Проблемы, которые часто возникают у детей в связи с измерениями

 

1. Дети не обращают внимания на «мертвую зону» на линейке (часть между нулем и концом линейки).

2. Уверены, что если какая-то фигура обладает большей площадью, то и периметр у нее должен быть больше.

3. Неверно интерпретируют шкалу, на которой нет отметки для каждого числа.

4. Используют неподходящие единицы для измерения чего-либо (к примеру, измеряют вес пера в килограммах).

 

Метрическая и имперская система мер и весов

 

Возможно, мы живем в метрическую эру, но и сегодня в Великобритании сохраняются некоторые остатки старой имперской системы мер и весов, к которым, как правило, относятся с большой любовью. Молоко и пиво по-прежнему продают в пинтах, дорогу измеряют в милях, площадки для крикета – в ярдах, а дорожки ипподрома – в фарлонгах. Мнения о том, следует ли отказаться от этих последних бастионов имперской системы и полностью перейти на более простую метрическую, разделились, хотя, говоря об этом, следует помнить, что США – самая влиятельная, наверное, культура на свете, хранит верность имперской системе. Инженеры в США все еще работают в милях, футах, фунтах и градусах Фаренгейта.

В школе ребенка будут учить метрической системе, у которой есть одно важное преимущество: все в ней кратно десяти. Но если ребенок будет знать метрические эквиваленты таких показателей, как фунт, ярд, дюйм и пр., это явно не окажется для него лишним.

Во многих случаях перевод из имперской системы мер и весов в метрическую может быть произведен (в целях грубой оценки) простым удвоением или делением на два. В таблице приведены самые распространенные единицы измерения и способы их перевода: сначала быстрый метод для получения приблизительного значения, затем более сложный, но позволяющий выполнить более точный расчет.

 

Таблица для перевода имперских мер в метрические

 

 

 

Выбирайте правильную шкалу

 

Ни один здравомыслящий человек не будет измерять расстояние от Лондона до Глазго в миллиметрах; глупо также использовать килограммы для измерения веса одного птичьего пера. Но почему? Дело в том, что человеческий мозг лучше всего работает с целыми числами от 1 до 1000, а не с очень маленькими или очень большими. Идея о том, что для измерения маленьких вещей нужно пользоваться маленькими единицами, а для измерения больших вещей – большими, понравится вашему ребенку и покажется ему разумной; вам же следует как можно больше говорить с сыном или дочерью о различных мерах и измерениях.

В настоящее время широко используются только две приставки к метрам, граммам и литрам, превращающие их в удобные и подходящие к случаю единицы:

 

 

Существуют также приставки для обозначения других, промежуточных десятичных степеней, но (за исключением традиционных сантиметров) они почти не используются:

 

 

Время

 

Ребенок знакомится с понятием времени («сейчас», «позже», «завтра», «вчера») уже к трем годам; примерно в этом же возрасте он понимает, что часы каким-то образом помогают определить время. Но полностью ребенок овладевает искусством определять время по часам и называть его намного позже – многие даже в восемь лет не способны, глядя на часы, сказать, сколько сейчас точно времени.

Часы и измерение времени – интересная математическая тема, затрагивающая многие области математики. Мы включили разговор о часах в главу об измерениях и мерах, но на самом деле он был бы уместен также в главах о счете, сложении и вычитании, о дробях (четверти и половины) и таблице умножения на 5 (количество минут, прибавляемых к полным часам, можно найти, умножив число на циферблате на 5).

Кроме того, часы связаны с углами, поскольку деление циферблата на минуты, как и деление окружности на градусы, основано на древней шестидесятеричной системе счисления. Двенадцать часовых отметок равномерно распределены по циферблату, так что угол между двумя стрелками в 13:00 равен одной двенадцатой полного оборота, 360/12, или 30°. Часовая стрелка отклонена от вертикали на 45°, когда находится на полпути между 1 и 2, иными словами, в половине второго.

 

 

Проверьте себя

36. Головоломка с часами

Сколько раз от полудня до полуночи угол между минутной и часовой стрелками составит 90°? (Два случая вы, вероятно, найдете очень быстро – но если постараетесь, то сможете отыскать и третий… а еще есть?)

Детям сложно не только определять время по часам, но и складывать время на цифровых часах. К примеру, если поезд отходит в 3:25, а путешествие занимает 1 час 40 минут, то в какое время следует ожидать прибытия поезда? Внешне время 3:25 очень похоже на обычное десятичное число, а в десятичных числах 3,25 плюс 1,40 равно 4,65. При измерении времени, однако, минуты считаются по основанию 60, а не 100, так что когда минут становится больше 60, следует добавить единицу к часам и вернуться к нулю. Мы, как взрослые, давно привыкли к этому, а потому склонны забывать, что детей это может всерьез запутать.

 

Проверьте себя

37. Печем пирог

Джейми печет пирог. Когда он поставил пирог в духовку, часы показывали 16:40. Пирог следует выпекать 90 минут. В какое время Джейми должен вынуть пирог из духовки?

