (а=384000 км=1/390 а.е.; Т=27,3 сут=1/13,3 года) и массе Земли (6∙10²⁴ кг) массу Солнца.

2- вариант

I уровень (базовый)

1. Каков синодический период Марса, если его звёздный период равен 1,88 земного года?

2. Вычислить наибольшее расстояние от Земли до Солнца, если большая полуось 149,6 млн км, а эксцентриситет 0,017. Ответ дать в млн км.

3. Звёздный период обращения Юпитера вокруг Солнца составляет 12 лет. Каково среднее расстояние от Юпитера до Солнца?

4. Каково расстояние между лазерным отражателем на Луне и телескопом на Земле, если импульс возвратился через 2,43545 с?

II уровень (повышенный)

5. Определить расстояние от Земли до Марса во время великого противостояния, когда горизонтальный параллакс его равен 23,2". Ответ дать в миллионах километрах и световых годах.

6. Рассчитать первую космическую скорость для Земли, если масса Земли равна 6,97·10²⁴ кг, а средний радиус Земли 6370 км.

III уровень (высокий)

7. Вычислите массу Марса в сравнении с массой Земли по движению его спутника Фобоса, для которого а₁=9300 км, Т₁=0,32 сут. Соответствующие величины для Луны принять равными а₂=384000 км, Т₂=27,3 сут.

3- вариант

I уровень (базовый)

1. Нижние соединения Меркурия повторяются через 116 суток. Определить сидерический период Меркурия?

2. Эксцентриситет орбитыстанции «Луна-1», большая ось 1,15 а.е. Определить наибольшее расстояние ее от Солнца.

3. Период обращения малой планеты Шагал вокруг Солнца равен 5,6 года. Определить большую полуось его орбиты.

4. Сигнал, посланный радиолокатором к Венере, возвратился назад через 4 мин 36 с. На каком расстоянии в это время находилась Венера в своем нижнем соединении?

II уровень (повышенный)

5. Горизонтальный параллакс звезды Антарес 0,005". Определить расстояние до этой звезды в миллионах километрах и парсеках.

6. Рассчитать вторую космическую скорость для Луны, если масса Луны равна 7,35·10²² кг, а радиус Луны 1740 км.

III уровень (высокий)

7. Определите массу Сатурна, выразив ее в массах Земли, если один из его спутников отстоит от центра планеты на 185500 км и имеет период обращения 0,94 сут. Для решения задачи сравнить обращение Сатурна вокруг Солнца с обращением Луны вокруг Земли. Массу Земли принять за единицу, период обращения Луны 27,32 сут, а среднее расстояние Луны от Земли — 384 тыс. км.

4- вариант

I уровень (базовый)

1. Определить звёздный период Венеры, если ее нижние соединения повторяются через 584 суток.

2. Определить афелийное расстояние астероида Минск, если большая полуось его орбиты равна 2,88 а.е., а эксцентриситет равен 0,24.

3. Большая полуось орбиты астероида Тихов равна 2,71 а.е. За какое время этот астероид обращается вокруг Солнца?

4. Сигнал, посланный радиолокатором к Меркурию, возвратился назад через 9 мин 8 с. На каком расстоянии в это время находился Меркурий в своем нижнем соединении?

II уровень (повышенный)

5. Параллакс Альтаира 0,2". Определить расстояние до этой звезды в миллионах километрах и световых годах.

6. Рассчитать вторую космическую скорость для Земли, если масса Земли равна 6,97·10²⁴ кг, а средний радиус Земли 6370 км.

III уровень (высокий)

7. Вычислить массу Юпитера, зная, что один из его спутников (Ио) совершает оборот вокруг планеты за 1,77 сут на расстоянии 422 тыс. км от Юпитера. Для решения задачи сравнить обращение Ио вокруг Юпитера с обращением Луны вокруг Земли. Массу Земли принять за единицу, период обращения Луны 27,32 сут, а среднее расстояние Луны от Земли — 384 тыс. км.

