Золотое сечение – гармоническая пропорция

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений:

a: b = c: d.

Отрезок прямой AB можно разделить на две части следующими способами:

• на две равные части – AB: AC = AB: BC;
• на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
• таким образом, когда AB: AC = AC: BC.

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему:

a: b = b: c
или
c: b = b: a.

Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Рис. 2. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC

Из точки B восставляется перпендикуляр, равный половине AB. Полученная точка C соединяется линией с точкой A. На полученной линии откладывается отрезок BC, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую AB. Полученная при этом точка E делит отрезок AB в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если AB принять за единицу, BE = 0,382... Для практических целей часто используют приближённые значения 0,62 и 0,38. Если отрезок AB принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Свойства золотого сечения описываются уравнением:

x ² – x – 1 = 0.

Решение этого уравнения:

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.

Второе золотое сечение

Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и даёт другое отношение 44: 56.

Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлинённого горизонтального формата.

Рис. 3. Построение второго золотого сечения

Деление осуществляется следующим образом. Отрезок AB делится в пропорции золотого сечения. Из точки C восставляется перпендикуляр CD. Радиусом AB находится точка D, которая соединяется линией с точкой A. Прямой угол ACD делится пополам. Из точки C проводится линия до пересечения с линией AD. Точка E делит отрезок AD в отношении 56: 44.

Рис. 4. Деление прямоугольника линией второго золотого сечения

На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.

Золотой треугольник

Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой.

 

Рис. 5. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы

 

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471...1528). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и E – середина отрезка OA. Перпендикуляр к радиусу OA, восставленный в точке O, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит её в пропорции золотого сечения.

 

Рис. 6. Построение золотого треугольника

Проводим прямую AB. От точки A откладываем на ней три раза отрезок O произвольной величины, через полученную точку P проводим перпендикуляр к линии AB, на перпендикуляре вправо и влево от точки P откладываем отрезки O. Полученные точки d и d ₁ соединяем прямыми с точкой A. Отрезок dd ₁ откладываем на линию Ad ₁, получая точку C. Она разделила линию Ad ₁ в пропорции золотого сечения. Линиями Ad ₁ и dd ₁ пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

История золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом делении ввёл в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор своё знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашёл, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображённый на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

 

Рис. 7. Динамические прямоугольники

Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящён математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

 

 

Рис. 8. Античный циркуль золотого сечения

 

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» даётся геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвящённым.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди учёных и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и учёный, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г. по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и её «божественную суть» как выражение Божественного Триединства – Бог Отец, Бог Сын и Бог Дух Святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение Бога Сына, больший отрезок – Бога Отца, а весь отрезок – Бога Духа Святого).

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».

Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведённой через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

Великий астроном XVI в. Иоганн Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причём та же пропорция сохраняется до бесконечности».

Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).

Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m, рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов

Рис. 9. Построение шкалы отрезков золотой пропорции

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребёнка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив её универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».

 

 

Рис. 10. Золотые пропорции в частях тела человека

Рис. 11. Золотые пропорции в фигуре человека

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришёл к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13: 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8: 5 = 1,6. У новорождённого пропорция составляет отношение 1: 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи.

В конце XIX – начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.

Ряд Фибоначчи

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г. вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счётной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

 

Месяцы	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	и т.д.
Пары кроликов	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	и т.д.

 

 

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый её член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих:

 

2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д.,

 

а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение – 0,618: 0,382 – даёт непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...

Принципы формообразования в природе

Всё, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

Раковина закручена по спирали. Если её развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

Рис. 12. Спираль Архимеда

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал её и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение её шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Ещё Гёте подчёркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филлотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетёт паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гёте называл спираль «кривой жизни».

Среди придорожных трав растёт ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

Рис. 13. Цикорий

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок ещё меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвёртый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определённые пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

Рис. 14. Ящерица живородящая

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина её хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.

Рис. 15. Яйцо птицы

Великий Гёте, поэт, естествоиспытатель и художник (он рисовал и писал акварелью), мечтал о создании единого учения о форме, образовании и преобразовании органических тел. Это он ввёл в научный обиход термин морфология.

Пьер Кюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды.

Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.

Золотое сечение и симметрия

Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863...1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии.

Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии. Согласно современным представлениям золотое деление – это асимметричная симметрия. В науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая – движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она – свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.