 

 

Часы и направления

 

Часы и направления естественным образом связаны. Направления на север, юг, восток и запад можно представить как полдень, три, шесть и девять часов соответственно, а при поворотах мы столь же естественно пользуемся выражениями «по часовой стрелке» и «против часовой стрелки». Вы можете рассказать ребенку о естественной связи между часами и направлениями по компасу, когда будете показывать какие-то ориентиры на местности. «Если ты представишь себе, что эта церковь стоит на 12 часах, то вон тот холм, на который я показываю, будет находиться на одном часе».

 

Пользуйтесь часами для определения направления

 

Кому нужна спутниковая навигация, когда можно воспользоваться наручными часами? В следующий раз, когда отправитесь с семейством на прогулку (не важно, в деревне или в пригороде), попробуйте определять направление при помощи часов. Держите часы горизонтально таким образом, чтобы часовая стрелка указывала на солнце. Затем разделите мысленно пополам угол между часовой стрелкой и условной линией, указывающей на отметку 12 на часах, – это и будет приблизительное направление на юг. (Для более точного результата ваши часы должны быть установлены на среднее гринвичское время[7] – и конечно, погода должна быть солнечной!)

 

 

Длина

 

Детям необходимо знать, как следует производить точные измерения при помощи линейки, но этого мало: они должны также обладать более общим чувством длины и расстояния. Существуют две распространенные ошибки, связанные с применением линейки. Вот, к примеру, сломанной линейкой пользуются для измерения длины:

 

 

Как часто бывает на линейках, на этой между делениями, представляющими целые числа, есть более мелкие неподписанные деления. Считается, что пользователь должен сам их интерпретировать. В данном случае промежуток между соседними числами разделен на пять частей, так что каждое маленькое деление представляет 0,2. Длина отрезка в данном случае составляет 3,6 (то есть 4,6 минус 1,0).

 

 

В голове ребенка

Сможете ли вы сказать, почему при измерении отрезка на рисунке выше дети получили следующие неверные ответы?

4,6

4,3

3,3

В первом случае ребенок сосредоточился на правой границе отрезка и, соответственно, на большем числе (4,6) и не подумал проверить, находится ли левый конец отрезка на нулевой отметке линейки. Вообще, при использовании линейки часто не обойтись без простого вычитания, как здесь. (Вы можете познакомить ребенка с этой идеей, намеренно взяв сломанную линейку без нуля и задав ему вопрос: «О господи, как же нам измерить длину этой штуки?»)

Второй и третий неверные ответы возникли потому, что дети считывают положение правого конца отрезка как 4,3, то есть отсчитывают три маленьких деления и полагают, что каждое из них соответствует 0,1. Вы можете вовремя указать ребенку, что деления не могут равняться 0,1: достаточно аккуратно отсчитать по ним «4,1; 4,2; 4,3; 4,4…» и обнаружить, что пятое деление – которое вроде бы должно соответствовать 4,5 – совпадает с целым числом 5.

 

Короткий совет

Во многих семьях принято выделять какой-то участок дверного косяка или стены, чтобы отслеживать на нем изменения роста ребенка. Как правило, дети радуются, когда обнаруживают в очередной раз, что немного выросли. Можно превратить этот уголок в объект постоянного интереса, если прикрепить к косяку или стене старую портновскую мерную ленту, чтобы дети могли по карандашной отметке сами определять свой рост.

 

 

Другие мерные шкалы

 

Измерительные шкалы окружают нас со всех сторон – можно назвать хотя бы шкалы на весах, мерных кружках, термометрах и т. п. Конечно, шкала может быть размечена в целых единицах, но нисколько не реже встречаются шкалы, где промежуток между двумя соседними числами измеряется сотнями или небольшими десятичными дробями. Но какой бы ни была шкала, принципы ее чтения остаются одинаковыми: нужно научиться правильно интерпретировать промежутки между числами и понимать, что одно деление не всегда представляет одну единицу.

Чем лучше ваш ребенок научится читать дома всевозможные шкалы, тем проще ему будет интерпретировать новую, незнакомую шкалу, когда она ему попадется.

 

 

Проверьте себя

38. Шкала времени

На рисунке – небольшой участок временно́й прямой, или оси времени. Любое событие можно отметить на ней стрелочкой, указывающей на определенный ее участок.

 

 

 

 

Периметр

 

Слово «периметр» происходит от греческого слова περί (вокруг). Дети часто путают измерение периметра какого-то объекта и измерение его площади. Можно без труда избавиться от этой путаницы, если всегда связывать периметр с куском веревки. Какой длины кусок веревки вам потребуется, чтобы обернуть им данную окружность – или, к примеру, данный бассейн?

Периметр окружности имеет особое название: «длина окружности». Длина окружности круга при делении на его диаметр дает постоянную величину: это число, немногим большее трех, очень близкое к 3,14 и известное всем как число пи (или π). С ним дети не сталкиваются до средней школы, но вы можете познакомить сына или дочь с этим загадочным числом, обратив внимание ребенка на многочисленные круглые объекты в доме – банку фасоли, диск DVD или пиццу. Можно взять шнурок и наглядно продемонстрировать, что трех диаметров чуть-чуть, но не хватит на то, чтобы обкрутить им соответствующий предмет.

