Лекция 21. Числовые характеристики случайных величин

Модуль 3

Лекция 21. Числовые характеристики случайных величин

 

Понятие параметров распределения

Математическое ожидание и его свойства

Дисперсия и ее свойства

Неравенства Маркова и Чебышева

Моменты

Квантиль, асимметрия, эксцесс, мода, медиана

Ковариация

Коэффициент корреляции

Программные положения

Числовые характеристики случайных величин играют важную роль для их описания. Они важны для характеристики случайных величин в том числе в математической статистике, где они используются, например, при параметрическом оценивании. Понятие квантиль необходимо при статистической проверке гипотез

Методические рекомендации

Перед чтением текста лекции повторите определения понятия случайной величины и закона ее распределения. Рассмотрите различные числовые характеристики, уделяя особое внимание математическому ожиданию и дисперсии. Разберите вывод значений этих характеристик для основных табличных законов распределения

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое параметры распределения. Дайте 2 варианта определения
2. Что такое математическое ожидание, каковы его свойства?
3. Определите математическое ожидание для дискретной и абсолютно непрерывной случайных величин
4. Что такое дисперсия, каковы ее свойства?
5. Что такое ковариация, каковы ее свойства?
6. Что такое коэффициент корреляции, каковы его свойства?
7. В чем удобство использования коэффициента корреляции по сравнению с ковариацией?
8. Сформулируйте неравенства Маркова и Чебышева
9. Определите начальный и центральный моменты k -го порядка
10. Определите квантиль, асимметрию, эксцесс, моду, медиану
11. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины X, закон распределения которой представлен в таблице

12. Вероятность того, что при трех выстрелах стрелок попадет в цель хотя бы один раз, равна 0,992. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа X попаданий при

двадцати выстрелах.

 

13. Время X безотказной работы станка имеет экспоненциальное распределение. Известно, что вероятность отказа станка за 5 ч равна 0,39347. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение времени

безотказной работы станка.

 

14. Пусть Х – время опоздания студента на лекцию, причем известно, что ЕХ=2 мин.

А) Воспользовавшись неравенством Маркова (первым неравенством Чебышева), оценить вероятность того, что студент опоздает не менее, чем на 6 минут

Б) Если, дополнительно, DX=1, оценить минимальное значение t₀, при котором вероятность опоздания студента на время, не менее t₀ не превышает заданного значения вероятности Р_{заданная}= 0,1. Воспользоваться вторым неравенством Чебышева.

 

Литература

 

К. А.Н. Кричивец, Е.В. Шикин, А.Г.Дьячков «Математика для психологов» Глава 8

А.Н.Бородин «Элементарный курс теории вероятностей» Часть 1 §12

Математическое ожидание и его свойства

Пример 21.3.

Найти математическое ожидание равномерно распределенной на [a,b] случайной величины X. Поскольку при x<a, x> b плотность p(x)=0 и ЕХ =

То есть математическое ожидание – это середина отрезка [a,b]

Свойства математического ожидания.

1. Если случайная величина Х принимает одно и то же значение при всех исходах случайного эксперимента, то есть Х º С, то её математическое ожидание равно С.

2. Если ЕХ = а, и k – константа, то Е(k Х) = kЕХ (математическое ожидание случайной величины, умноженной на число, равно математическому ожиданию случайной величины, умноженному на это число).

3. Если ЕХ = а, и k – константа, то Е(k + Х) = k + ЕХ математическое ожидание суммы случайной величины и числа равно сумме этого числа и математического ожидания случайной величины).

4. E(X+Y) =EX + EY

5. Если X и Y – независимые случайные величины, то E(X∙Y) = EX∙ EY

Пример 21.4.

 

Найти дисперсию случайной величины, заданной законом распределения

X
Р	p	q

Выше было показано, что EX = р. Легко видеть, что EX ² = р. Таким образом, получается, что D X = р – р ² = pq.

