Методы анализа: вариационный, дискриминантный, дисперсионный

Вариационный анализ

Вариация представляет собой изменение признака в статистической совокупности, т. е. принятие единицами такой совокупности разных значений.

Причины вариации чрезвычайно многообразны, обусловлены всеобщей взаимосвязанностью явлений в природе и обществе. Вариация предопределяет необходимость использования статистики и ее методов.

При качественной характеристике явлений статистические признаки могут принимать одно из двух взаимоисключающих значений. В таких случаях говорят об альтернативной вариации.

Если вариация принимает какую-то тенденцию, но изменение не обусловлено внутренне присущими явлению механизмами, то говорят о систематической вариации. В противном случае — о случайной.

Примером систематической вариации можно рассматривать колебание производительности труда под влиянием профессионализма рабочих. Случайной — необъяснимые колебания цен по продавцам на одном и том же рынке.

Варьирующие признаки (например, уровень профессионализма рабочих) подразделяются на прерывные и непрерывные.

Прерывные (или дискретные) представляют собой признаки, которые могут иметь только определенные значения, между которыми не может быть промежуточных.

Количественные значения непрерывного признака могут отличатся на сколь угодно малую величину.

Различают следующие виды вариационных рядов (или рядов распределения признака): ранжированный, дискретный, интервальный.

Ранжированныйряд — это такой ряд распределения единиц статистической совокупности, в котором члены ряда (варианты признака) размещены в порядке возрастания или убывания. Любой ранжированный ряд состоит из ранговых номеров и соответствующих им значений признака (вариант).

Дискретныйряд распределения формируется c учетом частоты (повторяемости) признака в совокупности. Пример такого ряда приведен на рис. 6.

Интервальныйряд — такой вариационный ряд, варианты которого представлены в виде интервалов. Пример интервального ряда приведен на рис. 7.

Рис. 6. Распределение рабочих предприятия по уровню квалификации.

Рис. 7. Распределение рабочих предприятия по возрасту.

Дискриминантный анализ

Дискриминантный анализ является статистическим методом, который позволяет изучать различия между двумя и более группами объектов по нескольким переменным одновременно, другими словами, этот метод анализа относится к многофакторным.

Независимые переменные при этом виде анализа могут измеряться количественно (возраст, доход, продолжительность обучения и т. п.). Зависимая переменная измеряется на качественном уровне (или номинальном) уровне. Так, в анализе для целей маркетинга потребителю конкретного продукта (зависимая переменная) может присваиваться код “1”, а другому, который не потребляет этот продукт, — “2”.

Порядок проведения множественного дискриминационного анализа:

– построение модели, позволяющей классифицировать объекты (индивидуумов) по группам на основании независимых переменных;

– определение статистической значимости различий между группами (например, посетителей разных ресторанов);

– проверка соответствия дискриминантного множества расчетному, полученному по независимым переменным.

Общая модель дискриминантного анализа, называемая также дискриминантной функцией, имеет вид

Z = b ₁ x ₁ + b ₂ x ₂ +... + b_nx_n, (1)

где Z — дискриминантное множество (база для отнесения объектов к определенной группе);

b ₁,... b_n — коэффициенты (веса) дискриминантной функции; x ₁,... x_n — независимые переменные.

Дискриминантные коэффициенты определяют структуру вариации переменных в уравнении. Независимые переменные, существенно влияющие на различия в группах, имеют большие веса, а оказывающие незначительное влияние — малые веса. В процессе анализа отбирают те переменные, которые в большей мере определяют вероятность отнесения какого-либо объекта к конкретной группе (для каждой группы формируется свое дискриминантное множество).

В процессе моделирования используют так называемую-статистику Уилкса. С ее помощью определяется вероятность ошибочного отнесения объектов к группам.

Дисперсионный анализ

Под дисперсионным анализом понимают изучение качества влияния факторов (причин) по дисперсиям результативных признаков (следствий). В его основе лежит предположение о том, что статистическая совокупность — представительна, однородна, а результативный признак в совокупности распределен по нормальному закону. Однофакторный дисперсионный комплекс опирается на данные простой аналитической группировки, двухфакторный — на материалы сложной (двухфакторной) группировки, трехфакторный — комбинированной. Метод успешно применяется для объективной оценки взаимосвязи количественных признаков, а также влияния качественных факторов на количественные результативные.

Метод основан на разложении вариации результативных признаков по источникам (причинам) ее формирования. Поскольку основная мера вариации содержит квадрат отклонений (дисперсию), то задача дисперсионного анализа сводится к тому, чтобы найти значения вариаций, вызванных различными факторными признаками, и, в частности, обусловленных как систематически действующим фактором, так и случайными — шумовыми. Другими словами, цель однофакторного дисперсионного анализа заключается в подтверждении значимости (существенности) влияния какого-либо одного независимого фактора на результирующий.

Применение метода можно условно подразделить на несколько этапов.

Первый этап заключается в разложении (общей) вариации результативного признака по независимым факторам (источникам вариации). В связи с этим различают общую, систематическую и случайную вариации. Общая вариация результативного признака формируется под воздействием всей совокупности факторных признаков, учтенных наблюдениями, а также неучтенных.

Второй этап сводится к “исправлению” дисперсий, т. е. к расчету исправленных значений общей, систематической (факторной) и случайной (остаточной) дисперсий. При этом учитываются степени свободы вариации. Под степенью свободы вариации признака принято считать число свободно (независимо) варьирующих единиц статистической совокупности. Этозначит, что если для ряда из n наблюдений вычислена средняя, то этот ряд имеет n – 1 степеней свободы вариации, так как любое значение признака (фактора) может быть точно вычислено по среднему значению и остальным (n – 1) вариантам. Известно, что вариация рассматриваемого признака в генеральной совокупности в среднем в раз больше, чем в выборочной.

Дисперсионный метод состоит в оценке отношения исправленной дисперсии, характеризующей систематические колебания групповых средних значений изучаемого результативного признака, к исправленной дисперсии, которая характеризует возможную случайную вариацию признака-результата. Для этого применяются критерий Р. Фишера. Один из них именуется фактическим, другой — стандартным (табличным).

Значение фактического критерия Р. Фишера определяется по формуле

 (2)

 где F_факт — значение фактического критерия Фишера (F-критерия);

 — исправленная систематическая (факторная) дисперсия;

— исправленная случайная (остаточная) дисперсия.

Значение стандартного (табличного) критерия (F_табл) принимают по таблицам Р. Фишера, в зависимости от принятого уровня значимости расчетов (0,05 или 0,01) и числа степеней свободы вариации, которые характеризуют систематическую (факторную, большую) и случайную дисперсии. По сути F_табл является критической точкой в соотношении систематической и случайной дисперсий. Его значения принимаются по прил. 1. Конечной стадией дисперсионного анализа является сопоставление фактического и стандартного (табличного) критериев Р. Фишера. Если F_факт> F_табл, то с заданной степенью вероятности можно утверждать, что факторный признак существенно (надежно) влияет на признак-результат.

Правомерно объединение вариационного и дисперсионного анализов в единый — вариационно-дисперсионный, аналогично корреляционно-регрессионному.