Игра: безумная история с домино

Разложите комплект костяшек домино на столе лицом вниз. Переверните одну костяшку. Решите, какую дробь будут представлять два числа на ней. Кто сможет придумать самую нелепую историю, в которой будет фигурировать данная дробь?

Предположим, вы перевернули костяшку с тремя и пятью точками

Это может быть три пятых или пять третьих

Предположим, вы договорились считать, что это

 

«Пять голодных обезьянок нашли три спелых банана. Обезьянки были очень справедливыми, поэтому разделили бананы поровну. Какая часть банана досталось каждой из них?»

«В этом году мне подарили пять пасхальных яиц. Я съел одно, затем второе, затем третье, а затем у меня заболел живот. Какую часть подаренных яиц я съел, прежде чем мне стало плохо?»

 

 

Упрощение дробей

 

Если вы хотите разделить пиццу на троих, то проще всего сделать это разрезав ее на три равные доли.

 

 

Но большинство людей делит пиццы совсем не так. Третья часть пиццы слишком велика и часто складывается, когда вы берете ее в руки. Вместо этого мы, повинуясь инстинкту, делим пиццу на шесть частей и раздаем каждому по две. То, что две шестых доли и одна третья – одно и то же, настолько очевидно, что нет, кажется, никакой необходимости даже проговаривать это. Тем не менее этот факт – основа принципа упрощения дробей и сведения их к простейшему виду:

Упрощение дробей встречается в математике повсеместно, и владение этим навыком делает очень многие вычисления гораздо проще.

Ключ к упрощению дробей – найти числа, на которые делились бы одновременно и числитель, и знаменатель дроби (наибольший общий делитель). Положим, надо упростить

 

И числитель, и знаменатель этой дроби делятся на пять. Поэтому

– то же, что

 

Или можно записать числитель и знаменатель в виде произведения, так что:

 

 

При такой записи дроби найти простейший ее вид намного проще; нужно вычеркнуть числа, которые встречаются и в числителе, и в знаменателе (в данном случае вычеркиваем пятерки и получаем

 

 

 

(Если вам не нравится мысль о том, что что-то там зачеркивается, существует и другой способ. 2 × 5: 3 × 5 это то же самое, что

что равно

При такой записи очевидно, что ничто волшебным образом не пропадает, но расчет сильно упрощается.)

 

 

Игра: усложненные дроби

Прежде чем начинать по-настоящему работать с ребенком над упрощением дробей, может быть полезно начать с их усложнения! На помощь снова приходит игра – придумывание все более сложных методов разрезания пиццы: любая

может оказаться

или

или

или даже

Насколько тонкими будут ломтики пиццы? Смысл этого глупого занятия – дать ребенку возможность привыкнуть к идее о том, что разные дроби могут в реальности представлять одну и ту же величину. Это сложная идея. К примеру, наша позиционная система записи чисел означает, что цифры в числах 36 и 12 означают очень разные величины, но те же цифры в дробях

означают в точности одно и то же количество. Так что игра, в ходе которой ребенок привыкает к тому, что дроби можно сделать более сложными, но при этом их величина не меняется, помогает подготовить почву для размышлений о том, нельзя ли сложным дробям придать более простой вид.

 

Проверьте себя

26. Громадная дробь для упрощения

Упростите эту дробь путем вычеркивания чисел над и под чертой:

 

 

 

Сравнение трудных дробей

 

Некоторые дроби очень трудно сравнивать. Так, при помощи метода деления сосисок невозможно оказалось определить, что больше –

В данном случае единственный способ разобраться сводится к использованию метода шоколадки. Представьте, что у вас есть шоколадка, которую вы можете разделить на пять и семь равных частей. Это означает, что число кусочков в шоколадке должно делиться на 5 и на 7. Следовательно, плитка шоколада должна иметь пять «строк» и семь «столбцов», примерно так:

 

 

При этом в плитке всего 5 × 7, или 35 кусочков. Теперь несложно разобраться, сколько кусочков составляет

Это три пятых, то есть три строки – 21 кусочек.

