Вычитание посредством разбиения

 

Вычитание можно организовать по аналогичному принципу, а затем видоизменить числа так, чтобы сделать вычитание в каждом столбце возможным.

 

 

На этом этапе по-прежнему имеются сложности в вычитании девяти из двух и 80 из 50, так что числа в верхней строке могут быть представлены в ином виде (разбиты на части по-другому), чтобы вычитание в каждом столбце стало выполнимым.

 

 

Отсюда уже недалеко и до традиционной компактной формы записи.

 

 

Проверьте себя

8. Вычитание посредством разбиения

1) Решите пример 847 – 623 при помощи разбиения.

2) Сколько будет 721 – 184? (Вместо того чтобы делать это как 700 – 100, 20 – 80 и 1 – 4, найдите способ сделать это так, чтобы не пришлось иметь дело ни с какими отрицательными числами.)

 

В голове ребенка

Как они умудрились получить эти верные ответы?  

Нынешние дети используют для вычитания гораздо больше разных подходов, чем старшие поколения. Хорошая новость в том, что это намного полезнее для детей. Плохая же (для родителей) заключается в том, что понять, что делают дети, теперь тоже намного труднее. Прежде чем разгадывать эту головоломку с вычитанием, попробуйте сами решить пример 56 – 38 при помощи бумаги и ручки.

А теперь взгляните на тот же пример, решенный тремя разными детьми. Все они получили верный ответ, но при этом воспользовались разными методами. Сможете ли вы понять, какими именно?

 

 

1. Ребенок говорит себе что-то вроде: «От 56 отнять 38. Вычтем 30 из 56, получится 26. Еще у меня осталось восемь, которое тоже нужно вычесть. Вычтем шесть из 26, это будет 20. Еще осталось два вычесть из 20, это будет 18». Поскольку девочка не записала один из промежуточных шагов, вам, возможно, трудно было разобраться в ее методе. Хорошо, если это просто наброски для себя, помогающие думать, но если ученица хочет, чтобы кто-то посмотрел ее работу, девочке надо подсказать, что писать следует приблизительно так:

56 – 30 = 26

26 – 6 = 20

20 – 2 = 18

2. Ребенок воспользовался своими представлениями об отрицательных числах, чтобы вычесть восемь из шести (получается минус два), а затем 30 из 50 (получается 20). К 20 прибавить –2, получится 18. (Вау!)

3. Здесь ребенок больше занимался сложением, чем вычитанием. Он определил, сколько нужно добавить к 38, чтобы получить 56: «38 плюс 2 равно 40, к 40 прибавить 16 будет 56, 2 плюс 16 равно 18».

Не удивляйтесь, если эти приемы показались вам путаными – главное, что они понятны детям, которые их придумывают. И не забывайте, что все ученики получили верный ответ!

Все приведенные здесь методы придуманы детьми, у которых уже появилось то, что математики любят называть «числовым чутьем», – ребята «чувствуют», как работает вычитание, и с удовольствием «играют» с предложенными числами, вместо того чтобы просто следовать придуманным кем-то правилам.

 

 

Верен ли ответ?

 

Процесс любых вычислений, будь то сложение, вычитание или что-то более хитрое, заканчивается очень важным этапом. Нужно проверить, есть ли вообще смысл у полученного ответа. На выработку этого навыка требуется время, поскольку большинство детей, решив пример, считают дело сделанным и отчаянно стремятся перейти к следующему заданию.

Проверить расчет не обязательно означает еще раз совершить ту же самую процедуру. Самые, пожалуй, полезные проверки – те, когда понимаешь, что произошла ошибка, даже если представления не имеешь, в чем она состоит. К примеру, 27 + 42 не может равняться 843, потому что оба слагаемые здесь меньше 100. Мы не знаем, в чем была ошибка, но мы точно можем сказать, что она там была! Научите ребенка искать очевидные ошибки; сформируйте у него привычку всегда задавать себе вопрос: «Разумно ли выглядит этот ответ?»

 

 

Проверьте себя

9. Откуда видно, что эти ответы неверны?