 

НЕ ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Существует убеждение, что определённые соотношения обладают рядом очень интересных свойств, применимых в разных сферах жизни. Так называемому «Золотому сечению», пропорции 1,618 часто приписывают чудодейственные свойства, и именуют гармоничной пропорцией или золотой пропорцией.

Золотое это соотношение двух неравных величин, при котором большая величина относится к меньшей, так же, как сумма величин к большей. Это соотношение обозначается прописной греческой буквой Ф (фи) и равняется 1,618. Для практических целей ограничиваются приблизительным значением Ф = 1,618 или Ф = 1,62.

Как исследователя-любителя, меня очень заинтриговала эта тема, и было принято решение провести поиск данной пропорции в проявлениях природы. Несмотря на то, что утверждается повсеместная распространённость «золотого сечения» в природе, мне так и не удалось найти этому подтверждение. Но обнаружилась другая пропорция, а точнее группа пропорций, которые встречались чаще, чем остальные. Эти часто наблюдаемые пропорции были разные: 1,37; 2,37; 1,73; 2,73. Но их объединяет значение после запятой, которое равно 37 или 73. Далее станет ясно, что эти соотношения описывают одно и то же неравенство.

 

 

Очень часто золотое сечение демонстрируют на спиральных ракушках, и у меня, очень кстати, под рукой оказалась окаменелая ракушка аммониты. Как видно из иллюстрации, пропорции здесь 1,73; 1,37 и 2,37. Эти соотношения можно часто обнаружить в растениях если взять во внимание углы, под которыми расходятся ветви.

 

На примере еловой ветки и кипариса видно, что пропорции 1,73 и 1,37 хорошо прослеживаются в углах. Возможно, это происходит по тому, что молекула воды имеет угол 104 градуса в строении своей молекулы, что является фундаментальной предпосылкой к формированию разветвлений с такими же углами. Если разделить развёрнутый угол 180 градусов на 104, получится 1,73.

 

Есть примеры наблюдения данных соотношений в размерах разных частей тела насекомых.

 

Иллюстрация с бабочкой часто используется в литературе описывающей золотое сечение (1,618). Но опять же при самостоятельном замере электронной линейкой, получаем пропорции 1,73 и 1,37.

 

Предположение о том, что структура молекулы воды может являться фундаментальным определяющим фактором структуры растений, даёт повод найти другие подобные фундаментальные факторы, влияющие на другие величины (размеры, массы), соотносящиеся через пропорции 1, 37 и 1,73. И такие факторы нашлись, причём на микроуровне, на уровне атомов. Дело в том, что атомы плотно соприкасаясь друг с другом неизбежно образуют пустоты между собой определённого размера, которые и формируют величины соотносящиеся с размерами атомов через пропорции 1,37; 2,37; 4,37; 6,37.

 

 

 

Так видно, что в квадрате, в пустом пространстве между сфер может поместиться только сфера которая в диаметре в 2,37 раза меньше диаметра больших сфер. В кубе, в пространстве между сфер может поместиться только сфера, которая в диаметре меньше в 1,37 раза сфер образующих куб.

 

Если рассмотреть сферы пересекающимися, то увидим, что тут тоже повсеместно наблюдаются ожидаемые пропорции.

 

Vesica piscis— фигура, образованная пересечением двух кругов с одинаковым радиусом, наложенных так, что центр одного лежит на окружности другого. Достаточно широко эта фигура используется в иконописи и мистицизме. Математическое соотношение высоты и ширины фигуры равно корню из 3 или 1,7320508… Так же построения разных сочетаний сфер даёт нам возможность получить более точное значение пропорции 1,37 или 1,366.

 

 

Вот ещё интересное наблюдение. Температура теля здорового человека 36,6 градусов, а температурный диапазон воды в жидком состоянии 100 градусов. Температура со значением 36,6 градусов разбивает этот диапазон на 2 интервала 36,6 и 63,4 (100-36,6). 63,4/36,6 = 1,73. Вот так природа определила наилучшее температурное положение для нашей жизни. И любое отклонение от этой температуры ведёт к болезни!

 

 

Гармония это согласование разнородных элементов. В эстетике и художественном творчестве — «категория, означающая целостность, согласованность, закономерную связанность всех частей и элементов формы». Учитывая то, что пропорции 1,37 и 1,73 соответствуют понятию гармонии и наблюдаются в природе часто, и в большей степени описывают ключевые соотношения на фундаментальном уровне, эти пропорции вправе претендовать на звание золотого сечения или гармоничной пропорции. Но учитывая то, что звание «золотое сечение» принадлежит пропорции 1,618 (Ф), чтобы внести ясность в дальнейшее обсуждение соотношений 1,37 и 1,73, предлагаю дать ему название «Не золотое сечение».