– это четыре седьмых, четыре столбца, 20 кусочков. Таким образом,

больше (чуть-чуть!), чем

потому что

больше, чем

 

Метод шоколадки дает возможность создавать дроби с одинаковым знаменателем (так называемым «общим знаменателем»), что позволяет без труда не только сравнивать дроби, но также складывать и вычитать их.

 

Сложение дробей

 

Методом шоколадки можно пользоваться и для сложения дробей. К примеру, чтобы сложить

нужно найти общий знаменатель, который в данном случае равен 4 × 5 = 20:

 

 

 

Проверьте себя

27. Считаем дроби методом шоколадки

 

 

 

Где используются дроби

 

Есть еще один фактор, который делает дроби сложной для усвоения и понимания темой. Дело в том, что детям приходится иметь с ними дело при решении самых разных задач. Дробь – это не просто часть какого-то одного целого объекта, как в случае с тремя четвертями пиццы.

Ответ

может законным образом получиться в следующих ситуациях:

• Четыре голодных ребенка делят поровну три пиццы. Сколько кусков пиццы достанется каждому?

• Какая доля точек на этом рисунке белая?

 

 

• Каково соотношение числа черных и белых точек?

 

 

• До дома моей бабушки три мили, а до дома дяди – четыре. Какую часть пути до дяди составляет дорога к дому бабушки?

• На каждые четыре мелких рыбешки, которые съедает мама-дельфин, ее детеныш съедает три таких же рыбешки. Какую долю обеда своей матери съедает дельфиненок?

• Салим бросает две десятипенсовые монеты. Какова вероятность того, что у него не выпадут два орла?

• На какую величину указывает стрелка на этой числовой прямой?

 

 

 

Проверьте себя

Мудрец и верблюды

Один старик оставил трем своим сыновьям в наследство 17 верблюдов. В завещании он объявил, что половина верблюдов должна достаться старшему сыну, треть – среднему и одна девятая – младшему. Когда сыновья начали делить верблюдов, обнаружилась проблема: 17 не делится нацело ни пополам, ни натрое, ни на девять частей. Чтобы выполнить волю отца, молодые люди уже собирались зарезать часть верблюдов и поделить туши, чего им совсем не хотелось. (Верблюдам, надо сказать, тоже.) О такой беде услышал мудрец. «Не тревожьтесь, – сказал он. – У меня есть верблюд, которого я могу вам одолжить ненадолго. Тогда вы сможете делить не 17, а 18 верблюдов». Сыновья старика обрадовались – ведь теперь они могли поделить верблюдов, не нанося тем вреда. Старший взял свою половину верблюдов (9), средний – свою треть (6), а младший – положенную ему девятую часть (2). Сыновья сосчитали: 9 + 6 + 2 = 17. Один верблюд остался. «Теперь, когда вы поделили верблюдов согласно воле отца, я заберу своего верблюда обратно», – сказал мудрец и удалился, оставив сыновей старика скрести затылки и гадать, как же ему удалось проделать такую штуку. А вы сможете в этом разобраться?

 

 

Умножение дробей

 

Большинство учащихся начальной школы сталкивается только с простыми примерами на умножение дробей, такими как

Но не вредно и выяснить, что происходит, когда вы начинаете перемножать более сложные дроби. Обратимся к сфере кулинарии и предположим, что по рецепту вам нужно взять половину от трех восьмых килограмма. Предлог от [6] является здесь ключом и указывает на то, что необходимо умножение. Где бы вы ни услышали «треть от чего-то» или даже «20 процентов чего-то», – будьте уверены, что сейчас вам предстоит умножать дроби.

Как вычисляют «одну треть от четырех седьмых»? Наша верная шоколадка и здесь поможет понять, о чем речь. Затемненные кружочки представляют

Из них черные представляют

 

 

 

 

Алгоритм решения любых подобных примеров (таких как

выглядит так:

• перемножить числители (в данном случае 1 × 4 = 4);

• перемножить знаменатели (в данном случае 3 × 7 = 21).

