Использовать калькулятор разрешается

 

С. Чему равно 60 % от 735?

Т. Чему равно 12,5 × (18,9 + 61,1)?

У. Число 17 при умножении на само себя дает трехзначный ответ:

17 × 17 = 289.

Найдите наименьшее число, которое при умножении на себя дает четырехзначный ответ.

 

 

При помощи пяти из приведенных выше карточек с числами составьте верный пример.

 

 

Ц. Впишите в квадратики три простых числа, которые при перемножении дают 385.

 

 

Ч. На рисунке изображен равносторонний треугольник в прямоугольнике. Вычислите величину угла x.

 

 

(Изображение сделано не в масштабе, поэтому не пользуйтесь транспортиром.)

Ш. Буквами P и Q обозначены два целых числа.

P на 200 больше, чем Q. P + Q = 350.

Найдите P и Q.

Щ. Два числа, лежащие между 50 и 70, при перемножении дают 4095. Какие это числа?

Э. На рисунке изображен куб. Вся верхняя половина его заштрихована, а нижняя половина – белая.

 

 

Перед вами развертка этого куба.

 

 

 

Ответы

 

Ответы на вопросы, которые могут встретиться в тестах

 

А. 4,85

Многим (но, конечно, не всем) мамам и папам подобные вопросы кажутся простыми. Для детей все может быть совершенно иначе. Путаница возникает потому, что у числа 2,75 два знака после запятой, а у числа 7,6 – только один. Пример становится несколько проще, если воспринимать эти числа как денежные суммы: тогда 7,6 превращается в £7,60, а 2,75 – в £2,75. Теперь почти каждый сможет уверенно найти ответ, как правило, путем округления 2,75 до 3 (добавили 25 пенсов), а затем прибавления 4,60, чтобы получить 7,60; таким образом, ответ равен £4,85. Но не совершив этот шаг и не представив себе эти числа в денежном выражении – а мало кто из детей это сделает, – без калькулятора в этом вопросе легко ошибиться.

Б. 3 × 174 = 3 × 74 + 3 × 100 = 222 + 300 = 522

Еще один вопрос, на который мамы и папы обычно отвечают правильно, хотя многим проще решить пример, чем объяснить, как они это делают. В самом деле, взрослые часто не видят, как знание того, чему равно 3 × 74, может здесь помочь. Одна мама, столкнувшись с этим вопросом, попыталась честно перемножить числа столбиком, и ей показалось, что это нелегко. После этого сын (8 лет) показал ей, как он решил этот пример методом решетки:

 

 

Тут мама внезапно поняла, насколько это просто, и – мало того – поняла, как работает умножение. Это хороший пример того, как «новый» метод умножения помогает детям (и взрослым) разобраться в том, что происходит.

 

 

Просто? Большинство родителей думает именно так, но не все. Одна мама, которой особенно тяжело давалась визуальная часть математики, сказала, что пыталась повернуть страницу на четверть оборота, чтобы можно было просто срисовать верхнюю диаграмму, и только после этого поняла, что нижняя часть страницы тоже повернулась. При решении подобных задач детям рекомендуется использовать кальку. Здесь требуется пространственное мышление, и хотя оно хорошо развито у многих взрослых и детей, некоторые испытывают сложности, сталкиваясь с подобными задачами. Дело в том, что есть люди, которым математика в целом дается легко, но вот визуальная сторона вопроса ставит их в тупик.

Г. Надо пометить два первых пункта, но не третий. Тот факт, что у Питера в кармане £1, не имеет значения.

