Правильные ромбические тела.

НОВОГОДНИЙ ПОДАРОК

или

О ШЕСТИУГОЛЬНЫХ
СНЕЖИНКАХ⁰

Славному придворному советнику
его императорского величества,

Господину

ИОГАННУ МАТТЕЮ ВАКГЕРУ
фон ВАКЕНФЕЛЬСУ¹,

золотому рыцарю и прочая, покровителю наук и философов, моему благодетелю

 

Поскольку мне доподлинно известно, сколь сильно ты любишь Ничто не по причине его незначительной ценности, а скорее как прелестную забаву шаловливо щебечущего воробья, то нетрудно догадаться, что любой дар будет для тебя тем приятнее и желаннее, чем сильнее он будет походить на Ничто.

Ведь в любом случае для того, чтобы размышления о ничтожном доставили тебе удовольствие, оно должно быть и малым, и почти неощутимым, и малоценным, и наименее протяженным, то есть быть почти Ничем. В природе встречается великое множество таких вещей, но между ними имеются различия. Вспомни хотя бы об одном из атомов Эпикура: такой атом и есть Ничто. Разумеется, тебе и прежде случалось получать от меня Ничто. Итак, нас будут интересовать элементы, то есть самое малое из того, что есть в каждом предмете².

Прежде всего обратимся к Земле. Не будем грезить о сокровищах Архимеда, разложившего Землю на мельчайшие песчинки, 10000 которых умещается в одном маковом зернышке³. Стоит изъять лишь одну-единственную песчинку из великого множества их, как собьется весь его счет мириадов песчинок. Кроме того, форму песчинок нельзя увидеть глазом, и Архимед также умалчивает о ней. Поэтому его песчинки ничего не говорят разуму и не рождают страсть к неизвестным вещам. К тому же мелкие песчинки обладают протяженностью, поскольку пыль и труха заполняют старые, насквозь прогнившие балки. Я подарил бы тебе слишком много, если бы вздумал подарить тебе такую песчинку.

Искра огня, хотя они малы и быстро гаснут, а все же меньше осколков пирита, которые удается отбить, ударив камень о камень, и не уступают по размерам частицам копоти от горящих углей, которые я также отношу к пылинкам. "Фигурные пирамиды", которые мне никогда не приходилось видеть, я оставляю Платону⁴, чтобы он мог создавать из них огонь.

Я могу подарить тебе ветер и дым, но если они и продаются, то не в исландских кожаных мехах, а на бумаге и словах, причем так происходит по всему земному шару. Таким образом, дым - вещь ценная, а мне обходится еще дороже. Для умозрительного рассмотрения он не подходит, поскольку беспорядочен и бесформен.

Обратимся, наконец, к воде. Приставшую к сосуду каплю священные псалмопевцы почитают весьма важной вещью. А наши германцы ничто не ценят меньше, чем капельку вина, которую, опорожнив кубок, стряхивают на ноготь, чтобы посмотреть, прилипнет ли она. Если бы я принес такую каплю, то подарил бы тебе меньше, чем знаменитый перс, предложивший своему царю пригоршню воды из реки Хаосп. Капля вина с ногтя германца была бы более почетным подарком, чем обкусанный обрезок ногтя отрицающего такую малость итальянца. Наконец, шаровидная форма капли наводит на геометрические размышления, однако я опасаюсь, что она недостаточно мала для тебя, столь любящего Ничто.

А что если нам перейти к животным? Я боюсь их, как афинских сов. Однако недавно я видел у тебя несколько томов о вещах удивительных и редких одного из тех авторов, которые в духе учения древнего Парменида отвергают движение на том основании, что одна его часть (а именно прошлое) не совершенна. Поскольку в этом сочинении шла речь о многих диковинных животных, то не думаю, чтобы совсем крохотные твари были обойдены молчанием. Впрочем, оставим догадки. У тебя имеются замечания Скалигера⁵ к работе Кардано⁶ "О тонких материях". В упражнении CXCIV из раздела 7 ты встретишь упоминание о крохотном существе - подкожном клеще. Но и клещ слишком велик. Ведь это существо может ползать и не лишено души. Стану ли я предлагать тебе душу, если отказываюсь дарить тебе даже неодушевленную каплю? Вряд ли ты можешь надеяться и на то, чтобы, разрезав труп бродячего животного, обнаружить в нем нечто новое, как показал анатом доктор Иессен.