 

 

По поводу практического применения «не золотого сечения» есть некоторые идеи и на данный момент поставлено несколько любительских экспериментов, результаты которых говорят о том, что пользуясь этими соотношениями можно увеличить эффективность разных процессов. Позже я вынесу проведённые эксперименты на обсуждение. Уверен, что в будущем учёт пропорции 1,37 и 1,73 станут необходимостью в оптимизации разных процессов.

МАТЕМАГИЯ ЦВЕТКА C ЗОЛОТОЙ СЕРЕДИНОЙ

Бог действует как величайший геометр, предпочитающий наилучшее решение задач. (Готфрид Лейбниц)

...Мы – подмастерья в команде Матемагов, создающих генетические матрицы растений Земли под руководством планетарного Демиурга. Для начала поручение нам дали несложное – сделать шаблон для лекарственного цветка, который был бы неприхотлив и легко распространялся в разных широтах планеты. Подмастерья из команды Алхимиков уже создали формулу эссенции для цветка, а нам предстояло разработать его геометрическую матрицу.

И мы взялись за работу. Эх, привыкли руки к циркулю!..

Чтобы стать доступным лекарством, цветок должен расселиться по планете как можно шире, поэтому семенам следует быть маленькими, легко разносимыми птицами, насекомыми, червями, водой и даже ветром. Генетического материала нужно много, поэтому мы задумались, как разместить семена на плоскости цветоложа наиболее компактно?

Из наших прошлых заданий в неорганическом мире мы помнили, что наиболее плотно-упакованные структуры создают квадрат и шестиугольник. Формируя пчелиный био-алгоритм для постройки сотов, наши старшие братья Матемаги взяли за основу шестиугольник, поскольку экономнее него формы в Природе нет.

Но вот незадача: соты статичны, а цветок – живой, он растет. Соты можно начинать из любого места, а цветок разворачивается из бутона центробежно, увеличиваясь в размере. Как сохранить одну и ту же пропорцию между старыми и новыми соцветиями и при этом разместить их как можно ближе друг к другу? Шестигранники тут не подойдут.

Решением может быть спираль с постоянным углом поворота. Но каким должен быть этот угол? Цветок не сможет «думать» и менять его в зависимости от ситуации: что мы заложим в генетическую матрицу, то и будет материализовать растение.

Поэкспериментировав на Матемагическом Симуляторе, мы поняли, что, выбрав любое целое число поворотов спирали - 1,2,3,4,5 и так далее, мы получим лишь прямую линию. Ведь, сделав полный круг, мы всегда возвращаемся на то же самое место, не так ли? Мы попытались улучшить результат, используя дробные числа - 1/4 оборота, 1/3 оборота, 9/10 - и увидели, что это улучшает компактность, но лишь незначительно:

Мы поняли, что нам следует искать число, которое невозможно было выразить дробью из целых чисел – иррациональное число. Забравшись в Архив, мы выбрали несколько Священных Констант – иррациональных чисел, которые были в большом почете у Матемагов:

- число π, приблизительно равное 3,14 и имеющее особую связь с окружностями и циклами. Любой периодический процесс во Вселенной - дыхание, биение сердца, порывы ветра, волны в океане, движение планет вокруг солнца, электронов внутри атома – управляется числом π;

- √2, квадратный корень из двух, приблизительно равный 1,41 и выражаемый геометрически как диагональ квадрата со стороной 1. Он тесно связан с неорганической жизнью и обеспечивает наиболее плотно-упакованные структуры в молекулярных решетках, сохраняющие энергию благодаря принципу наименьшего действия;

- число е, приблизительно равное 2,72 и часто присутствующее в функциях роста;

- число φ (фи), приблизительно равное 1,618 и называемое Золотой Пропорцией или Золотым Сечением. Оно встречается в соотношениях частей тела живых организмов и их ДНК, звезд, планет и их орбит, элементарных частиц – иначе говоря, во всем, что движется и самоорганизуется.

Итак, мы задали углы поворота спирали, соответствующие Священным Числам Матемагов, на Симуляторе, и вот что у нас получилось:

Совершенно очевидно, что Золотая Пропорция дает наиболее компактное расположение соцветий. Ближе всего к ней оказася результат √2, но он все же оставляет больше зазоров. Если хотите повторить опыт подмастерьев Матемагов, можете воспроизвести эти результаты на обычном компьютерном симуляторе.

