Деление кусками, или метод группировки

 

Взгляните, как ребенок может решать пример 749: 7, если учитель предлагает ученикам разобраться в том, как работает деление.

 

 

Что здесь происходит? Точно так же, как процесс умножения можно расписать подробнее, в расширенной форме, здесь ребенок использует расширенную форму для выполнения деления. При этом он говорит себе примерно следующее:

• Сколько семерок я могу вложить в 749?

• Ну, 100 семерок – это 700, так что сто штук можно [ребенок записывает × 100 в левой колонке].

• После этого у меня остается 49.

• Я знаю, что семь семерок – 49, так что я могу взять еще семь раз по семь [записывает × 7 в левой колонке].

• Так что получится 107 [складывает 100 + 7].

 

Этот расширенный метод иногда называют делением «кусками», или методом группировки, и основан он на идее о том, что из делимого последовательно вычитаются большие «куски», или «группы». Такой подход можно использовать и при делении уголком.

 

 

Проверьте себя

22. Деление «кусками» 1

Разделите «кусками» 336 на 8 (то есть последовательно отнимая от него «куски», кратные восьми).

 

В голове ребенка: как они умудрились получить эти верные ответы?  

Детей сегодня по-прежнему учат делению уголком, но прежде чем они доберутся до стандартного метода, они, возможно, овладеют приемом, основанном на вычитании, или на делении «кусками». Запись деления в столбик при этом может выглядеть приблизительно так, как в приведенных ниже примерах. Оба ребенка в данном случае сумели получить верный ответ, но сделали это по-разному; тем не менее подход у них в основе своей одинаковый: они задаются вопросом: «Сколько раз могу я вычесть 24 из 756?» Сможете ли вы разобраться, как они получили свои ответы?

 

 

А. Ребенок уверенно знает, что десять раз по 24 – это 240, и вычитает именно по 240 (трижды), пока не получает 36. После этого он вычитает 24 еще один раз и получает остаток 12. Ответ здесь 10 + 10 + 10 + 1 = 31 (остаток 12).

Б. Ребенок мысленно прошел этапы «Десять раз по двадцать четыре – 240, 20 раз по 24 – 480, 30 раз по 24 – 720, 40 раз по 24 это явно слишком много, так что я вычту 30 раз по 24, а затем еще один раз 24». Хотя второе решение чуть более эффективно, чем первое, времени на него расходуется не намного меньше.

В обоих случаях метод основан на том, что дети умеют делать хорошо, а не на попытке заучить нужную процедуру на память. В настоящее время метод деления «кусками» теряет популярность, в основном потому, что писать в нем нужно больше, чем при стандартном делении уголком, да и выглядит он более путано. Но важно понимать, что в решении данных примеров, особенно в Б, задействованы в точности те же механизмы, что и в классическом делении уголком.

Сравним процедуру деления 756 на 24 двумя методами.

 

 

Выполняя стандартное деление уголком, ребенок, возможно, пользуется сценарием, который начинается так: «24 в 75 укладывается три раза, пишем три сверху, трижды 24 равно 72…» Но на самом деле три здесь представляет 30 («Я могу отнять 30 раз по 24 из 756»). На следующем шаге ребенок отнимает один раз 24 из 36 и пишет эту единицу сверху. Таким образом, классическое деление уголком – это просто более сжатый вариант деления «кусками».

По поводу того, что лучше – деление «кусками» или уголком, – идут жаркие споры, но ирония здесь в том, что ваш ребенок, вероятно, никогда не будет реально пользоваться ни одним из этих методов, как только перешагнет 15-летний рубеж. Но их освоение – не пустая трата времени: это отличная тренировка навыков обращения с числами, особенно предварительной оценки результата деления больших чисел.

 

Проверьте себя

23. Деление «кусками» 2

Разделите 739 на 22, используя метод группировки (иными словами, последовательно вычитайте из 739 «куски» по 22).

 

Игра: загадка деления

Задумайте любое число от 100 до 999. Введите это число дважды подряд на калькуляторе (скажем, если вы выбрали число 274, то наберите на калькуляторе 274274). Каковы шансы на то, что введенное вами число делится без остатка на 7? А на 11? А на 13?

В каждом случае разумно, может быть, предположить, что шансы на это весьма малы, – в конце концов, только одно число из каждых семи делится без остатка на семь и только одно из тринадцати – на 13. Тем не менее мы гарантируем, что ваше шестизначное число на калькуляторе делится без остатка не только на семь, но и на 11 – и на 13 тоже!

Откуда мы знаем? Дело в том, что написать число вида abcabc (такое как 274274) – то же самое, что сказать abc × 1001 (в данном случае 274 × 1001). Иными словами, abcabc всегда делится без остатка на 1001. А на что делится без остатка 1001? На 7, 11 и 13 – это его простые множители.

Таким образом, мы можем гарантировать, что вне зависимости от того, какое число вы выберете, – 872872, или 185185, или любую другую подобную комбинацию цифр, – оно обязательно будет делиться на 7, 11 и 13. Так говорит математика.

 

Проверьте себя

24. Почему эти ответы обязательно неверны?

Как можно понять без вычислений, что эти ответы обязательно неверны?

1) 223: 3 = 71

2) 71,8: 8,1 = 9,12

3) 161,483: 40,32 = 41,3

 

 

Что там, за арифметикой?

 

Доли, проценты и дроби

 

 

Родители часто называют дроби одной из наиболее сложных тем в математике, хотя ваш ребенок, вероятно, с самого раннего возраста свободно пользуется простыми дробями и имеет о них вполне адекватное представление. К двум годам дети, как правило, успевают сообразить, что день рождения – это здорово, и знание о том, сколько тебе лет и когда у тебя очередной день рождения, всегда пригодится. Любой ребенок сообщит вам, что ему два с половиной года, и будет интуитивно понимать при этом, что два с половиной – это больше двух, но меньше трех, хотя ему никто и ничего, скорее всего, не рассказывал про дроби.

Но многие взрослые скажут, что изучение дробей отмечает тот момент, когда математика начала по-настоящему раскрываться перед ними и их детьми.