1) 3865 + 2897 = 6761

2) 4705 + 3797 = 9502

3) 3798 – 2897 = 1091

 

Простое умножение и таблицы

 

 

От сложения до умножения – один шаг, но с этим шагом множатся и проблемы – как для детей, так и для их родителей. Для детей основная трудность состоит в усвоении все более абстрактных идей, а для родителей – в том, что именно в этот момент незнакомые им методы и новый язык начинают по-настоящему заявлять о себе.

Обучение умножению естественным образом распадается на две составляющие: заучивание наизусть базовых фактов умножения (традиционно известных как таблица умножения) и овладение инструментами, позволяющими производить умножение более крупных чисел. Эта глава посвящена таблице умножения.

Газеты регулярно печатают пугающие статьи, в которых утверждается, будто в школах детей больше не учат таблице умножения. Так вот, это неправда. Нам не приходилось видеть ни одной школы, где не хотели бы, чтобы дети знали таблицу умножения, или факты умножения, как некоторым работникам образования в Англии нынче нравится их называть.

В чем пресса и школы временами расходятся, так это в том, как лучше добиться, чтобы дети накрепко запомнили все необходимое.

 

Проблемы, которые часто возникают у детей в связи с базовым умножением и таблицами:

 

1. Дети не знают, чему равно 7 × 8.

2. Не видят, что задачу надо решать умножением (потому что в ней не сказано прямо: «Чему равно 8 умножить на 4?»)

3. Не понимают, что если ты знаешь, что 4 × 9 = 36, то ты знаешь также, чему равно 9 × 4, 36: 4 и 36: 9.

4. Не знают, как воспользоваться своими знаниями и восстановить по ним забытый кусочек таблицы.

5. Каждый раз считают 4, 8, 12, 16, 20, 24, вместо того чтобы раз и навсегда запомнить: 4 × 6 = 24.

 

Начала умножения и обучающая таблица

 

Дети впервые сталкиваются с умножением в раннем возрасте и воспринимают его как упрощенный (или более короткий) способ сложения. Вместо того чтобы складывать: семь плюс семь плюс семь плюс семь, – очень удобно сразу вспомнить, что четыре раза по семь будет 28. Эти базовые расчеты имеют такое огромное значение в любой области математики – да и в большинстве других областей – что жизненно важно накрепко их запомнить.

Приведем в табличной форме те 100 фактов умножения (от 1 × 1 до 10 × 10), которые детям необходимо хранить в памяти и уметь в любой момент извлечь оттуда.

 

 

И это все. Выучите эту таблицу, и у вы обзаведетесь великолепным фундаментом для любых арифметических действий – и для математики в целом – на всю жизнь.

Но если бы все было так просто! Заучивание детьми таблиц умножения на разные числа – источник огромной головной боли для родителей, особенно когда им кажется, что дети не способны запомнить их так же быстро и легко, как когда-то они сами.

 

Язык умножения

 

Прежде чем погрузиться вместе с ребенком в мир умножения, стоит отойти немного в сторону и осознать, что простой пример на умножение можно описать удивительным количеством разных способов. Возьмите пример 3 × 4. Можно прочитать его как:

• трижды четыре (или четырежды три);

• три раза по четыре;

• три умножить на четыре;

• произведение трех и четырех;

• три группы по четыре.

 

Постепенно ваш ребенок начнет понимать, что все это в сущности одно и то же и что все эти фразы означают умножение, но поначалу ему это далеко не очевидно. Вы можете помочь сыну или дочери, если, вместо того чтобы повторяться, будете как бы между прочим использовать разный язык в разговорах об умножении. К примеру: «Так сколько будет трижды четыре? Что получится, если взять три раза по четыре?»

(Для полноты картины упомянем о том, что при переходе в мир алгебры, где числа принято обозначать буквами, вы встретите еще пару способов, при помощи которых можно представить умножение. Поскольку буква «х» внешне похожа на знак умножения, вместо этого знака умножение нередко будут обозначать точкой или, еще чаще, вообще никак не обозначать! К примеру, «4(b – 3)» означает 4 умножить на (b – 3). Но ваш ребенок, вероятно, не встретит подобных обозначений до средней школы, поэтому, если математика у него в школе изучается не углубленно, не стоит вносить лишнюю путаницу и раньше времени знакомить его с этой идеей.)