Родители в большинстве своем на этот вопрос отвечают мгновенно, хотя и предпочитают произвести вычисления, вместо того чтобы отмечать пункты галочками. Это образец задачи, в которой ребенка просят не найти ответ, а объяснить стратегию решения. Проверяется, способен ли ребенок понять, какая часть информации нужна, а какая избыточна; это важное в жизни умение, поскольку во многих ситуациях на нас обрушивается масса информации и необходимо, прежде чем что-то считать, отсеять лишнее. Однако несложно понять, почему мальчик или девочка может запутаться в таком вопросе. Вероятно, любому ребенку часто приходится прикидывать, чего и сколько он может купить на карманные деньги, и ключевой вопрос в подобных условиях: «А хватит ли у меня денег?» Или наоборот: «А что я могу купить теперь, когда у меня есть фунт? Может быть, если на два апельсина и яблоко уйдут не все мои деньги, то я смогу купить еще немного конфет, так что очень полезно будет узнать, сколько у меня останется».

Д. Нет, 2140 не входит в эту последовательность, потому что 2140 не делится на 40 без остатка.

Такие задачи на последовательности типичны для тестов в наше время. Вместо того привычного вопроса из теста на коэффициент интеллекта (IQ), вроде «Какое число стоит в этой последовательности следующим?», появился иной вопрос. Его цель – проверить понимание того, что произойдет с последовательностью дальше. Как на него отвечать? Мы выяснили, что некоторые мамы и папы терпеливо составляли список всех членов последовательности, и на то, чтобы добраться до чисел 2120, 2160… – и таким образом продемонстрировать, что 2140 в нее не входит, – у них ушло немало минут. Может быть, кто-то из детей поступает так же, но при этом ребенок теряет ценное время теста; кроме того, получается, что он упускает из виду метод, который, по мысли экзаменаторов, ему надлежало использовать.

Самый важный шаг здесь – заметить, что все числа последовательности оканчиваются на нуль, и упростить задачу, разделив их все на 10. Иными словами, вопрос сводится к следующему: «Если добавлять все время по 4, появится ли 214 в такой последовательности?» А это, в свою очередь, то же самое, что задать вопрос: «Делится ли 214 без остатка на 4?» Многие мамы, папы и дети это заметили и воспользовались своим любимым способом, чтобы выполнить деление.

Существует еще одно упрощение, облегчающее жизнь (хотя оно не слишком широко известно детям и взрослым). Если нужно узнать, делится ли какое-то число на 4, достаточно посмотреть на число, образованное двумя его последними цифрами. Что касается скажем, 214, достаточно проверить, делится ли 14 на 4. Очевидно, не делится. (Кстати говоря, иногда из этого проистекает и некоторая практическая польза; известно ведь, что високосные – и олимпийские – годы всегда без остатка делятся на 4. Поэтому чтобы узнать, является ли 2016-й олимпийским (на тот случай, если новости каким-то образом прошли мимо вас), вместо того чтобы делить 2016 на 4, достаточно просто проверить, делится ли 16 нацело на 4. Ясно, что делится. Раз так, то организаторы Олимпиады в Рио могут вздохнуть спокойно, они ничего не перепутали.

Е. Приготовлено 15 пакетиков чипсов.

Сэндвичей приготовлено 45, и известно, что сэндвичей втрое больше, чем чипсов. 45: 3 = 15, поэтому пакетиков с чипсами должно быть 15. Для большинства родителей задачи такого рода тривиальны. Но это, вероятно, потому, что мы, как взрослые, производим подобные вычисления почти автоматически. Они для нас в порядке вещей, да и встречаются постоянно: без таких задач не обходится ни подготовка праздника, ни повседневная жизнь.

Для ребенка основная трудность здесь связана с необходимостью понять из словесного описания, в чем состоит математическая проблема. В тексте ничего не говорится о делении – о том, что нужно делить, ребенок должен догадаться сам. И лучше всего учиться этому при решении аналогичных задач. На данном примере хорошо видно, как вовлечение детей в домашнюю математику учит их разбираться в том, как это работает, почти инстинктивно.

Вопрос, кстати говоря, интересен еще и тем, что содержит избыточную информацию. Содержащиеся в условии сведения о яблоках не имеют никакого значения. Некоторых детей яблоки могут сбить с толку: ребенок будет считать, что эти цифры тоже нужно как-то использовать. Конечно, в реальности лишней информации может быть сколько угодно, но попытка имитировать в математической задаче жизненную ситуацию сопряжена с определенными сложностями, – ведь дети пытаются угадать, чего хочет от них учитель.