Погруженный в подобного рода размышления, я перехожу мост, терзаемый стыдом за свою невежливость: ведь непрестанно играя на одной и той же струне (предлагая Ничто или находя нечто мало отличающееся от него, но не дающее пищу твоему острому разуму), я оставил тебя без новогоднего подарка! И тут мне подворачивается удобный случай: водяные пары, сгустившись от холода в снег, выпадают снежинками на мою одежду, все, как одна, шестиугольными, с пушистыми лучами⁷. Клянусь Гераклом, вот вещь, которая меньше любой капли, имеет форму, может служить долгожданным новогодним подарком любителю Ничего и достойна математика, обладающего Ничем и получающего Ничто, поскольку падает с неба и таит в себе подобие шестиугольной звезды!

Ее необходимо поскорее передать моему покровителю, пока мой крохотный подарок еще тверд и не обратился в Ничто под действием тепла, исходящего от тела.

Что за вещее слово! Что за предмет, столь любезный Вакгеру, питающему слабость к Ничему! Ведь если спросить у германца, что такое Nix (лат. - снег), то он ответит: Nihil (лат. - ничто), если только сумеет сказать на латыни.

Итак, прими сей дар, который очень походит на Ничто, и сделай серьезную мину, а если ты благоразумен, то затаи дыхание, чтобы не оказалось, что ты и впрямь получаешь Ничто. Подобно Сократу, я вынужден говорить о блошиных прыжках: о том, почему снежинки, прежде чем сбиться в крупные хлопья, падают шестиугольниками и пушистыми, как перышки с шестью лучами.

Прочь убирайся, достойный презрения за свое невежество мужлан и сводник Аристофан! Что мне за дело до Сократа и до содержания аристофановой комедии⁸? Лучше я обращу свои помыслы к царственному псалмопевцу, который, воздавая богу хвалу, упоминает о снеге, падающем, как пух⁹. Если я не ошибаюсь, то здесь речь идет о моих снежинках с пушистыми лучами. Вероятно, однажды, когда он сидел усталый или стоял, опершись на пастушеский посох, и охранял свое стадо, ему довелось увидеть, как эти маленькие звездочки падают на овечью шерсть и пристают к ней, и это запомнилось ему.

Снежные звездочки.

Но шутки в сторону - займемся делом. Поскольку всякий раз, когда начинает идти снег, первые снежинки имеют форму шестиугольной звезды, то на то должна быть определенная причина. Ибо если это случайность, то почему не бывает пятиугольных или семиугольных снежинок, почему всегда падают шестиугольные, если только они от соударений не утрачивают форму, не слипаются во множестве, а падают редко и порознь?

Когда я недавно рассуждал с кем-то на эту тему, то мы сошлись прежде всего на том, что причину следует искать не в веществе, а в действующем начале. Ведь вещество снега - это пар. Выделяясь под действием какого-то своего тепла из Земли, пар становится сплошным и как бы жидким. Следовательно, ни на какие звездочки пар не разделен.

Ты спросишь, откуда мне это известно? Ведь даже если бы пар состоял из звездочек, то этого нельзя было бы заметить, поскольку пар прозрачен. Отвечаю: пар возникает при разложении подземной влаги, о чем свидетельствует его легкость и то, что он возносится вверх. Фигуры при разложении не возникают, поскольку форму имеет лишь то, что способно само себя ограничить, ибо форму придают телу его границы. Возникающий при разложении пар по своим свойствам близок к жидкости и течет, то есть не может сам себя ограничить, не имея какой-либо определенной формы, пока не сгущается в снег или в капли.

Но коль скоро установлено, что причина свойственной снегу шестиугольной формы кроется в действующем начале, то позволительно спросить, каково это действующее начало, как оно действует, является ли форма искони присущей телу или приобретается под влиянием внешних воздействий, принимает ли материал шестиугольную форму в силу необходимости или по своей природе и что следует считать врожденным: воплощенный в шестиугольном архетип красоты или знание цели, к которой приводит эта форма? Чтобы решить эти вопросы, мы обратимся к наглядным примерам, но станем рассматривать их геометрически. Для наших вопросов такой экскурс будет чрезвычайно полезен.