 

Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины относительно её математического ожидания. Если все значения случайной величины тесно сконцентрированы около её математического ожидания и большие отклонения от математического ожидания маловероятны, то такая случайная величина имеет малую дисперсию. Если значения случайной величины рассеяны и велика вероятность больших отклонений от математического ожидания, то такая случайная величина имеет большую дисперсию.

 

Пример 21.5.

Найти дисперсию случайной величины Х, равномерно распределенной на [a,b]

 

Свойства дисперсии.

1. Если k – число, то D (kX) = k ² D X.

2. Для попарно независимых случайных величин X₁, X₂,¼, X _n справедливо равенство

3. Если Х и Y независимы, D( X+Y) = D X + D Y.

Предлагаем в качестве упражнения рассмотреть, чему равняется D(X– Y) в тех же условиях

 

 

Определения 2.6.Неравенства Маркова и Чебышева

 

Неравенства Маркова дают оценку для значений случайной величины в тех случаях, когда наши знания о случайной величине ограничиваются ее математическим ожиданием и дисперсией, и, хотя эти оценки достаточно грубы, они требуют минимальной информации о рассматриваемой случайной величине.

 

Если возможные значения дискретной случайной величины Х неотрицательны и существует ее математическое ожидание ЕХ = а, то для любого числа с > 0 справедливо неравенство

 

Р (Х <с) >1 – а / с

 

Соответственно, выполняется и неравенство

 

Р (Х ≥ с) ≤ а / с

 

Эти неравенства называются (первым и вторым) неравенствами Маркова

Пример 21.6. Пусть X — время опоздания студента на

лекцию, причем известно, что ЕХ = 1 мин. Воспользовавшись

первым неравенством Чебышева, оценим вероятность Р{Х >5}

того, что студент опоздает не менее, чем на 5 мин.

Имеем P(X≥5) ≤EX/5

Таким образом, искомая вероятность не более 0,2, т.е. в среднем,

из каждых пяти студентов опаздывает по крайней мере на 5 мин не более чем один студент.

 

 

Если Х – случайная величина, математическое ожидание которой ЕХ = а, дисперсия DХ конечна, то для любого числа с > 0 выполняются неравенства

 

P (| X – a | ≥ c) ≤DX / c²

 

P (| X – a | < c) >1 – DX / c²

 

Данные неравенства называются (первым и вторым) неравенствами Чебышева

Замечание 21.9. Иногда и неравенства Маркова и неравенства Чебышева называются первым и вторым неравенствами Чебышева.

 

 

Пример 21.7. Пусть в условиях предыдущего примера известно дополнительно, что а = y/DX = 1. Оценим минимальное значение х_о, при котором вероятность опоздания студента на время не менее х_о не превышает заданного значения Р₃ = 0,1.

Для решения поставленной задачи воспользуемся неравенством Чебышева. Тогда

Р₃ ≤ Р{Х ≥х₀} = Р{Х - ЕX ≥ х_о - ЕX} ≤ Р{|Х – EХ| >х₀- EX}≤

Значит,

и

 

 

И, подставляя конкретные значения, имеем

Таким образом, вероятность опоздания студента на время более 4,16 мин не более 0,1.

Сравнивая полученный результат с результатом предыдущего примера можно заметить, что дополнительная информация о дисперсии времени опоздания позволяет дать более точную оценку искомой вероятности.

 

Замечание 21.10. Элементарным следствием из неравенства Чебышева является Закон больших чисел (в форме Чебышева):

 

Определение 21.8. ( Начальным ) Моментом порядка k случайной величины Х называется число m_k = Е(Х^k)

 

Определение 21.9. ( Центральным) моментом порядка k случайной величины Х называется число μ_k = Е(Х–ЕХ)^k

 

Замечание 21.11. Нетрудно видеть, что математическое ожидание – начальный момент первого порядка, а дисперсия – центральный момент второго порядка.

Замечание 21.12. Если плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины симметрична относительно прямой x = EX, то все ее центральные моменты нечетного порядка равны нулю.

В тех случаях, когда какие-нибудь причины благоприятствуют более частому

появлению значений, которые выше или, наоборот, ниже среднего, образуются асимметричные распределения.

Определение 21.10. Асимметрией А случайной величины Х называют отношение третьего центрального момента к кубу среднеквадратичного отклонения. А=μ₃ / σ³

 

(по Е.В.Сидоренко)

 

 

Асимметрия - величина, характеризующая степень асимметрии распределения относительно математического ожидания.:
Если коэффициент асимметрии отрицателен, то либо большая часть значений случайной величины, либо мода находятся левее математического ожидания, и наоборот, если больше нуля, то правее.

В тех случаях, когда какие-нибудь причины благоприятствуют более частому

появлению значений, которые выше или, наоборот, ниже среднего, образуются асимметричные распределения. При левосторонней, или положительной, асимметрии в распределении чаще встречаются более низкие значения признака, а при правосторонней,

или отрицательной - более высокие

 

Очевидно, что для случайной величины, распределенной симметрично относительно математического ожидания, асимметрия равна нулю.

 

В тех случаях, когда какие-либо причины способствуют преимущественному

появлению средних или близких к средним значений, образуется распределение с положительным эксцессом. Если же в распределении преобладают крайние значения, причем одновременно и более низкие, и более высокие, то такое распределение характеризуется отрицательным эксцессом и в центре распределения может образоваться впадина, превращающая его в двувершинное (см следующий рисунок эксцесса).

 

Определение 21.11. Эксцессом γ случайной величины Х называют отношение

g = (μ₄ / σ⁴ ) –3

Эксцесс: а) положительный; 6) отрицательный. В распределениях с нормальной выпуклостьюγ =0.

Нормальное распределение наиболее часто используется в теории вероятностей и в математической статистике, поэтому график плотности вероятностей нормального распределения стал своего рода эталоном, с которым сравнивают другие распределения. Одним из параметров, определяющих отличие распределения случайной величины Х от нормального распределения, как раз и является эксцесс. Для нормального распределения γ=0, если γ >0, то это значит, что график плотности «заострен» сильнее, чем у нормального, а если γ<0, то, соответственно, меньше.

 

Определение 21.12. Квантилью (квантилем)уровня α или α-квантилью (0<α<1) называют число Q_α, удовлетворяющее неравенствам Р{X < Q_α }≤α и P{X> Q_α } ≤ 1 – α

½ -квантиль называют также Медианой М случайной величины Х.

Для непрерывной случайной величины Х α-квантиль Q_α – это такое число, меньше которого Х принимает значение с вероятностью α.

Если известна плотность распределения ρ(х) случайной величины Х, то, учитывая связь между функцией распределения и плотностью, уравнение для определения квантили можно записать как

Иначе говоря, квантиль Q_α – решение уравнения F(Q_α)=α,

 

Пример 21.8.

Найдем α-квантиль и медиану экспоненциального распределения

(Непрерывная случайная величина Х имеет показательное распределение с параметром l > 0, если она принимает только неотрицательные значения, а ее плотность распределенияимеет вид: r(х) = lе^-lх, x≥0 и 0, если х <0

, поэтому , а медиана равна

 

Определение 21.13. Модой непрерывной случайной величины называют точку максимума (локального) плотности распределения р(х). Различают унимодальные (имеющие одну моду), бимодальные (имеющие две моды) и мулътимодальные (имеющие несколько мод) распределения.

Для определения моды дискретной случайной величины предположим сначала, что ее значения x₁, … x_n расположены в порядке возрастания.

 

Модой дискретной случайной величины называют такое значение х _i, при котором для вероятностей выполняются неравенства

p_i-1 < p_i и p_i+1 < р_i

 

В случае дискретных случайных величин распределения также могут быть унимодальными, бимодальными и мультимодальными.

 

Определение 21.14 .Наивероятнейшим значением называют моду, при которой достигается глобальный максимум вероятности (дискретной случайной величины) или плотности распределения (непрерывной случайной величины).

Если распределение унимодальное, то мода также будет наивероятнейшим значением.

 

 

Модуль 3

Лекция 21. Числовые характеристики случайных величин