Ж. Сэм неправ, на обеих досках волчок укажет на сектор A с равной вероятностью.

Это вопрос, способный разделить аудиторию родителей и детей практически пополам. (В случае с родителями это объясняется в основном тем, что многие из них вообще не изучали теорию вероятностей в школе.) Многие не могут с уверенностью сказать, зависят ли шансы того, что волчок укажет на определенную область, от размеров этой области. Поскольку зона A на правой диаграмме больше, чем на левой, многие думают, что вероятность остановки волчка на ней выше. (А если нет, то зачем учителя нарисовали два таких рисунка?) На самом деле размер зоны – это отвлекающий фактор, а значение имеет только угол. Волчок движется по кругу, и на обеих диаграммах половина круга относится к зоне A, так что обе зоны эквивалентны. Дети часто играют с волчком, поэтому такой ответ несложно проверить на практике.

З. Нужно добавить 240 мл воды.

Большинству родителей, привыкших разбираться со всевозможными шкалами, этот вопрос вполне понятен, но дети часто путаются, если на шкале подписаны не все деления. Распространенная ошибка – считать, будто воды здесь – 130 мл (то есть что каждое деление соответствует 10), а не 160 мл.

На втором этапе ребенку нужно понять, в чем, собственно, заключается математическая задача. Это хороший пример того, что одну и ту же задачу можно решать при помощи вычитания (из 400 отнять 160) или сложения (сколько нужно добавить к 160, чтобы получить 400… сначала добавляю 40, получаю 200, и добавляю еще 200). На самом деле и дети, и взрослые склонны рассматривать эту задачу как пример на сложение – не в последнюю очередь потому, что воду в стакан нужно добавлять до уровня 400 мл.

И. Первоначальное число равно 80.

«Я не знаю даже, с чего начать», – сказал кто-то из запутавшихся родителей. Для некоторых такая задача больше похожа на головоломку. Многие родители понимают, что ее можно решить при помощи «алгебры», но поскольку они не помнят, как эту самую алгебру в реальности используют, то оказываются в тупике. Многие сумели все же найти ответ методом проб и ошибок, но чувствовали при этом себя виноватыми. На самом же деле метод проб и ошибок – или «проб и улучшений» – это именно то, чего ждут в данном случае от ребенка. Иными словами, предположите для начала, чему равно искомое число – попробуйте 100, к примеру, – и посмотрите, какой ответ это вам даст. Если ответ получится неверный, подкорректируйте число и попробуйте еще раз. В конце концов доберетесь до верного ответа.

Существует немало и других стратегий, которыми можно воспользоваться. Если вам захочется освежить алгебраические знания, то вот классический способ решения этой задачи. Пусть «А» будет названием задуманного Алексом числа (или, если вам удобнее использовать имя собственное, назовите его просто «Алекс»). Нам сказано, что половина А плюс четверть А равна 60, то есть

 

 

Сложив дроби, получим

 

 

Таким образом, А = 80.

Но помните, что мало кто из учеников начальных классов станет считать таким образом – хотя есть мальчики и девочки, которые проделывают подобные вещи легко и с удовольствием.

 

 

Возникла ли у вас в первый момент мысль о том, что ответ (а) должен равняться двум третям? Если да, вы не одиноки – большинство мам и пап, которым мы показывали эту задачу, поначалу ошибались, но потом понимали, что что-то не так, особенно когда видели вопрос (б) – в этот момент многие родители испытывали сильную обиду.

Несложно понять, почему дети и взрослые путаются в таких вопросах. Если представить себе каждый из заштрихованных квадратиков как печеньку, получится, что сначала у вас есть одна треть печеньки, а потом к ней добавляется еще одна треть, – и всего получится две трети. Но на самом деле это задача не на сложение дробей.