Пчелиные соты.

Если спросить у математиков, в каком порядке построены пчелиные соты, то они ответят, что в шестиугольном. Ответ прост и следует из рассмотрения отверстий, или входов, и стенок, образующих соты. Любая ячейка в сотах окружена шестью другими ячейками, каждая из которых имеет с ней по одной общей стенке. Взглянув на основание ячейки, ты увидишь три плоскости, образующие тупой трехгранный угол. Основание, или, лучше сказать, донышко ячейки, соединяясь с ее боковыми сторонами, образует шесть других многогранных углов, из которых три угла, расположенные повыше, имеют по три ребра и подобны трехгранному углу, лежащему в основании ячейки, а три угла расположенные пониже, имеют по четыре ребра. Кроме того, следует иметь в виду, что соты расположены в два слоя: входы в ячейки одного слоя обращены в сторону, противоположную той, куда направлены входы в ячейки другого слоя, а их плотно закрытые донышки соприкасаются. Трехгранное донышко одной ячейки входит между трехгранными донышками трех ячеек другого слоя так, что каждая ячейка соприкасается не только боковыми стенками с шестью примыкающими к ней ячейками того же рода, но и тремя плоскостями, образующими ее донышко, с тремя ячейками из другого ряда. Таким образом, у любой пчелы оказывается по девять соседок, от каждой из которых ее отделяет общая стенка. Все три грани донышка ячейки одинаковы и имеют форму, которую геометры называют ромбом.

Какую форму имеют горошины?

ведь они размещены в продолговатом стручке в определенном порядке и испытывают сжатие с двух сторон. Что же касается круглых зерен в плодах граната, то вначале у них имеется больше свободного пространства, каждое зернышко в отдельности легко проникает между трех зернышек соседнего слоя (такое проникновение облегчается тем, что зерна имеют круглую форму), а жидкость из тесного места заполняет освободившееся пространство. Если насыпать некоторое количество одинаковых по величине шариков из мягкого материала в какой-нибудь круглый сосуд и начать равномерно сдавливать его со всех сторон обручами, то большинство шариков примет форму ромбических тел, в особенности если, предварительно встряхнув сосуд, заставить шарики перекатиться и расположиться как можно более тесно. Если шарики выстроились вдоль прямой и их относительное расположение нельзя ничем нарушить, то после сжатия они превратятся в кубы.

В общем случае одинаковые по величине шары, собранные в каком-нибудь сосуде, располагаются в нем двумя способами - в соответствии с двумя способами их расположения на каждой плоскости.

Если собрать равные по величине шары, разбросанные по горизонтальной плоскости, так, чтобы они касались друг друга, то шары расположатся либо в вершинах равносторонних треугольников, либо в вершинах квадратов. В первом случае каждый шар окружен шестью другими, во втором - четырьмя. В обоих случаях характер касания для всех шаров, кроме наружных, одинаков. Расположение в вершинах правильного пятиугольника не позволяет шарам сохранять равновесие, расположение в вершинах правильного шестиугольника распадается на несколько треугольных. Таким образом, как я и говорил, на плоскости существуют лишь два расположения.

