Когерентность и монохроматичность световых волн и источников.

ЛЕКЦИЯ 3.

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ

Когерентность и монохроматичность световых волн и источников. Теория интерференции света. Методы наблюдения интерференции света. Метод Юнга. Зеркало Френеля. Бипризма Френеля.

Теория интерференции света

Предположим, что две монохроматические световые волны, накладываясь друг на друга, возбуждают в определенной точке пространства колебания одинакового направления: х₁= A₁cos(w t - j ₁) и х₂ = A₂cos(w t - j ₂). Под x понимают напряженность электрического Е или магнитного H полей волны; векторы Е и Н колеблются во взаимно перпендикулярных плоскостях. Напряженности электрического и магнитного полей подчиняются принципу суперпозиции. Амплитуда результирующего колебания в данной точке может быть определена из обычного правила сложения однонаправленных колебаний одинаковой частоты:

Так как волны когерентны, то cos(j ₂ - j ₁) имеет постоянное во времени (но свое для каждой точки пространства) значение, поэтому интенсивность результирующей волны (а интенсивность I имеет смысл энергии колебаний и, как для всякого колебания

I~A²)

       .                                                               

В точках пространства, где cos(j ₂ - j ₁) > 0, интенсивность I>I₁ +I₂, а там, где cos(j ₂ - j ₁) < 0, интенсивность I < I₁ + I₂. Следовательно, при наложении двух (или нескольких) когерентных световых волн происходит пространственное перераспределение светового потока, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других - минимумы интенсивности. Это явление называется интерференцией света.

Для некогерентных волн разность (j ₂ - j ₁) непрерывно изменяется, поэтому среднее во времени значение cos(j ₂ - j ₁) равно нулю, и интенсивность результирующей волны всюду одинакова и при I₁=I₂ равна 2I (для когерентных волн при данном условии в максимумах I=4I₁, зато в минимумах I=0).

Как можно создать условия, необходимые для возникновения интерференции световых волн? Для получения когерентных световых волн применяют метод разделения волны, излучаемой одним источником, на две части, которые после прохождения разных оптических путей накладываются друг на друга, и наблюдается интерференционная картина.

Пусть разделение на две когерентные волны происходит в определенной точке О (рис.3.1). До точки М, в которой наблюдается интерференционная картина, одна волна в среде с показателем преломления n₁ прошла путь s₁, вторая - в среде с показателем преломления n₂ – путь s₂.

           

 

 

Рис.3.1. Формирование когерентных волн.

Если в точке О фаза колебаний равна w t, то в точке М первая волна возбудит колебание A₁cos w ( t - s₁/v₁) вторая волна - колебание A₂cos w ( t – s₂/v₂), где , - соответственно фазовая скорость первой и второй волны. Разность фаз колебаний, возбуждаемых волнами в точке М, равна

       .                 (3.1)

В выражении 31.1 учли, что  где l _о - длина волны в вакууме: при переходе из одной среды в другую частота колебаний сохраняется как для вынужденных колебаний, а длина волны изменяется в “n” раз. Произведение геометрической длины s пути световой волны в данной среде на показатель n преломления этой среды называется оптической длиной пути L (вспомните принцип Ферма!), a D = L₂ – L₁ - разность оптических длин проходимых волнами путей — называется оптической разностью хода.

Если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме

D = ± m l _o  (m = 0,1,2,…),                                                                        (3.2)

то d = ±2m p, и колебания, возбуждаемые в точке M обеими волнами, будут происходить в одинаковой фазе. Следовательно, (3.2) является условием интерференционного максимума.

Если оптическая разность хода

                                                                 (3.3)

то d = ±(2m+1) p, и колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, будут происходить в противофазе. Следовательно, (3.3) является условием интерференционного минимума.

ЛЕКЦИЯ 4.