Цель подобных задач – проверить представления ребенка о том, что такое дроби и как с ними работать, однако многие видят в них сознательную попытку запутать ребенка и потому считают их нечестными. Некоторые родители рассуждали в первой части задачи так: если это одна треть

 

 

в этом шесть частей, две из которых черные, поэтому дробь составляет

А

– то же, что

но немало взрослых ленятся упрощать выражение (или просто не видят этой возможности).

Иногда можно получить верный ответ при помощи совершенно ошибочной математики. Один папа умудрился сложить

путем сложения двух числителей (1 + 1) и двух знаменателей (3 + 3) и получить

то есть правильный ответ у него получился из ложных предпосылок. Если бы в задаче нужно было сложить

он сделал бы то же самое и получил те же

хотя это очевидно неверно

равно трем четвертям, а не двум шестым!)

Человеку, для которого первая часть задачи была сложной, вторая покажется настоящим издевательством, и в самом деле многие родители поставили на месте ответов прочерк. Один из способов разобраться в этом вопросе заключается в том, чтобы представить себе каждый квадрат как состоящий из трех равных частей, тогда всего на рисунке окажется девять частей, из которых только одна закрашена.

 

 

Оценочные вопросы иногда ставят в тупик и детей, и их родителей. При этом чаще всего задают следующий вопрос: «Насколько точно нужно это сделать?»

На самом деле в подобных вопросах определенные неточности считаются приемлемыми; как правило, эти они могут быть достаточно существенны. Главное, на что здесь смотрят, – понимает ли ребенок, что 125 составляет больше половины от 200 (многие дети этого не осознают), поэтому стрелочка, указывающая на середину отрезка или на точку левее, будет считаться ошибкой. Точно так же стрелочка где-нибудь в последней четверти отрезка рядом с 200 свидетельствует о том, что ученик не понимает, что 125 располагается ближе к центру отрезка 0–200, чем к его концу. Можно очень точно оценить положение 125 на числовой прямой, если сначала найти середину отрезка (100) на глаз, затем найти середину между 100 и 200 (150) и наконец отметить середину между 100 и 150.

М. Две другие вершины имеют координаты (11, 9) и (15, 3).

По крайней мере половина того ужаса, который связан для родителей с этой задачей, заключается в использовании слова «вершины». «Почему они не могут просто назвать их углами?» – спросил один папа. В школе многое делается для того, чтобы ученики в процессе работы запоминали математические названия различных вещей, и дети по идее должны знать такие термины, как «вершина». Тем из родителей, кому трудно запомнить эти термины, стоит заглянуть в наш глоссарий. Не тревожьтесь, эти слова быстро запоминаются.

Вторая проблема с этой задачей заключается в том, что оси здесь не подписаны, поэтому многие мамы и папы, по их собственным словам, в первый момент запаниковали, пытаясь сообразить, где на рисунке располагается точка с координатами (1, 3). Но если немного посчитать и сравнить числа с заданными координатами, этот вопрос разрешится очевидным образом (ясно, что (1, 3) означает 1 вправо по горизонтальной оси и 3 вверх). После этого остается только ничего не перепутать и правильно вычислить положение правой вершины отраженного треугольника.

Н. Площадь четырехугольника равна 15 квадратикам, и такую же площадь имеет прямоугольник 3 × 5.

Этот вопрос заставил помучиться многих мам и пап: сначала нужно было определить площадь четырехугольника, а затем понять, как превратить его в прямоугольник. Чтобы найти площадь, можно разделить фигуру на треугольники и определить площадь каждого такого треугольника. Однако на этой стадии обучения дети определяют площадь в основном путем подсчета квадратиков. Целые квадратики сосчитать просто, а все остальные квадратики разрезаны ровно пополам, так что полная площадь четырехугольника равна 15 квадратикам.