Рис. 1

Итак, если ты перейдешь теперь к построению плотнейшей пространственной упаковки шаров и для этого станешь накладывать одно на другое плотнейшие расположения шаров на плоскости, то возникнут либо либо квадраты A, либо треугольники B (рис. 1). Если получились квадраты, то либо каждый шар верхнего ряда будет стоять на шаре нижнего ряда, либо, наоборот, шары верхнего ряда расположатся в углублениях между четырьмя шарами нижнего ряда. В первом случае каждый шар касается четырех соседних шаров из того же ряда, одного шара сверху и одного шара снизу, то есть всего шести шаров. Это - кубическое расположение шаров, и при сжатии образуются кубы, но оно не является плотнейшим расположением. Во втором случае каждый шар, помимо четырех соседних шаров, расположенных в той же плоскости, касается еще четырех шаров над ним и четырех шаров под ним, то есть всего 12 шаров. При сжатии из шаров получаются ромбические тела. Это расположение очень напоминает октаэдр и пирамиды. Эта укладка шаров плотнейшая: при любом другом расположении в тот же сосуд не удается добавить шаров. С другой стороны, если ряды шаров на плоскости расположены в треугольном порядке, то при построении тела либо каждый шарик верхнего ряда стоит на шарике нижнего ряда, причем и в этом случае упаковка не является плотнейшей, либо каждый шарик верхнего ряда располагается в углублении между четырьмя шариками нижнего ряда. В первом случае каждый шар касается шести соседних шаров, расположенных в той же плоскости, одного шара над собой и одного шара под собой, то есть всего восьми шаров. Расположение напоминает по внешнему виду призму, и при сжатии шары превращаются в столбики с шестью четырехугольными боковыми гранями и двумя шестиугольными основаниями. Во втором случае получается то же и самое, что получалось ранее при квадратном расположении шаров. Пусть B (рис. 2) - три попарно соприкасающихся шара. Положим на них сверху еще один шар A. Пусть C - другая группа из шести шаров, D - еще одна группа из 10 шаров и E - группа из 15 шаров. Меньшую группу всегда клали на большую, чтобы получилась пирамида. При таком наложении слоев каждый из верхних слоев располагается между тремя нижними. Но если извлекать по одному шару из перевернутой пирамиды, обращенной вверх не вершиной, а целой гранью, то четыре шара под ним всякий раз будут располагаться в квадратном порядке. Кроме того, как и прежде, один шар касается 12 других: шесть соседних шаров, расположенных в той же плоскости, три шара вверху и три внизу. Таким образом, в плотнейшей пространственной упаковке треугольное расположение шаров не может встречаться без квадратного, и наоборот.

Рис. 2

Мое мнение о таком Ничто.

Приведенные выше соображения стали как бы отцом, а это наблюдение - как бы матерью следующего моего мнения. Шестиугольные звездочки возникают при падении трех опущенных диаметров, соединенных в одной точке так, что концы их равномерно распределяются по окружности, и опускаются на землю лишь тремя опущенными лучами, в то время как три других луча, служащие продолжениями первых, остаются приподнятыми да тех пор, пока лучи, на которые опирается звездочка, не разогнутся и другие лучи, торчащие вверх, не опустятся на ту же плоскость в промежутках между первыми тремя лучами.

Сначала я рассмотрю это утверждение в целом и лишь затем проверю, правильно ли оно, чтобы его безосновательность, если таковая обнаружится, не помешала моему намерению сказать несколько слов о таком Ничто.

Я исхожу из того, что какова бы ни была причина появления у снежинок шести лучей, она должна действовать одинаково по всем направлениям. Например, если шесть лучей обусловлены холодом, то холод должен окружать все частицы пара, отстоя от них на одинаковых или почти одинаковых расстояниях. Если причину их появления надлежит искать во внутреннем тепле, то оно должно также действовать из одного и того же центра одинаково по всем направлениям на сфере.

Однако само по себе это замечание не решает вопрос, а лишь по-иному ставит его. Ведь оно ее объясняет, почему из одного центра всегда возникают не пять и не семь, а именно шесть пушистых лучей.

Если ты спросишь математика, в какой фигуре три диаметра пересекаются в одной точке ортогонально, или в виде двойного креста, то математик ответит: в октаэдре, противоположные вершины которого соединены. Но октаэдр имеет именно шесть вершин. Как же случается что падающий снег, прежде чем стать плоским, тремя своими опушенными диаметрами, расположенными под прямыми углами друг к другу, образует остов октаэдра (если концы соседних лучей соединить 12 отрезками прямых, то получится октаэдр)?

По какой причине на этих трех опушенных лучах пар сгущается раньше, чем на всей сфере?

Я могу предложить некое объяснение, согласно которому так происходит в силу необходимости, диктуемой свойствами вещества. Правда, мое объяснение исходит из некоего предположения, еще более удивительного, чем то, что подлежит объяснению. Однако я не могу не заметить, что и сравнение многих ошибочных заключений способно рождать истину. Предположим, что пар, едва почувствовав проникающий в него холод, замерзает и превращается в шарики определенной величины. Такое предположение не противоречит здравому смыслу. Ведь капля - наименьшее естественное, количество воды, поэтому для того, чтобы вода не растекалась под действием своего веса, ее необходимо разделить на количества, которые меньше капли. Нетрудно допустить, что взятому в определенном количестве пару свойственна некая неподатливость, позволяющая ему сопротивляться холоду. Это количество пара мы условимся называть воображаемой каплей.

