Сортировка и диаграммы Венна

 

В определенный момент в начальной школе ваш ребенок познакомится с двумя способами сортировки – при помощи диаграмм Венна (о которых вы, вероятно, слышали) и Кэрролла (с которыми вы, скорее всего, не сталкивались). Хотя оба способа позволяют сделать, в сущности, одно и то же, данные в них представляются немного по-разному и потому акцент делается на разных вещах.

 

 

Чтобы помочь ребенку освоить диаграммы Венна, можно организовать игру с двумя связанными петлей веревочками и набором различных предметов. Можно разложить на столе яблоко, апельсин, оранжевый восковой мелок и простой карандаш и исследовать возможные способы разбиения этого множества предметов на две группы. Это может быть группа съедобных вещей и группа оранжевых предметов. Ребенок быстро поймет, что некоторые вещи следует отнести к обеим группам: так, апельсин оранжевый и к тому же съедобен. Значит, две веревочных петли должны будут пересечься.

Кроме того, хотя это не очевидно на первый взгляд, существует и четвертое место, где могут находиться предметы, – пространство вокруг петель. В нашем примере то, что не оранжевое и невозможно съесть, должно будет остаться за пределами обоих групп.

В начальной школе диаграмма Венна часто представляется только как пересечение двух контуров, но в некоторых ситуациях один из контуров может полностью находиться внутри другого. Так, если одна из петель представляет группу «животные, которые дают молоко», а вторая – группу «коровы», то, поскольку все коровы дают молоко, коровы полностью включены в группу молочных животных. Диаграмма Венна для этого случая становится похожей на яичницу-глазунью.

 

 

Кроме того, не существует правила, согласно которому петель (групп) должно быть обязательно две. Вы можете создать их столько, сколько нужно, чтобы представить все нужные вам категории, хотя в случае, когда групп больше трех, пересечения между ними сильно усложняются.

 

Диаграммы Кэрролла

 

Этот вид диаграмм назван в честь автора «Алисы в Стране чудес», который занимался не только писательством, но и преподавал математику в Оксфорде. Чарльз Доджсон (настоящее имя Кэрролла) особенно интересовался логикой и в 1896 г. опубликовал книгу «Символическая логика» (Symbolic Logic), где представил диаграмму, названную им «двухбуквенной». Позже этой диаграмме дали имя ее автора, и сегодня каждый учащийся начальной школы изучает диаграмму Кэрролла как метод категоризации объектов.

Особенно удобна диаграмма Кэрролла для группировки математических объектов. К примеру, карточки с числами можно рассортировать по самым разным признакам: четные/нечетные, больше/меньше 20, кратные/некратные пяти…

 

 

 

Проверьте себя

Диаграмма Кэрролла

Где на диаграмме Кэрролла оказались бы числа с приведенной ниже диаграммы Венна?

 

 

 

Проекты по обработке данных

 

Не так давно почти весь школьный опыт обработки данных сводился у учащихся начальной школы к рисованию столбчатых диаграмм по готовым наборам данных. Дети тратили много времени на раскрашивание диаграмм, но мало что реально узнавали об обработке данных. Теперь построение всевозможных диаграмм и графиков лучше поручить технике – любая электронная таблица может быстро представить ваши данные в виде таблицы или диаграммы, – поэтому учитель может больше внимания уделить полномасштабным проектам обработки данных.

Работа над проектом начинается с выбора темы исследования. Это может быть что-нибудь очень простое: «Каких машин больше на дороге перед школой – зеленых или желтых?» Здесь достаточно просто пересчитать те и другие автомобили, а затем представить данные для сравнения. Но дети вполне способны провести в классе и более тонкое исследование, скажем, такое: «Помогает ли повторение выучить таблицу умножения?»

Далее в классе дети обсудят, как можно это исследовать. К примеру, они могли бы договориться и в течение, скажем, недели каждый день повторять таблицу умножения (к примеру, таблицу умножения на три). Тогда они собрали бы данные о том, как класс знает эту таблицу в начале недели, для чего провели бы общий контрольную работу. Затем, после нескольких дней практики, повторили бы тест и вновь собрали данные.

 

Представление результатов

 

Существует немало различных способов представления результатов. К таким способам относятся не только привычные столбчатые и круговые диаграммы и графики, но и множество других, более сложных форм, таких как точечная диаграмма. Одно из решений, которые необходимо принять в ходе работы над проектом по обработке данных, – о том, какой тип диаграммы использовать для представления результатов; это важно, поскольку диаграммы разных типов позволяют сделать разные выводы.

Отвечая на вопрос «Помогает ли повторение выучить таблицу умножения?», младшие дети могли бы изобразить рядом показатели каждого учащегося на блоке столбчатых диаграмм.

 

 

Затем они попытались бы интерпретировать полученные результаты, задавая себе примерно такие вопросы:

• На сколько максимально улучшился результат?

• Показал ли кто-нибудь ухудшение результата?

• У всех ли результат улучшился? У скольких улучшился?

• В целом показал ли класс улучшение?