Самый простой прямоугольник с такой площадью имеет форму 15 × 1. Но хитрые экзаменаторы позаботились о том, чтобы в напечатанной решетке не было 15 квадратиков в линию, поэтому ребенку приходится определять, какие другие размеры прямоугольника при перемножении дадут 15. Единственный ответ 3 × 5 (ну, или 5 × 3, разумеется). Ребенка неявным образом попросили разложить 15 на простые множители, а поскольку 3 и 5 – единственные множители 15, кроме 1 и 15 (3 и 5 – простые числа), другого ответа на этот вопрос не существует.

О. До 15:00 из Бигтауна уходят три поезда. Первый из них доходит от Бигтауна до Нортбриджа за 2 часа 25 минут.

Расписание поездов – всего лишь один из многочисленных типов таблиц, которые школьники должны читать и интерпретировать. Для родителей, привыкших ездить на электричках, эта задача – пустяк (относительный), но многие дети никогда не пользовались этим видом транспорта и, тем более, никогда не заглядывали в расписание, и их могут сбить с толку пустые места в таблице. Кроме того, они могут не знать, что маршруты перечислены в порядке времени отправления.

Дети (и их родители) часто неправильно истолковывают эту задачу и думают, что их просят найти первую электричку, тогда как на самом деле нужно найти первую электричку, которая отправляется из Бигтауна (а это электричка в 9:40). Может показаться, что определение разницы между 9:40 и 12:05 производится вычитанием, но «вычитать» время далеко не просто (сколько будет 12:05 минус 9:40 в «часовой» математике?) Так что естественный – и лучший – способ вычислить этот промежуток – сложение: сначала прибавляем 20 минут к 9:40, чтобы получить 10:00, затем прибавляем еще 2 часа, чтобы получить полдень, а затем прибавляем еще 5 минут и получаем 2 часа 25 минут.

П. Сторона большего треугольника составляет 8 см.

 

 

Для решения потребуется не один шаг. Тот факт, что речь идет о треугольниках, может сбить с толку и увести в сторону. Единственное, что имеет значение, – то, что треугольники равносторонние, то есть все три стороны у них одинаковые. Далее достаточно увидеть, что четыре маленьких треугольника (по 6 см) в ряд равняются трем большим. Иными словами, 24 = 3 × сторону большого треугольника.

Р. Один из нескольких возможных способов заштриховать четыре шестых выглядит так:

 

 

Что это – хитроумная головоломка или чертовски каверзный вопрос? Зависит от того, у кого вы спросите (хотя большинство людей, пожалуй, склоняется к первому варианту ответа). У многих взрослых и детей сердце екает, когда они понимают, что здесь предлагается пять объектов разделить на шесть частей. Дети в таких обстоятельствах часто заявляют учителю, что эту задачу решить «невозможно» и больше уже не пытаются ничего сделать. Плохо помогает даже аргумент о том, что составители тестов не стали бы включать в них вопрос, который невозможно решить.

Сложности задаче добавляет то, что шестиугольники на рисунке не разделены на равные части – в каждом из них два ромба и два треугольника. Ожидается, что дети в этой ситуации должны использовать свои знания о том, что правильный шестиугольник складывается из шести одинаковых треугольников и, следовательно, каждый ромб здесь должен складываться из двух таких треугольников. Это означает, что всего на рисунке 30 треугольников, и надо заштриховать четыре шестых (то есть 20) из них. Сделать это можно несколькими способами, включая и приведенный нами. Еще одна возможность – заштриховать все ромбы.

Проблема намного легче решается визуально, если провести горизонтальную линию через центры шестиугольников. Все становится гораздо понятнее – но большинство родителей и почти никто из детей до этого не додумывается.

 

 

При этом становится очевиднее другой способ решения этой задачи: просто заштриховать четыре из шести треугольников в каждом шестиугольнике.

 

 

С. 441

Иногда калькулятор – это проклятие, особенно калькулятор с хорошо заметной кнопкой процента. Появляется сильное искушение вычислить заданное, нажав кнопки

в этот момент до многих взрослых внезапно доходит, что они совершенно не помнят, как используется кнопка «Проценты».