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ

Расчет интерференционной картины от двух источников. Интерференция света в тонких пленках. Полосы равного наклона (интерференция от плоскопараллельной пластинки). Полосы равной толщины (интерференция от пластинки переменной толщины). Кольца Ньютона. Применение интерференции света

Полосы равного наклона

(интерференция от плоскопараллельной пластинки).

  Из выражений (4.6) и (4.7) следует, что интерференционная картина в плоскопараллельных пластинках (пленках) определяется величинами  Для данных   каждому наклону i лучей соответствует своя интерференционная полоса. Интерференционные полосы, возникающие в результате наложения лучей, падающих на плоскопараллельную пластинку под одинаковыми углами, называются полосами равного наклона.

Лучи 1`и 1``, отразившиеся от верхней и нижней граней пластинки (рис. 4.3), параллельны друг другу, так как пластинка плоскопараллельная. Следовательно, интерферирующие лучи 1`и 1`` «пересекаются» только в бесконечности, поэтому говорят, что полосы равного наклона локализованы в бесконечности.

 

Рис.4.3. Полосы интерференции равного наклона.

 

Для их наблюдения используют собирающую линзу и экран (Э), расположенный в фокальной плоскости линзы. Параллельные лучи с 1`и 1`` соберутся в фокусе F линзы (на рис. 4.3 ее оптическая ось параллельна лучам 1`и 1``), в эту же точку придут и другие лучи (на рис. 4.3 - луч 2), параллельные лучу 1, в результате чего увеличивается общая интенсивность. Лучи 3, наклоненные под другим углом, соберутся в другой точке Р фокальной плоскости линзы. Легко показать, что если оптическая ось линзы перпендикулярна поверхности пластинки, то полосы равного наклона будут иметь вид концентрических колец с центром в фокусе линзы.

 

Полосы равной толщины

(интерференция от пластинки переменной толщины).

Пусть на клин (угол a между боковыми гранями мал) падает плоская волна, направление распространения которой совпадает с параллельными лучами 1 и 2 (рис. 4.4).

 

 

Рис.4.4. Интерференционные полосы равной толщины.

 

Из всех лучей, на которые разделяется падающий луч 1, рассмотрим лучи 1`и 1``, отразившиеся от верхней и нижней поверхностей клина. При определенном взаимном положении клина и линзы лучи 1`и 1`` пересекутся в некоторой точке А, являющейся изображением точки В. Так как лучи 1`и 1`` когерентны, они будут интерферировать. Если источник расположен довольно далеко от поверхности клина и угол a ничтожно мал, то оптическая разность хода между интерферирующими лучами 1`и 1`` может быть с достаточной степенью точности вычислена по формуле (4.5), где d— толщина клина в месте падения на него луча. Лучи 2` и 2`` образовавшиеся при делении луча 2, падающего в другую точку клина, собираются линзой в точке A'. Оптическая разность хода уже определяется толщиной d`. Таким образом, на экране возникает система интерференционных полос. Каждая из полос возникает при отражении от мест пластинки, имеющих одинаковую толщину (в общем случае толщина пластинки может изменяться произвольно). Интерференционные полосы, возникающие в результате интерференции от мест одинаковой толщины, называются полосы равной толщины.

Так как верхняя и нижняя грани клина не параллельны между собой, то лучи 1`и 1`` (2 и 2`) пересекаются вблизи пластинки, в изображенном на рис. 4.4 случае - над ней (при другой конфигурации клина они могут пересекаться и под пластинкой). Таким образом, полосы равной толщины локализованы вблизи поверхности клина. Если свет падает на пластинку нормально, то полосы равной толщины локализуются на верхней поверхности клина.

Кольца Ньютона.

Кольца Ньютона, являющиеся классическим примером полос равной толщины, наблюдаются при отражении света от воздушного зазора, образованного плоскопараллельной пластинкой и соприкасающейся с ней плосковыпуклой линзой с большим радиусом кривизны (рис.4.5). Параллельный пучок света падает нормально на плоскую поверхность линзы и частично отражается от верхней и нижней поверхностей воздушного зазора между линзой и пластинкой. При наложении отраженных лучей возникают полосы равной толщины, при нормальном падении света имеющие вид концентрических окружностей.

