Зрелость греческой математики

Период зрелости греческой математики начинается в эпоху Эллинизма (3 в. до н.э.).
Наиболее значительными фигурами этого периода были:

 

Евклид (315-255 г. до н.э.)

 

 

Евклид. Оксфордский университетский музей естественной истории

 

Автор многих работ по математике, оптике, и теории музыки. Главный его труд – «Начала». «Начала» Евклида представляют собой систематизированное изложение всех математических фактов, созданных древнегреческими математиками к этому времени, исключая теорию канонических сечений. «Начала» состоят из 13 книг (глав).
1-6 -планиметрия
7-9 -арифметика
10 -несоизмеримые величины и теория пропорций
11-13 -стереометрия

Есть предположения, что Евклид построил учебник логики в духе Платона-Аристотеля на математическом материале, этим в частности можно объяснить отсутствие всяких приложений математики в «Началах».

Интересно отметить следующее:

1. «Начала» являлись первой наиболее полной попыткой строгого логического построения математики (также попытки предпринимались до Евклида)

2.Вычислительная сторона математики полностью отсутствовала

3.Нет приложений

В первой книге 23 определения, которыми фактически Евклид не пользуется, 5 постулатов и 9 аксиом. Постулаты носили геометрический характер и начинались со слов "требуется". Они отражали возможности построений множеств плоскости с помощью циркуля и линейки. В древнегреческой математике существовали требования, идущие от Платона.

Математический объект считался существующим, если его удавалось построить с помощью циркуля и линейки. Знаменитые задачи древности с помощью циркуля и линейки решить не удавалось, поэтому они считались неразрешимыми.

Вычислительная сторона математики не была достойна внимания греческих мыслителей.

 

Диофант (ок. 3 в. до н.э.)

В конце II в. н.э. начинается закат греческой математики. Единственной яркой фигурой этого времени является Диофант. Главный труд Диофанта- «Арифметика», по предположению, состоит из 13 книг (глав)

Главные заслуги Диофанта:

1. Отказ от геометрической алгебры древних греков. Введение буквенной алгебры (в зачатом состоянии), алгебраической символики.

2. Расширение понятия числа.

3. Заложил основы теории неопределённых уравнений, которые приводят в последствии к теории чисел.

Если древнегреческая геометрическая алгебра имела дело со степенями не выше третьей, то Диофант это ограничение фактически снимает.

У Диофанта расширение понятия числа наряду с положительными числами появились отрицательные числа и отрицательные показатели степеней. Диофант аксиоматически вводит умножения степеней, которые в современной форме имеют вид X^m*X^n = X^(m+n)

Архимед (ок. 287-212 г. до н.э.)

 

 

Архимед был знаменитым механиком и математиком, главная особенность его математических работ в отличии от Евклида - приложение к механике. По математике Архимедом выполнены работы по вычислению площади и объёма (предварительно Архимед взвешивал различные пластины и тела), усовершенствовал метод исчерпывания, изложенным Евклидом -этим методом доказывается, что квадратуру круга, т.е. вычисление площади круга можно решить с помощью вписывания правильных многоугольников, неограниченно удваивая число их сторон, тогда площади таких многоугольников исчерпывают площадь круга.

Интегральные методы Архимед изложил в следующих работах.

1. «О шаре и цилиндре»

2. «О спиралях»

3. «О коноидах и сфероидах»

В этих работах он ввёл понятия верхних и нижних сумм.

В XIX веке эта идея воплощена Дарбу, разность площадей может быть сколь угодно малой при увеличении числа сторон вписанными и описанными окружностью.

В работах Архимеда содержатся и дифференциальные идеи, когда он рассматривает о максимальной функции и касательной к кривой.

 

Апполоний (260-170 г.до н.э.)

Главный его труд «Конические сечения», посвящённый изучению кривых второго порядка. Установил характерные свойства эллипса, гиперболы и параболы. Предшественником Апполония был Менехм (греческий математик, ок. IV в. до н.э.), который использовал конические сечения при решении задачи об удвоении куба. Менехм рассматривал сечения конусов плоскостью перпендикулярной образующим, при этом он рассматривал разные типы конусов - остроугольные, прямоугольные, тупоугольные, но углы наклона плоскостей к образующим разные, в результате для одного и того же конуса имеем различные конические сечения.

В работах Апполония просматривается идея координат, где точки кривой "привязываются " к серединам диаметра кривых. Название кривых - фокус и ассимптоты даны Апполонием.

 

Упадок античной науки

После Аполлония (со II века до н. э.) в античной науке начался спад. Новых глубоких идей не появляется. В 146 году до н. э. Рим захватывает Грецию, а в 31 году до н. э. - Александрию.

Среди немногочисленных достижений:
• открытие конхоиды (Никомед);
• известная формула Герона для площади треугольника (I век н. э.);
• содержательное исследование сферической геометрии Менелаем Александрийским;
• завершение геоцентрической модели мира Птолемея (II век н. э.), для чего потребовалась глубокая разработка плоской и сферической тригонометрии.

Необходимо отметить деятельность Паппа Александрийский (III век). Только благодаря ему до нас дошли сведения об античных учёных и их трудах.

На фоне общего застоя и упадка резко выделяется гигантская фигура Диофанта - последнего из великих античных математиков, «отца алгебры».

После III века н. э. александрийская школа просуществовала около 100 лет - приход христианства и частые смуты в империи резко снизили интерес к науке. Отдельные учёные труды ещё появляются в Афинах, но в 529 году Юстиниан закрыл Афинскую академию как рассадник язычества.

Часть учёных переехала в Персию или Сирию и продолжала труды там. От них уцелевшие сокровища античного знания получили учёные стран ислама.

Заключение

Греческая математика поражает прежде всего красотой и богатством содержания. Многие учёные Нового времени отмечали, что мотивы своих открытий почерпнули у древних. Зачатки анализа заметны у Архимеда, корни алгебры - у Диофанта, аналитическая геометрия - у Аполлония и т. д. Но главное даже не в этом. Два достижения греческой математики далеко пережили своих творцов.

Первое - греки построили математику как целостную науку с собственной методологией, основанной на чётко сформулированных законах логики.

Второе - они провозгласили, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели - ключ к их познанию.

В этих двух отношениях античная математика вполне современна.