Гораздо лучше было бы положиться на здравый смысл и подумать о том, чему примерно должны соответствовать нужные нам 60 %. Это не слишком далеко от 50 %, то есть от половины, поэтому от вас требуется найти приблизительно половину от 735. Иными словами, ответ должен быть не очень далек от 400.

Дети в школе осваивают кое-какие интересные стратегии, позволяющие найти ответ. Один из них состоит в том, чтобы вычислить 10 % от первоначального числа (это будет 73,5), а затем умножить эту величину на 6, чтобы найти 60 %.

Но самый быстрый способ состоит в том, чтобы вовремя вспомнить, что «процент» означает «разделить на сто и умножить на…» Иными словами, 60 % от 735 можно записать как 60: 100 × 735 (735 × 60: 100 даст тот же ответ).

Т. 1000

Калькулятор не может быть умнее человека, который на нем считает. Вы, вероятно, инстинктивно понимаете, что следует сначала сложить 18,9 и 61,1 и только потом умножить на 12,5, но для детей это не настолько очевидно; они склонны двигаться слева направо, и без скобок на калькуляторе получат, вероятно, ответ 297,35.

У. 32 (32 × 32 = 1024)

Задействованная здесь математика несложна, но от детей ожидают понимания, что такое «четырехзначное число»; у многих формальный язык и достаточно абстрактная суть задачи вызывают затруднения. Опять же, эту задачу легко решить методом проб и ошибок, поэтому 30 × 30 = 900 (слишком мало), 35 × 35 = 1225 (слишком много), а правильный ответ находится перебором промежуточных чисел.

Вообще-то весь этот «метод тыка» буквально напрашивается на то, чтобы отбросить его и поискать какой-нибудь хитрый ход, чтобы решить задачу проще. Приведем один такой ход для тех детей, кто знает, что умножение числа на само себя называется «возведением в квадрат», и уверенно владеет этим понятием. Чтобы найти число, которое при возведении в квадрат дает наименьшее четырехзначное число, достаточно просто ввести на калькуляторе 1000, а затем нажать кнопку квадратного корня. Корень из 1000 равен 31,62… Первое натуральное число, которое при возведении в квадрат даст четырехзначный ответ, получится, если округлить 31,62 вверх до следующего целого числа, то есть до 32.

Ф. 200 (иными словами, 30 % от 200 равно 60).

Итак, если бы этот вопрос звучал как: «Чему равны 30 % от 200?», он был бы не сложнее вопроса Т. Но вместо этого хитрые экзаменаторы вывернули вопрос наизнанку. А дети зачастую начинают путаться даже в несложных вопросах, если их задают необычным образом. Для многих единственным доступным методом здесь будет опять же метод проб и ошибок и постепенного подбора; откровенно говоря, многие родители действовали точно так же. Но на самом деле возможных стратегий множество. Вот две из них:

• Для начала поймите, что если 30 % от некоего числа равны 60, то 10 % от того же числа должны быть равны 20 (для этого нужно просто все поделить на 3). А если 10 % от чего-то равны 20, то 100 % равны 200.

• Если 30 % от X равны 60, то X должен быть равен 60, деленным на 30 %; это то же самое, что 60: 0,3, а это равно 200 (калькулятор подтвердит).

Х. 21

 

 

У этого вопроса есть несколько верных ответов, хотя это, пожалуй, больше беспокоит родителей, чем детей (дети обычно счастливы найти хотя бы один). Составить пример гораздо сложнее, чем применить какие-то правила и просто выполнить заданные действия; ожидается, что для начала дети должны попробовать какое-то произвольное число и только потом найти стратегию решения. Самый очевидный ключ в данном конкретном случае: поскольку в результате суммирования получается 426, то в сотенном разряде во втором слагаемом никак не может стоять 8; следовательно, это 3. Еще один важный указатель – то, что две цифры разряда единиц при сложении дают число, оканчивающееся на 6. Это может быть 3 + 3 или 8 + 8. В разряде десяток должны стоять 3 и 8, а дальнейшие рассуждения дают ответы, которые приведены выше.