Рис. 3

Предположим далее, что эти воображаемые шарики соприкасаются в определенном порядке, образуя квадратное расположение на плоскости и кубическое расположение в пространстве, о которых говорилось выше. Каждый шарик касается тогда шести других. Мы можем изобразить на плоскости лишь четыре из них (рис. 3) и мысленно представить себе один шарик сверху и один шарик снизу. Коль скоро это установлено и предполагается впредь, холод проникает через промежутки между шарами, и шарики от одной точки касания до другой, ей противоположной, защищены от холода. Поэтому сгущение пара происходит лишь по направлению к центрам шариков, но так, будто оно происходит и по направлению к диаметрам, соединяющим точки касаний, которые сами защищены от холода.

Однако справедливо будет спросить, какая же сила располагает шарики в прямоугольном порядке?

Если бы они не могли располагаться иначе под влиянием свойств, присущих материалу, то вопрос был бы исчерпан. Однако, как говорилось выше, свойства материала допускают два других расположения шариков. Кроме того, все три расположения могут перемешиваться, приводя к самым различным расположениям.

Может быть, причину такого расположения шариков следует видеть в том, что лишь при нем свойства расположения одинаковы по всем направлениям и точки касания распределены равномерно, в то время как при других расположениях этого не происходит? Ведь если каждый отдельный шар касается 12 других, то, как показано выше, промежутки между шарами имеют попеременно то три, то четыре вершины. Здесь же они все имеют по четыре вершины. Там некие два диаметра, соединяющие попарно точки касания, пересекаются под прямым углом в то время как четыре остальных диаметра этим свойством не обладают. Здесь же все три диаметра пересекаются одинаковым образом и любые два из них образуют прямой угол. Там, если соединить точки касания отрезками прямых, получится кубооктаэдр, здесь же - октаэдр внутри каждого шарика.

Отсюда понятно преимущество, которым прямое расположение шариков обладает перед косым. Однако остается невыясненной причина, по которой шарики предпочитают располагаться именно в этом порядке. Быть может, их вынуждает к этому холод? Но каким образом?

Ведь, холод либо приводит к сгущению вещества, либо проникает в него там, где в веществе зияют поры или оно сопротивляется слабее. Чтобы предоставить более обильную пищу для размышлений, скажу иначе: холод, опускающийся отвесно к земле, мог бы служить причиной, по которой шарики располагаются в глубину вдоль прямых; но что заставляет их располагаться вдоль прямых в поперечных направлениях?

Итак, остается лишь предположить, что кубическое расположение капель, если только оно действительно кубическое, то есть если наше Ничто есть Нечто, обусловлено внутренней теплотой пара.

Однако на той стадии, которой мы достигли в своих рассуждениях, безразлично, сама ли теплота придает каждой капле форму октаэдра или она разделяет все вещество на упорядоченные ряды звездочек, а распределение вещества внутри отдельных шариков определяется общим внешним порядком. Однако ни в каком другом случае расположение шаров не может оставаться неизменным, поскольку различные возмущения могут легко нарушить его.

Но, как мы и предполагали ранее, имеются основания считать, что отдельные капли могут выстраиваться в определенном порядке сами, без прикосновений извне. Ведь если бы форма отдельных капель определялась бы относительным расположением и касаниями множества капель, то все звезды по форме были бы почти одинаковыми, в то время как в действительности они значительно отличаются по величине. И даже в строении многих звездочек можно заметить много необычного.

Душа, как образ создателя.

Прежде всего весь род душ родствен геометрически правильным, или космопоэтическим, фигурам, как в том убеждают многочисленные примеры. Поскольку душа сотворена по образу и подобию бога-творца, то в разуме бога-творца заключена равновечная богу истинная сущность таких фигур. Поскольку почти достоверно установлено, что души своей глубинной сущностью воспринимают количественные величины, лишенные физического вещества (или, наоборот, наделенные им, спорить не буду), то ясно, что величины, обладающие формой, душам воспринимать легче, чем бесформенные величины.