Дети постарше, возможно, предпочли бы использовать точечную диаграмму, которая иногда бывает более информативной. На ней координатами точки служат результаты каждого ребенка в первом и втором тесте (по одной оси – в первом, по другой – во втором). Диагональная линия показывает, где находились бы все точки, если бы результаты обоих тестов были одинаковыми. У детей, получивших за второй тест более высокую оценку, точки ложатся выше этой линии, у тех, у кого оценка снизилась, – ниже. В таком представлении проще с одного взгляда понять, сколько детей показали лучший результат, и сколько – худший. (Похоже также, что те дети, кто плохо написали первый тест, как правило, повысили свои показатели, а те, кто в первый раз добились успеха, либо не улучшили прежний результат, либо улучшили его, но незначительно.)

 

 

 

В голове ребенка

У младших школьников случаются проблемы с интерпретацией графиков и диаграмм, поскольку дети склонны рассматривать их как буквальные изображения происходящих процессов.

Представьте, что какой-нибудь школьник поднимает флаг на утренней линейке. Который из этих графиков лучше всего представляет движение флага вверх по шесту? По горизонтальной оси откладывается время в секундах, по вертикальной – высота над землей флага в метрах.

 

 

Многие дети (и некоторые взрослые) выберут график A, потому что он зрительно напоминает флагшток и, как и сам флаг, поднимается «прямо вверх».

На самом же деле, поскольку горизонтальная ось описывает движение времени, график A означает, что флаг взлетает на полную высоту мгновенно, что невозможно. Какой же график правильный – B или С? На B флаг поднимается равномерно и свое движение по шесту начинает с той же скоростью, с какой и заканчивает. График C предполагает, что вначале флаг движется медленно (кривая близка к горизонтальной шкале, что означает, что флаг первые несколько секунд поднимается еле-еле), затем ускоряется, а в конце замедляется вновь. Поэтому вполне возможно, что B – график подъема флага механическим устройством, а C достаточно точно отражает происходящее, когда флаг поднимает человек. Чтобы научиться разбираться в подобных графиках, нужно немало поработать.

 

Проверьте себя

Какой вид спорта?

Как вы считаете, какой вид спорта представлен на этом графике: гольф, бег на 100 м или рыбная ловля?

 

 

 

График сказки

 

Есть один забавный способ разобраться вместе с ребенком в том, что график – это вовсе не буквальное изображение происходящего. Для этого нужно построить график эмоционального состояния какого-нибудь действующего лица по ходу сюжета известной сказки. На оси Х размечаем ход времени, а по оси Y откладываем эмоции от самых негативных внизу до самых позитивных вверху. Каждый может выбрать сказку по своему вкусу, а затем попытаться сопоставить график с развитием действия. Представьте, к примеру, как приведенный график соотносится с чувствами Красной Шапочки и событиями сказки.

 

 

Круговые диаграммы

 

Один из видов круговой диаграммы придумала (или, по крайней мере, активно популяризовала) Флоренс Найтингейл. С его помощью часто отображают соотношения частей и целого, в частности в том, что касается самых разных групп населения. Так, можно показать, какая доля детей добирается до школы на тех или иных видах транспорта. С подобной диаграммой может столкнуться и ваш ребенок.

 

 

Здесь можно задать ребенку следующие вопросы:

• Какой вид транспорта является наиболее популярным?

• Какой процент детей ездит в школу на велосипеде? (Целый круг всегда представляет 100 %.)

Однако, не имея никакой дополнительной информации, мы не можем ничего сказать об абсолютном количестве детей. Круговая диаграмма сообщает нам, что половина, или 50 %, детей ходит в школу пешком, но мы не знаем, сколько это в численном выражении – 20, 100 или 1000 детей, поскольку полное число детей, о которых идет речь, никак не отражается на диаграмме. Но если бы мы знали, что в исследовании участвовали 100 детей, то могли бы ответить и на другие вопросы:

• Сколько детей ездит в школу на велосипеде? (25)

• Пятеро детей ездят на машине. А сколько ездит на автобусе? (20)

 

 

Проверьте себя

43. Круговая диаграмма

 

 

 

1. Какой процент детей выбирает компьютер в качестве любимого времяпрепровождения?

2. Десять детей выбрали в качестве любимого времяпрепровождения компьютер, двое предпочитают читать. Сколько детей выбрали спорт?

3. Сколько детей приняли участие в этом опросе?

 

 

Сравнение круговых диаграмм

 

Ситуация становится более интересной и неоднозначной, если представлены две круговые диаграммы.

 

 

При рассмотрении этих двух круговых диаграмм выясняется, что процент детей, которые ходят в школу пешком, в Тритопской школе выше, чем в Санниглейдской. Но без дополнительной информации мы не можем точно сказать, действительно ли в Тритопской школе больше детей ходит пешком. Если в эту школу на своих двоих добирается 40 % детей, а всего там учится 100 человек, то без транспорта обходится 40 детей. В Санниглейдскую школу лишь 25 % учеников предпочитают приходить пешком, но если в ней учится 200 человек, то получается, что таких любителей пешего хода там 50 – больше в численном выражении, чем в Тритопской, хотя это и составляет меньшую долю от общего числа детей. В относительном выражении больше детей ходит пешком в Тритопскую школу, но в абсолютном – в Санниглейдскую. Обязательно предупредите ребенка, что если в задаче представлено две круговые диаграммы, то нужно быть настороже и очень внимательно читать заданные вопросы.