Ц. 5, 7 и 11.

Для ответа на этот «детективный» вопрос, необходимо помнить, что такое простое число, – что легко забывается, если вы со школы не имели с ними дела. В принципе, слово «простых» из вопроса можно было бы исключить и попросить найти просто три числа, которые при перемножении дают 385, но при этом многие, без сомнения, выбрали бы вариант 1 × 1 × 385, который экзаменаторам совершенно не нужен.

Поэтому нам приходится искать три числа, ни одно из которых не равно 1 и которые при перемножении дают 385 (и, так уж получилось, являются простыми). Первая подсказка здесь – пятерка на конце числа 385; это означает, что одним из делителей должно быть число 5. Далее делим 385 на 5, получаем 77; и, конечно, 77 = 7 × 11.

Ч. 8°

Многие родители сразу сдаются, видя эту задачу, поскольку для ее решения требуются знания, которых у большинства мам и пап уже нет. Два ключевых момента здесь – знать, что все углы в прямоугольнике прямые, то есть по 90°, тогда как в равностороннем треугольнике все углы одинаковы и равны 60°. Тогда X = 90 – 60 – 22.

Если вы опасаетесь, что вашему ребенку трудно будет решить задачу, предполагающую так много шагов, вас, может быть, немного успокоит тот факт, что справляется с ней менее 20 % 11-летних детей. Некоторых учеников особенно пугает буква X, которая используется для обозначения неизвестного угла. Но можно сделать эту задачу куда менее страшной, если дать углу какое-то осмысленное имя вместо загадочного X; к примеру, можно назвать его Кляксой или Камешком.

Ш. P = 275; Q = 75

«Ого, это похоже на алгебру», – сказал один папа. Безусловно, это раннее знакомство детей с тем, что позже они будут решать при помощи системы уравнений. Многие дети обязательно с испугом скажут себе, что они могут найти пример, в котором P на 200 больше, чем Q, и пример, в котором P + Q = 350, но не в состоянии отыскать такого, в котором одновременно верны оба утверждения. Как обычно, все сводится к старому знакомому методу проб и ошибок. Возьмите P = 200, Q = 0 – сумма получится 200, то есть слишком мало. Поэтому пробуем P = 300, Q = 100 – в сумме 400, то есть чересчур много. Еще через пару шагов придем к верному решению, то есть к числам 275 и 75. (Может показаться странным, что эти числа заканчиваются на 5, хотя все числа в условии задачи заканчиваются на нуль.)

Щ. 63 × 65

Из всех задач теста именно эта вызвала, пожалуй, самую бурную реакцию. Одна из мам сказала: «Я чувствую себя идиоткой! При первом взгляде на эту задачу я подумала просто: "Нет, я не могу этого сделать"». Тем не менее она, как и большинство мам и пап, сумела в конце концов получить верный ответ. Правда, времени потребовалось немало.

Родители здесь воспользовались той самой стратегией, которая ожидается также и от детей, а именно методом проб и ошибок. Это означает, что начать можно с любых двух чисел на выбор, скажем, с варианта 58 × 67, и посмотреть, насколько близко вы окажетесь к ответу. Но такой подход срабатывает только при методической работе, без нее вы не сможете «попасть в цель».

Решение математических задач может быть похоже на взламывание шифра, и эта – прекрасный тому пример. В задаче скрывается тайна, и вы, как детектив Коломбо из известного сериала, получаете кое-какие улики и далее ищете дополнительную информацию. И хотите верьте, хотите нет, подсказок здесь множество. Во-первых, тот факт, что число 4095 – нечетное. Если при перемножении двух чисел ответ получается нечетный, то и оба перемножаемых числа должны быть нечетными. (Надо сказать, это было откровением для одной умненькой учительницы младших классов, с которой нам довелось беседовать, – она никогда не сталкивалась с тем, что четное число при умножении на любое другое целое число обязательно дает четный результат, хотя, стоило ей задуматься, как это стало очевидным.)