 

 

 

Проверьте себя

39. Периметр

Эта фигура составлена из шести квадратов.

 

 

 

 

Вычислите периметр этой фигуры.

 

 

Площади и прямоугольники

 

Простейший способ уяснить, что такое площадь, – представить себе ее как некий участок плоской поверхности. Площадь может быть застелена ковром, покрыта травой, оклеена обоями или покрашена, и ребенку нетрудно будет понять, что иногда площади приходится измерять, чтобы проверить, хватит ли на них ковра, краски и т. п.

Первый шаг ребенка на пути к измерению площади – пересчитывание квадратиков. Нарисовав фигуру на клетчатой бумаге, несложно (хотя довольно трудоемко) сосчитать, сколько в нее вошло квадратиков. Проще всего это сделать, безусловно, для прямоугольника.

 

 

Тщательный подсчет позволит вам на практике убедиться в том, что в этом прямоугольнике уместился 21 квадратик. Но понимание того, что существует и более простой способ определить площадь прямоугольника, придет очень быстро. Здесь, к примеру, три строки по семь квадратиков, или семь столбиков по три квадратика, в любом случае площадь равна 3 × 7. Иными словами, нет никакой нужды считать квадратики поштучно, площадь прямоугольника можно найти, перемножив длины двух его сторон.

 

Площади более сложных фигур

 

Метод счета квадратиков работает также для фигур любой другой формы, хотя не везде и не всегда вам встретятся удобные для счета целые квадратики. К примеру:

 

 

В этом треугольнике два целых квадратика и четыре половинки, что дает суммарно четыре полных квадратика.

Учащимся начальной школы редко предлагают считать что-то менее удобное, чем половинки квадратиков, но на самом деле эту идею можно развить. Существует правило, позволяющее довольно точно определить площадь: все неполные квадратики, в которых больше половины квадрата, считаются целыми, а все те, в которых меньше, – не считаются вообще. Таким образом, в треугольнике ниже присутствует шесть целых квадратиков и три с «более-чем-половиной», что дает нам площадь, равную девяти квадратикам.

 

 

 

Проверьте себя

40. Загадочный квадратик

Перед вами жуткая головоломка, в которой один квадратик площади возникает совершенно ниоткуда! Исходным материалом для нее служит обычная решетка размером 8 × 8 клеток и площадью соответственно 64 клетки.

 

 

 

 

Вы видите, что решетка на рисунке разрезана на четыре части – A, B, C и D. Эти же самые части можно сложить иначе и получить следующий прямоугольник:

 

 

 

 

Убедитесь, что все части имеют в точности ту же форму, что и на первом рисунке. А теперь сосчитайте квадратики. Длина нашего прямоугольника составляет 13 клеток, ширина – 5. 13 раз по 5 будет 65… но это на единицу больше, чем в первоначальном квадрате. Откуда взялся лишний квадратик?

 

Объем

 

От учащихся начальной школы не требуется знание того, как вычисляется объем твердого тела. Тем не менее дети знакомятся с измерением объема жидкости в литрах; считается также, что они должны чувствовать и разумно оценивать, больше или меньше литра жидкости входит в конкретную емкость.

Несмотря на то что объем тела не будет рассматриваться в этом курсе сколько-нибудь подробно, полезно познакомить ребенка с некоторыми идеями, имеющими отношение к объему. Взяв два листа А4, можно провести интересный эксперимент.

Скатайте один лист вдоль длинной стороны, чтобы получилась длинная тонкая трубочка, а второй – вдоль короткой стороны, чтобы трубка получилась потолще и покороче.

 

 

Эти две трубки имеют разную форму, но сделаны из одного и того же листа бумаги. В какую из них войдет больше гречневой крупы?

Если инстинкт говорит вам, что в каждый цилиндр должно поместиться одинаковое количество гречки, то он ошибается. В короткую широкую трубку входит больше – приблизительно на 40 %.

Теперь разрежьте лист A4 пополам и сверните два одинаковых широких цилиндра меньшего размера. Где объем больше – в крупном цилиндре или в двух его маленьких копиях? Возможно, первое, что подсказывает инстинкт, – это то, что между этими вариантами нет никакой разницы; однако после того, как вы сделаете цилиндры, верный ответ станет очевидным.

 

 

Просто взглянув на получившиеся цилиндры, можно увидеть, что две меньшие трубки в сумме вместят явно меньше, чем одна большая. Объем большой трубки, опять же, превосходит суммарный объем двух маленьких приблизительно на 40 %.

 

Вес

 

С граммами и килограммами ваших детей познакомят в школе. Кроме того, их научат производить взвешивание – измерять вес при помощи весов. Не в каждой школе сегодня найдутся старомодные весы с чашками, что очень плохо, поскольку они великолепно помогают не только разобраться в том, что такое вес, но и получить представление о дробях – и даже об «уравнениях» (уравнение – это как равновесие чашек на весах, где количество чего-то на одной стороне точно соответствует количеству на другой).

В весах используются метрические гири, обычно такие:

 

 

Это позволяет вам измерить любой вес от 5 г до 1105 г с точностью до ближайших пяти граммов.