 

 

 

Рис.4.5. Схема наблюдения колец Ньютона.

 

В отраженном свете оптическая разность хода (с учетом потери полуволны при отражении), согласно (4.5), при условии, что показатель преломления воздуха n = 1, а i = 0,

где d - ширина зазора. Из рис. 32.9 следует, что

R² = (R – d)² + r², где R - радиус кривизны линзы, r - радиус кривизны окружности, всем точкам которой соответствует одинаковый зазор d. Учитывая, что d мало, получим  Следовательно,

                                                                                             (4.8)

Приравняв (4.8) к условиям максимума (3.2) и минимума (3.3), получим выражения для радиусов m-го светлого кольца и m-го темного кольца соответственно

        (m = 0,1,2,...), - светлое кольцо,

                  (m = 0,1,2,…) – темное кольцо.

Измеряя радиусы соответствующих колец, можно (зная радиус кривизны линзы Л), определить l _о и, наоборот, по известной l _о найти радиус кривизны R линзы.

Как для полос равного наклона, так и для полос равной толщины положение максимумов зависит от длины волны l _о. Поэтому система светлых и темных полос получается только при освещении монохроматическим светом. При наблюдении в белом свете получается совокупность смещенных друг относительно друга полос, образованных лучами разных длин волн, и интерференционная картина приобретает радужную окраску.

Все рассуждения параграфа были проведены для света, отраженного от оптически более плотной среды, с учетом изменения фазы отраженного колебания на p, для чего и вводилась величина l/2.

Интерференцию можно наблюдать и в проходящем свете, причем в данном случае не наблюдается потери полуволны. Следовательно, оптическая разность хода для проходящего и отраженного света отличается на l _о, т.е. математические выражения максимумов и минимумов меняются местами: максимумам интерференции в отраженном свете соответствуют минимумы в проходящем и наоборот.

ЛЕКЦИЯ 3.

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ

Когерентность и монохроматичность световых волн и источников. Теория интерференции света. Методы наблюдения интерференции света. Метод Юнга. Зеркало Френеля. Бипризма Френеля.

Когерентность и монохроматичность световых волн и источников.

Экспериментально человек легче всего может наблюдать явление интерференции электромагнитных волн в их оптическом диапазоне.

Интерференцией называется сложение колебаний или волн, при котором измеряемая интенсивность суммарного колебания или суммарной волны не равнасумме измеряемых интенсивностей складываемых колебаний или волн. Однако, чтобы человеческий глаз был в состоянии что-то проанализировать, событие должно продолжаться более, чем ~ 1/30 c, в то время как процессы сложения волн от разных источников происходят непрерывно. Но частота колебаний волн света видимого диапазона составляет ~ 10^-15 Гц и ни о каком анализе событий такой длительности при взаимодействии естественных источников излучения не может быть речи.

Интерференцию света можно объяснить, рассматривая интерференцию волн. Необходимым условием интерференции волн являетсяих когерентность, т.е. согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов, характеризующихся постоянством разности фаз и частоты. Этому условию удовлетворяют монохроматические волны - неограниченные в пространстве волны одной определенной и строго постоянной частоты. Так как ни один реальный источник не дает строго монохроматического света, то волны, излучаемые любыми независимыми источниками света, всегда некогерентны. Поэтому обычно не наблюдается интерференция света от независимых источников, например от двух электрических лампочек.