Записывается это так:

 

 

Деление на дробь

 

Чему равно

 

Не правда ли, сразу всплывают какие-то неопределенные (или вполне отчетливые) воспоминания о том, что что-то нужно «перевернуть»? Одна американская мама рассказала нам, что у них для запоминания этого правила был даже какой-то стишок. Может быть, такой: «Делить на дробь – пустяшное дело: переверни – и умножай смело».

Таким образом:

 

 

Все так, если вы уверены, что правило верное и ему надо следовать. Но подумайте вот о чем. Мы начинали с

а закончили

Реакция большинства людей на этот пример была бы приблизительно такой: «Ну вот, посмотрите, что получается. С этого момента математика перестает опираться на здравый смысл».

Давайте перенесем этот абстрактный пример в реальную жизненную ситуацию. Предположим, в рецепте приготовления теста для блинов предлагается на определенное количество блинчиков взять

молока (не думайте о других ингредиентах – яйцах, муке и пр.). Сколько таких порций теста вы сможете изготовить из целого литра молока? Три.

Откуда вам это известно? Это потому, что

литра входит в литр трижды. Точно так же, как именно благодаря делению

вы знаете, что «2 укладывается в 8 четыре раза», тот факт, что

литра входит в литр трижды», тоже становится очевиден в результате деления:

 

Теперь ответ в примере

становится понятнее:

 

 

Десятичные дроби и проценты

 

Десятичные дроби и проценты часто рассматриваются как что-то отличное от обычных дробей, таких как

или

Отчасти это объясняется тем, что они иначе выглядят: действительно, 0,5 или 50 % совсем не похоже на

но смысл во всех трех записях содержится совершенно одинаковый. Зачем же тогда запутывать ситуацию и придумывать разные способы обозначения? Если все это просто

то почему всегда так и не писать? Причина в том, что десятичные дроби намного проще сравнивать и удобнее проводить с ними расчеты. Помните, как трудно было сравнивать

Так вот, если прибегнуть к помощи десятичных дробей и процентов, процедура сравнения стала бы намного проще.

 

 

В голове ребенка

Расположите эти числа в порядке убывания их значений (начиная с самого большого): 0,8 0,65 0,6.

Ответ ребенка: 0,65 0,8 0,6

Ребенок прочел эти числа как 65, 8 и 6, поэтому поставил 65 на первое место. Один из способов обойти эту проблему, имея дело с десятичными дробями, состоит в том, чтобы поставить цифры в столбцы, а пустые места заполнить нулями:

 

 

Это естественным образом свяжет десятичные дроби с идеей разрядных значений цифр (десяток, сотен и тысяч), и сравнить десятичные дроби будет намного легче.

 

 

Задачи на проценты

 

Назначение процентов – сделать работу с десятичными дробями еще проще, особенно при сравнении. Как этого добиться? Надо превратить дроби в знакомые и удобные числа от 0 до 100.

По существу, проценты стали витриной всех дробей. Они используются всюду, идет ли речь о процентных ставках, инфляции, безработице и практически любых статистических данных, какие только приходят на ум. Тем не менее проценты могут причинять родителям и детям значительную головную боль. Почему?

Основная проблема в том, что проценты вводятся как самостоятельная категория. Найдите 20 % от 160. Чему равны 25 % от 80? При взгляде на такие примеры невольно задаешься вопросом: «Зачем?» В процентах появляется гораздо больше смысла, если использовать их для того, для чего они и придуманы, – для сравнения различных вещей.

Предположим, Дженни получила за тест по французскому

а по итальянскому –

По какому предмету ее результат лучше – по французскому или по итальянскому? Довольно часто дети ошибочно утверждают, что результаты одинаковы – в конце концов, по тому и другому предмету она не добрала по четыре балла. Можно показать ошибочность такого подхода, резко изменив число вопросов в тесте. Действительно ли результат теста, равный

ничем не хуже, чем

Сравнить два результата означает поставить их оба на одну общую шкалу. Перевести каждый из них в оценку в пределах 100 (процентов) – общепринятый способ сделать это, а сами проценты – общепринятая шкала. Дробь

превращается в

Теперь ясно, что Дженни лучше написала тест по французскому.