Что такое деление – распределение или вычитание?

 

Деление обычно представляют детям как идею о равном распределении. Особенно их увлекает идея раздачи конфет (и каждый хочет быть уверенным в том, что получит свою справедливую долю). Поэтому, если речь идет о примере 48: 8, то, как правило, он представляется в виде «реальной» задачки: «У меня есть 48 ирисок, и я хочу разложить их поровну в восемь пакетиков. Сколько конфет я положу в каждый пакетик?»

Но существует и другой способ интерпретации честного раздела. Сравните предыдущую задачку с этой: «У меня есть 48 ирисок. Я хочу разложить их в пакетики по восемь штук в каждом. Сколько пакетиков у меня получится?»

Эту задачу тоже можно решить, разделив 48 на восемь.

Между двумя этими задачами есть серьезное различие. В первом случае, в задаче с распределением, мы знаем, сколько у нас ирисок и в сколько пакетиков мы их хотим разложить. Чего мы не знаем, так это того, сколько ирисок в конце концов окажется в каждом пакетике. Чтобы решить эту задачу практически, вам пришлось бы в буквальном смысле распределять 48 объектов: обозначить как-то восемь пакетиков и раскладывать: «Одну тебе, одну тебе…», – пока ириски не закончатся.

Во второй задаче ситуация немного иная. У вас по-прежнему имеется 48 ирисок; на этот раз вы знаете, сколько ирисок вы хотите положить в каждый пакетик, зато не знаете, сколько получится пакетиков. Чтобы решить эту задачу практически, вам пришлось бы выложить кучкой 48 объектов, а затем взять из кучки восемь конфет и положить их в первый пакетик, еще восемь положить во второй и т. д., пока все ириски в кучке не закончились бы. Здесь деление – это скорее повторяемое вычитание, чем распределение.

 

Разбираемся в обоих типах деления

 

Важно, чтобы ваш ребенок был знаком с задачами как на «распределение», так и на «повторяемое вычитание».

Во-первых, от того, как будет интерпретирована задача, может на удивление сильно зависеть, насколько легко ребенку будет вычислить ответ (точно так же, как в вычитании отнесение к варианту «отнять» или «найти разницу» меняет восприятие примера 2001 – 1998).

Один специалист по образованию исследовал, как детям видятся 6000: 6 и 6000: 1000.

Ученикам, воспринимающим деление как распределение, первый пример кажется простым – они без труда могут представить себе шесть человек и мысленно раздать каждому из них по 1000 предметов. А вот второй пример для них сложный, так как представить себе целую тысячу человек они не в состоянии. Напротив, тем мальчикам и девочкам, которые видят в делении последовательное вычитание, проще решить второй пример, – ведь все, что им нужно сделать, это вычесть 1000 из 6000 столько раз, сколько получится, то есть шесть. Зато вычитать раз за разом шесть из 6000 проблематично, стоит представить только, как долго это придется делать. Тот, кто сумеет проявить гибкость и правильно выбрать подходящую к случаю версию деления, без труда решит оба примера. Впрочем, вполне достаточно твердо знать, что 1000 × 6 = 6000 и вовремя воспользоваться связью между умножением и делением.

Вторая причина, по которой необходимо понимать оба типа деления, заключается в том, что, когда (в старших классах) дети начинают делить на дроби, какой-то смысл, если разобраться, сохраняет только деление как последовательное вычитание.

 

Деление пополам

 

Что означает

Что, 16 объектов можно распределить на

человека? Я, конечно, могу разделить конфеты на двоих, но никак не могу разделить их на

человека!

С другой стороны, если подумать: «Сколько раз могу я вычесть

из 16?» – позволяет без труда решить задачу: ответ будет 32 раза. В 16 содержится 32 половинки. Поместите эту задачу в реалистичный контекст, и вы поможете своему ребенку лучше понять ее. Пусть некая пиццерия продает пиццы половинками. Они испекли и продали 16 пицц. Сколько было продано половинок? В главе про дроби мы поговорим об этом подобнее.

 

 

Проверьте себя

Числовая последовательность

Числа в этой последовательности всякий раз уменьшаются на одно и то же число. Какие числа пропущены?

 

43 ◻ ◻ ◻ 7

 

Простые числа

 

Простое число – это число больше единицы, которое не делится без остатка ни на какое другое целое число, кроме единицы и само себя. Дети зачастую знакомятся с простыми числами впервые, когда говорят о распределении, вот почему мы включили эти числа в главу о делении. Осмыслить простое число можно представив его себе как число, которое не позволяет честно разделить конфеты. Так, если у вас имеется 15 конфет, вы сможете разделить их поровну на пять человек (по три штуки каждому) или на трех человек (по пять конфет каждому). Но если у вас оказалось 13 конфет, то невозможно раздать их поровну никакому числу людей – можно только вручить все кому-то одному или выдать каждому по одной штуке.

Первые несколько простых чисел – это 2 (единственное четное простое число), 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. Математики обожают искать рекордно огромные простые числа и знают, что всякий раз, когда им удается получить очередное «самое большое» простое число, где-то дальше наверняка скрывается следующее, еще большее. (Откуда они это знают? Евклид доказал это более 2000 лет назад. Его доказательство красиво, но слегка сложновато для маленьких детей, поэтому мы не станем включать его в книгу.)

 

 

Проверьте себя

Найдите простые числа

Какие из этих чисел простые?

27 37 47 57 67

 

 

Делители и кратные

 

Делители и кратные не одно и то же, хотя ребенок склонен их путать. Те и другие тесно связаны с делением и умножением, и полезно в них разобраться, поскольку позже они помогут вам освоить приемы, используемые в примерах на деление.

Делители – это, если хотите, что-то вроде строительных блоков, которые перемножаются, чтобы составить число (и потому называются также сомножителями). Возьмите, скажем, число 18. Делители числа 18 – это 1, 2, 3, 6, 9 и 18. Эти делители можно объединить в пары: 1 × 18 = 18, 2 × 9 = 18, 3 × 6 = 18.

В школе детей часто будут просить найти все делители того или иного числа, и полезно с самого начала делать это методически – начиная с единицы и двигаясь в сторону возрастания. Всякий раз, когда вы находите какой-нибудь делитель, вы можете найти и его «напарника». Так, для числа 18 делителями являются: один (его напарник – 18), два (здесь напарник – девять), три (напарник – шесть). Четыре не делитель, как и пять; а вот шесть – делитель, его напарник – три… но погодите, три уже было. Нет смысла двигаться дальше, потому что там нам будут попадаться только дубликаты.

Пары чисел могут иметь какие-то общие делители. К примеру, у 18 и 27 есть общие делители, три и девять. Девять – наибольший общий делитель, которым они обладают.

С другой стороны, числа, кратные для 18, – это 36, 54, 72 и любое другое целое число, умноженное на 18.

Любая пара чисел обязательно имеет общее кратное. Возьмите 18 и 25. Умножьте 18 на 25, и получите кратное 18. Умножьте 25 на 18 – и получите кратное 25. Но ответ в обоих случаях окажется один и тот же; это и будет общее кратное двух наших чисел (в данном случае 450).

У любых чисел имеется бесконечное количество общих кратных, так, для чисел шесть и девять общими кратными являются 18, 36, 54… и более крупные числа, такие как 360, 1800, 90 000 и т. д. Невозможно сказать, чему равно наибольшее общее кратное двух чисел (это означало бы вторгнуться в царство бесконечности), но всегда можно найти наименьшее общее кратное (для шести и девяти это 18).

 

 

Проверьте себя

Разбираемся в делителях

Впишите эти числа в нужные места на диаграмме: