Быстрота . Обратите внимание, что такая равномерно вращающаяся фаза всегда существует и может быть получена

от любой неравномерно вращающейся 2 π - пери одической угловой переменной θ нациклечерез

Трансформация

φ = ω 0 ∫ θ

0 [ d θ

dt ]

− 1

d θ.

(7,4)

Системные переменные x на цикле являются 2 π - периодическимифункциямифазы.

Из уравнения. (7.3) следует очень важному свойству фазы: она нейтральна.

Стабильная переменная. Действительно, возмущение фазы остается постоянным: оно не растет.

Ни распадается со временем. С точки зрения устойчивости траектории это означает, что устойчивый предельный цикл

Имеет один нулевой показатель Ляпунова, соответствующий возмущениям вдоль цикла (

Остальные показатели соответствуют поперечным возмущениям и отрицательны). Это отражает

свойство автономных динамических систем быть инвариантным относительно временных сдвигов: если x (t)

- решение, зависящее от времени, то та же функция времени со смещенным аргументом

x (t + t) тоже решение. В предельном цикле временной сдвиг t эквивалентен

фазовый сдвиг φ = ω 0 t. На математическом языке можно сказать, что фаза устойчива.

Но не асимптотически устойчивый.

7.1.2

Малые возмущения и изохроны

Теперь рассмотрим влияние небольшой внешней периодической силы на самоподдерживающийся

Колебания. Опишем вынужденную систему уравнениями

D x

dt = f (x) + ε p (x, t),

(7,5)

Это следует противопоставить периодическим движениям в консервативных интегрируемых системах, которые

Как правило, ни изолирован, ни привлекателен. Некоторые соотношения частот в таких системах

можно наблюдать (например, между периодами планет в солнечной системе), но мы не

Рассматривайте эти отношения как синхронизацию, а скорее как резонансы.

Стр. Решебника 200

178

Синхронизация периодических осцилляторов периодическим внешним воздействием.

где сила ε p (x, t) = ε p (x, t + T) имеет период T, который в общем случае отличается

от Т 0. Сила пропорциональна малому параметру ε, инижемырассматриваемтолько

эффекты первого порядка по ε.

Внешняя сила уводит траекторию от предельного цикла, но поскольку она

Небольшой и цикл стабильный, траектория лишь незначительно отклоняется от исходной

X 0 (t), т. е. находится в непосредственной близости от устойчивого предельного цикла. 3 Таким образом, возмущения

Направления, поперечные циклу, невелики. 4 Напротив, фазовое возмущение

Может быть большим: сила может легко перемещать фазовую точку по циклу. Это качественное

Картинка предлагает описание возмущенной динамики только с фазовой переменной,

Разрешение возмущений, поперечных к предельному циклу, с помощью возмущения

Техника. Для этого нам нужно ввести фазу автономной системы

(Уравнение (7.1)) не только на предельном цикле, как мы делали выше, но и в его близком к

окрестности. Естественное и удобное определение было предложено Винфри [Winfree, 1980].

и Guckenheimer [1975], см. также [Kuramoto 1984].

Ключевая идея состоит в том, чтобы определить фазовую переменную таким образом, чтобы она вращалась равномерно.

Согласно формуле. (7.3) не только на цикле, но и в его окрестности. К

для этого нам нужно определить так называемые изохроны [Winfree 1967; Гук-

enheimer 1975]. Построение этих кривых в окрестности предельного цикла

проиллюстрирован на рис. 7.2. Наблюдаем динамическую систему (7.1) стробоскопически:

При этом временной интервал точно соответствует периоду предельного цикла T 0. Таким образом, мы получаем из

(7.1) отображение

х (t) → х (t + T 0) ≡ (х).

Это отображение имеет все точки на предельном цикле как неподвижные точки, а все точки в

к нему привлекаются окрестности цикла. Выберем точку x ∗ на цикле и

рассмотрим все точки в окрестности, которые притягиваются к x ∗ под действием.

Они образуют (M - 1) -мерную гиперповерхность I, называемую изохроной, пересекающую

предельный цикл в точке x ∗. Изохронную гиперповерхность можно провести через каждую точку на

цикл. Таким образом, мы можем параметризовать гиперповерхности в соответствии с фазой как I (φ)

(Рис. 7.2). Распространим теперь определение фазы на окрестность предельного цикла:

требуя, чтобы фаза была постоянной на каждой изохроне I (φ). Такимобразоммыопределяем

Фаза в окрестности предельного цикла, по крайней мере в той окрестности, где

Изохроны существуют.

Понятно, почему гиперповерхности I (φ) называютсяизохронами: потокд инамического

Система (7.1) переводит эти гиперповерхности друг в друга. Из этой конструкции

Сразу следует, что фаза подчиняется уравнению. (7.3), поскольку изохроны вращаются с