НОВОГОДНИЙ ПОДАРОК

или

О ШЕСТИУГОЛЬНЫХ
СНЕЖИНКАХ⁰

Славному придворному советнику
его императорского величества,

Господину

ИОГАННУ МАТТЕЮ ВАКГЕРУ
фон ВАКЕНФЕЛЬСУ¹,

золотому рыцарю и прочая, покровителю наук и философов, моему благодетелю

 

Поскольку мне доподлинно известно, сколь сильно ты любишь Ничто не по причине его незначительной ценности, а скорее как прелестную забаву шаловливо щебечущего воробья, то нетрудно догадаться, что любой дар будет для тебя тем приятнее и желаннее, чем сильнее он будет походить на Ничто.

Ведь в любом случае для того, чтобы размышления о ничтожном доставили тебе удовольствие, оно должно быть и малым, и почти неощутимым, и малоценным, и наименее протяженным, то есть быть почти Ничем. В природе встречается великое множество таких вещей, но между ними имеются различия. Вспомни хотя бы об одном из атомов Эпикура: такой атом и есть Ничто. Разумеется, тебе и прежде случалось получать от меня Ничто. Итак, нас будут интересовать элементы, то есть самое малое из того, что есть в каждом предмете².

Прежде всего обратимся к Земле. Не будем грезить о сокровищах Архимеда, разложившего Землю на мельчайшие песчинки, 10000 которых умещается в одном маковом зернышке³. Стоит изъять лишь одну-единственную песчинку из великого множества их, как собьется весь его счет мириадов песчинок. Кроме того, форму песчинок нельзя увидеть глазом, и Архимед также умалчивает о ней. Поэтому его песчинки ничего не говорят разуму и не рождают страсть к неизвестным вещам. К тому же мелкие песчинки обладают протяженностью, поскольку пыль и труха заполняют старые, насквозь прогнившие балки. Я подарил бы тебе слишком много, если бы вздумал подарить тебе такую песчинку.

Искра огня, хотя они малы и быстро гаснут, а все же меньше осколков пирита, которые удается отбить, ударив камень о камень, и не уступают по размерам частицам копоти от горящих углей, которые я также отношу к пылинкам. "Фигурные пирамиды", которые мне никогда не приходилось видеть, я оставляю Платону⁴, чтобы он мог создавать из них огонь.

Я могу подарить тебе ветер и дым, но если они и продаются, то не в исландских кожаных мехах, а на бумаге и словах, причем так происходит по всему земному шару. Таким образом, дым - вещь ценная, а мне обходится еще дороже. Для умозрительного рассмотрения он не подходит, поскольку беспорядочен и бесформен.

Обратимся, наконец, к воде. Приставшую к сосуду каплю священные псалмопевцы почитают весьма важной вещью. А наши германцы ничто не ценят меньше, чем капельку вина, которую, опорожнив кубок, стряхивают на ноготь, чтобы посмотреть, прилипнет ли она. Если бы я принес такую каплю, то подарил бы тебе меньше, чем знаменитый перс, предложивший своему царю пригоршню воды из реки Хаосп. Капля вина с ногтя германца была бы более почетным подарком, чем обкусанный обрезок ногтя отрицающего такую малость итальянца. Наконец, шаровидная форма капли наводит на геометрические размышления, однако я опасаюсь, что она недостаточно мала для тебя, столь любящего Ничто.

А что если нам перейти к животным? Я боюсь их, как афинских сов. Однако недавно я видел у тебя несколько томов о вещах удивительных и редких одного из тех авторов, которые в духе учения древнего Парменида отвергают движение на том основании, что одна его часть (а именно прошлое) не совершенна. Поскольку в этом сочинении шла речь о многих диковинных животных, то не думаю, чтобы совсем крохотные твари были обойдены молчанием. Впрочем, оставим догадки. У тебя имеются замечания Скалигера⁵ к работе Кардано⁶ "О тонких материях". В упражнении CXCIV из раздела 7 ты встретишь упоминание о крохотном существе - подкожном клеще. Но и клещ слишком велик. Ведь это существо может ползать и не лишено души. Стану ли я предлагать тебе душу, если отказываюсь дарить тебе даже неодушевленную каплю? Вряд ли ты можешь надеяться и на то, чтобы, разрезав труп бродячего животного, обнаружить в нем нечто новое, как показал анатом доктор Иессен.