Понять физическую причину немонохроматичности, а, следовательно, и некогерентности волн, испускаемых двумя независимыми источниками света, можно, исходя из самого механизма испускания света атомами. В двух самостоятельных источниках света атомы излучают независимо друг от друга. В каждом из таких атомов процесс излучения конечен и длится очень короткое время (t»10^-8 с). За это время возбужденный атом возвращается в нормальное состояние и излучение им света прекращается. Возбудившись вновь, атом снова начинает испускать световые волны, но уже с новой начальной фазой и, скорее всего, вовсе не с прежней частотой и ориентацией плоскости поляризации в пространстве. Так как разность фаз между излучением двух таких независимых атомов изменяется при каждом новом акте испускания, то волны, спонтанно излучаемые атомами любого источника света, некогерентны. Таким образом, волны, испускаемые атомами, лишь в течение интервала времени»10^-8 с (это время излучения атома) имеют приблизительно постоянные амплитуду и фазу колебаний, тогда как за больший промежуток времени и амплитуда, и фаза изменяются. Прерывистое излучение света атомами в виде отдельных коротких импульсов называется волновым цугом.

Описанная модель испускания света справедлива и для любого макроскопического источника, так как атомы светящегося тела излучают свет также независимо друг от друга. Это означает, что начальные фазы соответствующих им волновых цугов не связаны между собой. Помимо этого, даже для одного и того же атома начальные фазы разных цугов отличаются для двух последующих актов излучения. Следовательно, свет, испускаемый макроскопическим источником, некогерентен.

Любой немонохроматический свет можно представить в виде совокупности сменяющих друг друга независимых гармонических цугов. Средняя продолжительность одного цуга t _ког называется временем когерентности. Когерентность существует только в пределах одного цуга, и время когерентности не может превышать время излучения. Прибор обнаружит четкую интерференционную картину лишь тогда, когда время разрешения прибора значительно меньше времени когерентности накладываемых световых волн.

Если волна распространяется в однородной среде, то фаза колебаний в определенной точке пространства сохраняется только в течение времени когерентности t _ког. За это время волна проходит в вакууме расстояние l _ког = с× t _ког» 3×10⁸ м/с×10^-8с = 3м, называемое длиной когерентности (или длиной цуга). Таким образом, длина когерентности есть расстояние, при прохождении которого две или несколько волн утрачивают когерентность. Отсюда следует, что наблюдение интерференции света возможно лишь при оптических разностях хода, меньших длины когерентности для используемого источника света.

Чем ближе волна к монохроматической, тем меньше ширина D w спектра ее частот и, как можно показать, больше ее время когерентности t _ког, а, следовательно, и длина когерентности l _ког. Когерентность колебаний, которые совершаются в одной и той же точке пространства, определяемая степенью монохроматичности волн, называется временной когерентностью (определение связано с тем обстоятельством, что у монохроматических волн строго одинаковы периоды колебаний).

Наряду с временной когерентностью для описания когерентных свойств волн в плоскости, перпендикулярной направлению их распространения, вводится понятие пространственной когерентности. Два источника, размеры и взаимное расположение которых позволяют (при необходимой степени монохроматичности света) наблюдать интерференцию, называются пространственно-когерентными. Радиусом когерентности (или длиной пространственной когерентности) называется максимальное поперечное направлению распространения волны расстояние, на котором возможно проявление интерференции. Таким образом, пространственная когерентность определяется радиусом когерентности.

Радиус когерентности

      

где l - длина волны света, j - угловой размер источника. Так, минимально возможный радиус когерентности для солнечных лучей (при угловом размере Солнца на Земле j» 10^-2 рад и l =0,5 мкм – «зеленый свет») составляет ~ 0,05 мм. При таком малом радиусе когерентности невозможно непосредственно наблюдать интерференцию солнечных лучей, поскольку разрешающая способность человеческого глаза на расстоянии наилучшего зрения составляет лишь 0,1 мм. Отметим, что первое наблюдение интерференции провел в 1802 г. Т. Юнг именно с солнечным светом, для чего он предварительно пропускал солнечные лучи через очень малое отверстие в непрозрачном экране (при этом на несколько порядков уменьшался угловой размер источника света и тем самым резко увеличивался радиус когерентности (или длина пространственной когерентности)).