Поэтому мы немедленно понимаем, что два числа, о которых идет речь, должны браться из набора 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67 и 69. Однако число возможных вариантов еще снижается, если обратить внимание на то, что произведение заканчивается на 5; значит, по крайней мере один из сомножителей тоже заканчивается на 5. Следовательно, одно из чисел должно быть 55 или 65. Быстрая проверка на калькуляторе показывает, что 4095 не делится нацело на 55, зато 4095: 65 = 63, что дает нам второе число.

На самом деле математики, натренированные в решении такого рода примеров, смогут ответить на вопрос без всякого калькулятора. Если вам интересно (а может, и нет!), как они это сделают, читайте дальше. Во-первых, математик посмотрел бы на простые множители числа 4095. Он понял бы, что поскольку число 4095 – нечетное, то оба сомножителя тоже должны быть нечетные. Он сразу же заметил бы, что 4095 делится на 5, а значит, один из сомножителей должен равняться 55 или 65. Затем он заметил бы, что 4095 не делится на 11, то есть число 55 не может быть одним из делителей. Единственным вариантом остается 65. Наконец, математик заметил бы, что 4095 делится на 9, то есть второй делитель должен быть нечетным числом, кратным 9 и лежащим между 50 и 70. Это значит, что второй множитель равен 63.

Не тревожьтесь, если это краткое объяснение не пролило свет на проблему; главный его смысл в том, что при наличии достаточных математических знаний можно найти приемы, которые позволят вам щелкать сложные на первый взгляд примеры как орешки.

Ничто из перечисленного не требуется от ребенка, заканчивающего начальную школу. И все же многие ученики более чем способны понять и использовать эти приемы. Подталкивая детей к исследованию числовых тайн, вы учите их решать задачи быстрее и, главное, помогаете открыть для себя, что математика – не только слепой поиск и метод проб и ошибок: это еще и интереснейшая детективная работа, приключения и открытия.

Э.

 

 

«Задачи на развертки, – признался один учитель начальной школы, – внушают мне ужас. Это мое абсолютное слабое место, моя ахиллесова пята». Ожидается, что учащийся должен уметь мысленно свернуть плоский лист бумаги так, чтобы получился простой трехмерный объект (и представить себе противоположное – как выглядит объемный предмет, если его развернуть на плоскости). И это задача, которую многие дети находят очень-очень сложной. Чтобы понять, что происходит, большинству нужно нарисовать развертку и физически превратить ее в объект. В этот момент они готовы будут кричать: «Эврика!» К несчастью, рисование модели требует времени, и лишь самые отчаянные и организованные из детей справятся с эти меньше чем за пять минут – поэтому такой путь приведет к потере драгоценного экзаменационного времени. Единственный способ обойти эти сложности в том, чтобы заранее развивать у детей способность строить развертки и складывать из них фигуры. Тогда в нужный момент они смогут без труда выполнить это в уме.

 

Ответы на вопросы в разделах «Проверьте себя»

 

Числа и позиционная система

 

 

Римские цифры в городах

 

MDCLXVI – число 1666, год Большого лондонского пожара. Его можно найти на монументе возле Лондонского моста.

 

Ищем эквиваленты

 

Полезно представлять себе числа в виде суммы его отдельных частей. 124 можно записать как 100 + 20 + 4. Не забывайте, что мы в данном случае работаем в системе счисления с основанием 8, так что 20 означает не двадцать (то есть две группы по 10), а две группы по 8, так что 20 в восьмеричной системе соответствует 16 в десятеричной. 100 в восьмеричной системе обозначает одну группу из 8 групп по 8, то есть 64 в десятеричной системе. Значит, 124 в восьмеричной системе счисления – это 64 + 16 + 4, или 84, в десятичной системе. Запутались? Представьте, как чувствует себя ребенок, когда впервые пытается разобраться в позиционной системе и разрядных значениях.