Погруженный в подобного рода размышления, я перехожу мост, терзаемый стыдом за свою невежливость: ведь непрестанно играя на одной и той же струне (предлагая Ничто или находя нечто мало отличающееся от него, но не дающее пищу твоему острому разуму), я оставил тебя без новогоднего подарка! И тут мне подворачивается удобный случай: водяные пары, сгустившись от холода в снег, выпадают снежинками на мою одежду, все, как одна, шестиугольными, с пушистыми лучами⁷. Клянусь Гераклом, вот вещь, которая меньше любой капли, имеет форму, может служить долгожданным новогодним подарком любителю Ничего и достойна математика, обладающего Ничем и получающего Ничто, поскольку падает с неба и таит в себе подобие шестиугольной звезды!

Ее необходимо поскорее передать моему покровителю, пока мой крохотный подарок еще тверд и не обратился в Ничто под действием тепла, исходящего от тела.

Что за вещее слово! Что за предмет, столь любезный Вакгеру, питающему слабость к Ничему! Ведь если спросить у германца, что такое Nix (лат. - снег), то он ответит: Nihil (лат. - ничто), если только сумеет сказать на латыни.

Итак, прими сей дар, который очень походит на Ничто, и сделай серьезную мину, а если ты благоразумен, то затаи дыхание, чтобы не оказалось, что ты и впрямь получаешь Ничто. Подобно Сократу, я вынужден говорить о блошиных прыжках: о том, почему снежинки, прежде чем сбиться в крупные хлопья, падают шестиугольниками и пушистыми, как перышки с шестью лучами.

Прочь убирайся, достойный презрения за свое невежество мужлан и сводник Аристофан! Что мне за дело до Сократа и до содержания аристофановой комедии⁸? Лучше я обращу свои помыслы к царственному псалмопевцу, который, воздавая богу хвалу, упоминает о снеге, падающем, как пух⁹. Если я не ошибаюсь, то здесь речь идет о моих снежинках с пушистыми лучами. Вероятно, однажды, когда он сидел усталый или стоял, опершись на пастушеский посох, и охранял свое стадо, ему довелось увидеть, как эти маленькие звездочки падают на овечью шерсть и пристают к ней, и это запомнилось ему.

Снежные звездочки.

Но шутки в сторону - займемся делом. Поскольку всякий раз, когда начинает идти снег, первые снежинки имеют форму шестиугольной звезды, то на то должна быть определенная причина. Ибо если это случайность, то почему не бывает пятиугольных или семиугольных снежинок, почему всегда падают шестиугольные, если только они от соударений не утрачивают форму, не слипаются во множестве, а падают редко и порознь?

Когда я недавно рассуждал с кем-то на эту тему, то мы сошлись прежде всего на том, что причину следует искать не в веществе, а в действующем начале. Ведь вещество снега - это пар. Выделяясь под действием какого-то своего тепла из Земли, пар становится сплошным и как бы жидким. Следовательно, ни на какие звездочки пар не разделен.

Ты спросишь, откуда мне это известно? Ведь даже если бы пар состоял из звездочек, то этого нельзя было бы заметить, поскольку пар прозрачен. Отвечаю: пар возникает при разложении подземной влаги, о чем свидетельствует его легкость и то, что он возносится вверх. Фигуры при разложении не возникают, поскольку форму имеет лишь то, что способно само себя ограничить, ибо форму придают телу его границы. Возникающий при разложении пар по своим свойствам близок к жидкости и течет, то есть не может сам себя ограничить, не имея какой-либо определенной формы, пока не сгущается в снег или в капли.

Но коль скоро установлено, что причина свойственной снегу шестиугольной формы кроется в действующем начале, то позволительно спросить, каково это действующее начало, как оно действует, является ли форма искони присущей телу или приобретается под влиянием внешних воздействий, принимает ли материал шестиугольную форму в силу необходимости или по своей природе и что следует считать врожденным: воплощенный в шестиугольном архетип красоты или знание цели, к которой приводит эта форма? Чтобы решить эти вопросы, мы обратимся к наглядным примерам, но станем рассматривать их геометрически. Для наших вопросов такой экскурс будет чрезвычайно полезен.

Пчелиные соты.

Если спросить у математиков, в каком порядке построены пчелиные соты, то они ответят, что в шестиугольном. Ответ прост и следует из рассмотрения отверстий, или входов, и стенок, образующих соты. Любая ячейка в сотах окружена шестью другими ячейками, каждая из которых имеет с ней по одной общей стенке. Взглянув на основание ячейки, ты увидишь три плоскости, образующие тупой трехгранный угол. Основание, или, лучше сказать, донышко ячейки, соединяясь с ее боковыми сторонами, образует шесть других многогранных углов, из которых три угла, расположенные повыше, имеют по три ребра и подобны трехгранному углу, лежащему в основании ячейки, а три угла расположенные пониже, имеют по четыре ребра. Кроме того, следует иметь в виду, что соты расположены в два слоя: входы в ячейки одного слоя обращены в сторону, противоположную той, куда направлены входы в ячейки другого слоя, а их плотно закрытые донышки соприкасаются. Трехгранное донышко одной ячейки входит между трехгранными донышками трех ячеек другого слоя так, что каждая ячейка соприкасается не только боковыми стенками с шестью примыкающими к ней ячейками того же рода, но и тремя плоскостями, образующими ее донышко, с тремя ячейками из другого ряда. Таким образом, у любой пчелы оказывается по девять соседок, от каждой из которых ее отделяет общая стенка. Все три грани донышка ячейки одинаковы и имеют форму, которую геометры называют ромбом.

Правильные ромбические тела.

Вспомнив о ромбах, я приступил к геометрическим изысканиям, чтобы выяснить, какое тело, аналогичное пяти правильным и четырнадцати архимедовым телам, можно составить из одних ромбов. Я нашел два таких тела, из которых одно родственно кубу и октаэдру, а другое - додекаэдру и икосаэдру (третье тело - сам куб - родственное двум тетраэдрам, сложенным своими основаниями). Первое тело ограничено двенадцатью, второе - тридцатью ромбами. Первое тело объединяет с кубом следующее свойство. Подобно тому как восемь пространственных углов восьми кубов можно расположить вокруг общей вершины так, что они заполнят все пространство, не оставив ни малейшего зазора, то же делают и правильные ромбические тела первого типа, если вокруг одной вершины расположить по четыре пространственных угла с тремя ребрами и, аналогично, по шесть пространственных углов с четырьмя ребрами. Следовательно, все пространство можно заполнить правильными ромбическими телами так, что одна и та же точка будет служить вершиной четырех пространственных углов с тремя ребрами, а также шести пространственных углов с четырьмя ребрами. Подведем итог: если пространство заполнено равными кубами, расположенными в правильном порядке, то одного куба 32 других куба касаются отдельными вершинами и, кроме того, шести кубов касаются его четырьмя вершинами, что составляет всего 38 кубов. Если же пространство заполнено равными ромбическими телами, то одного правильного тела шесть других других касаются отдельными вершинами, из которых по четыре ребра, и, кроме того, 12 тел касаются его четырьмя вершинами. Следовательно, ромбического тела касаются всего 18 других тел.

Таким образом, эта геометрическая фигура почти правильно заполняет пространство, подобно тому как правильные шестиугольники, квадраты и равносторонние треугольники сплошь заполняют плоскость. Именно такую форму, как уже говорилось, имеют ячейки пчелиных сот, если не считать того, что эти ячейки не имеют крышек, повторяющих по форме донышки.

Если бы они достроили эти крышки, то каждая пчела оказалась бы заключенной между 12 или 18 другими пчелами, окружающими ее со всех сторон так, что из ячейки не было бы выхода. Поэтому пчелам не нужна такая крышка, однако ничто не мешает им построить на ромбических гранях крышки шести стенок, подогнав их размеры к своим крохотным тельцам, причем возводить эти стенки в различных направлениях и неодинаковыми по форме.