Число φ, Золотая Пропорция - победитель в соревновании, поэтому наши соцветия и семена будут располагаться по спирали, разворачивающейся под «Золотым» углом - 137,5 ^о.

Углы 137,5 ^о и 222,5 ^о соотносятся в пропорции Золотого Сечения 1: 1,618. То, что угол 137,5 ^о создает наиболее плотную упаковку семян в круглом цветоложе, было доказано и земными математиками (Ridley, 1982). Оптимальность Золотой Пропорции в плотной упаковке справедливо не только для плоскостей, но и для объемов – сфер, полусфер, форму которых можно часто встретить в цветах.

Мы поняли, за что Золотую Пропорцию так любят Матемаги, и почему в Архиве Шаблонов столь много матриц растений, использующих «Золотой» угол:

Просматривая в Архивах эти уже созданные Шаблоны, мы обнаружили занятную вещь. Оказалось, что Шаблоны неизменно состояли из правосторонних и левосторонних спиралей, количество которых всегда следовало определенному соотношению. Например, в этом желтом цветке на иллюстрации ниже голубых спиралей, закручивающихся влево, - 13, а синих, закручивающихся вправо – 21:

В других Шаблонах соотношения были 5/8, 21/34, 8/13, 13/21 и так далее, что привело нас к (явно неслучайному) ряду чисел:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...........

В этом ряду каждое последующее число было суммой двух предыдущих: например, 13+21=34.

Мы были заинтригованы и обратились с вопросом к старшим Матемагам: отчего мы всегда встречаем эти загадочные числа в Шаблонах, созданных с Золотым углом? Те объяснили, что обнаруженный нами ряд – земное приближение к иррациональной Золотой Пропорции при помощи целых чисел. Соотношение каждых двух соседних чисел в этом ряду приближается к φ =1,618. Чем больше числа, тем ближе их соотношение к φ. На Земле теперь тоже знают об этом ряде и называют «числами Фибоначчи» по имени одного земного ученого, обнаружившего такую закономерность в живых созданиях.

Но почему Шаблоны часто используют именно числа Фибоначчи, а не саму Золотую Пропорцию, спросили мы. Дело в том, сказали Мастера, что спираль Золотого Сечения – непрерывность, она выходит из бесконечности и устремляется в бесконечность, а земная природа состоит из конечных объектов. Цветок не может расти с 1,618 соцветия. Он начинает от единицы, первого целого числа. Поэтому в самом начале последовательность Фибоначчи довольно сильно отступает от спирали Золотого Сечения, - как отставший воин, пытающийся попасть в ногу со своим отрядом, - но после двух-трех неловких шагов встраивается в ритм и идет почти в ногу, а потом и вовсе слаженно с остальными.

Мы поняли, что везде, где мы найдем числа Фибоначчи, будет незримо присутствовать Шаблон Матемагов - Золотое Сечение.

Мы решили, что последовательность Фибоначчи будет вполне приемлемой и для листьев нашего цветка, чтобы они располагались по спирали вокруг стебля равномерно, а солнечный свет с влагой доставались им поровну.

Мы открывали все новые свойства Золотой Пропорции в созданном нами опытном образце. Оказалось, что она позволяет масштабировать растущие структуры, создавая самоподобный фрактал. Есть только одно число, которое дает один и тот же результат при прибавлении себя и при умножении на себя, и это число φ - Золотая Пропорция. Она позволяет живым объектам и расти (увеличиваться в размере), и прирастать (добавлять новые части) с сохранением неизменной пропорции:

При размещении соцветий по спиралям Золотого Сечения соотношение между старыми и новыми фазами роста, обозначенными цифрами 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, остается неизменным и приблизительно равным той же Золотой Пропорции 1,618. Иллюстрация из книги: Gyorgy Doczi, The Power of Limits, 1981

Так мы написали алгоритм роста цветоложа в генетической матрице нашего цветка:

Когда мы завершили работу с шаблоном цветоложа, форма самих соцветий пришла естественным образом – конечно, пятиугольник! Потому что в Природе нет другого правильного многоугольника, столь совершенно объемлющего Золотую Пропорцию:

Пролистывая Архивы, мы обнаружили, что более половины видов растений на планете Земля были созданы с использованием пятиугольной симметрии. А уж геометрия съедобных растений и подавно основана на Золотой Пропорции – цветы фруктовых и плодовых р