5- вариант

I уровень (базовый)

1. Каков синодический период Урана, если его звёздный период равен 84 года?

2. Определите перигелийное расстояние астероида Икар, если большая полуось его орбиты равна 160 млн км, а эксцентриситет составляет 0,83.Ответ дать в млн км.

3. Определить период обращения астероида Цереры вокруг Солнца, если большая ось ее орбиты равна 5,54 а.е.

4. Определить через сколько времени радиолокатор зафиксирует отражённый от поверхности Меркурия сигнал, если Меркурий находился на расстоянии 217 млн км от поверхности Земли.

II уровень (повышенный)

5. Годичный параллакс Веги 0,11". Определить расстояние от звезды до Земли в миллионах километрах и парсеках.

6. Вычислите первую космическую скорость для Солнца. Масса Солнца 2∙10³⁰ кг, а диаметр Солнца 1,4∙10⁹ м.

III уровень (высокий)

7. Определить массу Урана в единицах массы Земли, сравнивая движение Луны вокруг Земли с движением спутника Урана – Титанией, обращающегося вокруг него с периодом 8,7 сут. На расстоянии 438000 км. Период обращения Луны вокруг Земли 27,32 сут., среднее расстояние ее от Земли составляет 384000 км.

6-вариант

I уровень (базовый)

1. Каков синодический период Нептуна, если его звёздный период равен 165 земных лет?

2. Комета Темпеля имеет вытянутую орбиту, размер большой полуоси 2,98 а.е., эксцентриситет 0,54. Определить перигелийное расстояние.

3. Определить большую полуось кометы Галлея, если период ее обращения вокруг Солнца 76 лет.

4. Сигнал, посланный радиолокатором к Юпитеру, возвратился назад через 1 ч 47 мин 37 с. На каком расстоянии в это время находился Юпитер в своём верхнем соединении?

II уровень (повышенный)

5. Параллакс звезды равен 0,16". Определить расстояние от звезды до Земли в миллионах километрах и астрономических единицах.

6. Определить вторую космическую скорость для планеты, масса и радиус которой в 2 раза больше, чем у Земли. Масса Земли равна 6,97·10²⁴ кг, а средний радиус Земли 6370 км.

III уровень (высокий)

7. Вычислите массу Нептуна приняв за единицу измерения массу Земли и зная что спутник Нептуна Тритон отстаёт от центра планеты на 354 тыс км. а период обращения его равен 5 суткам 21 часу (вычисление произвести сопоставляя движение спутника Нептуна с движением Луны вокруг Земли) Сидерический период обращения Луны-27,3 сут, большая полуось орбиты 384 000 км.

7-вариант

I уровень (базовый)

1. Определить звёздный период обращения Сатурна, если его синодический период обращения составляет 1,035 года.

2. Большая полуось орбиты планеты Меркурий 0,387 а.е, а эксцентриситет 0,21. Определить наименьшее расстояние планеты от Солнца.

3. Большая полуось орбиты Плутона 39,472 а.е. Определить период обращения его вокруг Солнца.

4. Определить через сколько времени радиолокатор зафиксирует отражённый от поверхности Венеры сигнал, если Венера находилась на расстоянии 261 млн км от поверхности Земли.

II уровень (повышенный)

5. Определить расстояние от звезды Арктур до Земли в миллионах километрах и парсеках, если параллакс равен 0,085".

6. Вычислите первую космическую скорость вблизи поверхности Марса, если радиус Марса 3400 км, а масса составляет 6,42∙10²³ кг.

III уровень (высокий)

7. Определите массу карликовой планеты Плутон (в массах Земли) путем сравнения системы Плутон - Харон с системой Земля - Луна, если известно, что Харон отстоит от Плутона на расстоянии 19,7 тыс. км и обращается с периодом 6,4 суток. Массы Луны, и Титана считайте пренебрежимо малыми по сравнению с массами планет.