       Англичанин Томас Юнг (1773 г.р.) в 2 года отроду умел бегло читать, в 8-9 лет умел токарничать и сам делал физические приборы, в 14 лет изучил самостоятельно дифференциальное исчисление, знал более 10 языков, учился в трех университетах. В 27 лет стал профессором Королевского университета, а затем забросил физику и стал врачом.

Теория интерференции света

Предположим, что две монохроматические световые волны, накладываясь друг на друга, возбуждают в определенной точке пространства колебания одинакового направления: х₁= A₁cos(w t - j ₁) и х₂ = A₂cos(w t - j ₂). Под x понимают напряженность электрического Е или магнитного H полей волны; векторы Е и Н колеблются во взаимно перпендикулярных плоскостях. Напряженности электрического и магнитного полей подчиняются принципу суперпозиции. Амплитуда результирующего колебания в данной точке может быть определена из обычного правила сложения однонаправленных колебаний одинаковой частоты:

Так как волны когерентны, то cos(j ₂ - j ₁) имеет постоянное во времени (но свое для каждой точки пространства) значение, поэтому интенсивность результирующей волны (а интенсивность I имеет смысл энергии колебаний и, как для всякого колебания

I~A²)

       .                                                               

В точках пространства, где cos(j ₂ - j ₁) > 0, интенсивность I>I₁ +I₂, а там, где cos(j ₂ - j ₁) < 0, интенсивность I < I₁ + I₂. Следовательно, при наложении двух (или нескольких) когерентных световых волн происходит пространственное перераспределение светового потока, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других - минимумы интенсивности. Это явление называется интерференцией света.

Для некогерентных волн разность (j ₂ - j ₁) непрерывно изменяется, поэтому среднее во времени значение cos(j ₂ - j ₁) равно нулю, и интенсивность результирующей волны всюду одинакова и при I₁=I₂ равна 2I (для когерентных волн при данном условии в максимумах I=4I₁, зато в минимумах I=0).

Как можно создать условия, необходимые для возникновения интерференции световых волн? Для получения когерентных световых волн применяют метод разделения волны, излучаемой одним источником, на две части, которые после прохождения разных оптических путей накладываются друг на друга, и наблюдается интерференционная картина.

Пусть разделение на две когерентные волны происходит в определенной точке О (рис.3.1). До точки М, в которой наблюдается интерференционная картина, одна волна в среде с показателем преломления n₁ прошла путь s₁, вторая - в среде с показателем преломления n₂ – путь s₂.

           

 

 

Рис.3.1. Формирование когерентных волн.

Если в точке О фаза колебаний равна w t, то в точке М первая волна возбудит колебание A₁cos w ( t - s₁/v₁) вторая волна - колебание A₂cos w ( t – s₂/v₂), где , - соответственно фазовая скорость первой и второй волны. Разность фаз колебаний, возбуждаемых волнами в точке М, равна

       .                 (3.1)

В выражении 31.1 учли, что  где l _о - длина волны в вакууме: при переходе из одной среды в другую частота колебаний сохраняется как для вынужденных колебаний, а длина волны изменяется в “n” раз. Произведение геометрической длины s пути световой волны в данной среде на показатель n преломления этой среды называется оптической длиной пути L (вспомните принцип Ферма!), a D = L₂ – L₁ - разность оптических длин проходимых волнами путей — называется оптической разностью хода.

Если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме

D = ± m l _o  (m = 0,1,2,…),                                                                        (3.2)

то d = ±2m p, и колебания, возбуждаемые в точке M обеими волнами, будут происходить в одинаковой фазе. Следовательно, (3.2) является условием интерференционного максимума.

Если оптическая разность хода

                                                                 (3.3)

то d = ±(2m+1) p, и колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, будут происходить в противофазе. Следовательно, (3.3) является условием интерференционного минимума.