Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2021-04-18 | 91 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Общие положения. Метод простой итерации
Как известно, в итерационных методах строится бесконечно повторяющийся процесс и если этот процесс сходится, то на каждом его шаге получают все более и более точное приближение к искомому решению данной системы уравнений.
Перепишем систему (4.1) в следующем виде:
(4.29)
или сокращенно:
, (i = 1, 2, …, n). (4.30)
Используя систему (4.29) и выбрав начальную точку (за начальное приближение часто берут столбец свободных членов системы (4.29))
), (4.31)
можно построить итерационную последовательность точек n -мерного пространства (аналогично методу простой итерации для скалярного уравнения ):
(4.32)
Оказывается, при определенных условиях последовательность (4.32) сходится и ее предел является решением системы (4.29), а именно, чтобы последовательность (4.32) была сходящейся, достаточно выполнения одного из названных ниже условий (выводятся на основе понятия метрическое пространство).
а) максимальная из сумм модулей коэффициентов при неизвестных в правой системы (4.29), взятых по строкам, должна быть меньше единицы:
. (4.33)
б) максимальная из сумм модулей коэффициентов при неизвестных в правой системы (4.29), взятых по столбцам, должна быть меньше единицы:
; (4.34)
заметим, возвращаясь к системе (4.1), данное условие записывают и так:
. (4.35)
в) сумма квадратов всех коэффициентов при неизвестных в правой системы (4.29) должна быть меньше единицы:
|
. (4.36)
Необходимо отметить, что каждое из условий (4.33) – (4.36) является достаточным для того, чтобы итерационный процесс (4.32) был сходящимся, а условие (4.34) (или (4.35)) является также и необходимым.
В случае, если, допустим, условие (4.35) не выполняется, то выбирают из уравнений системы такие уравнения, модули коэффициентов в которых больше суммы модулей остальных коэффициентов. Выбранные уравнения записывают так, чтобы наибольший по модулю коэффициент оказался диагональным. Остальные уравнения составляют с помощью линейной комбинации оставшихся и выбранных уравнений.
Пример 4.1. Для системы уравнений
; (a)
; (b)
; (c)
(d)
условие (4.35) выполняется только для (d): =6.
Преобразовать эту системе можно так.
Уравнение (с) нужно сделать вторым, так как в этом случае элемент, равный 7, станет диагональным и для него будет выполняться условие (4.35): =4. Первое уравнение получаем линейной комбинацией всех четырех уравнений: 2·c + b + + a +d, а третье – как (a) – (b).
В итоге получаем систему уравнений
,
,
,
,
у которой все диагональные элементы удовлетворяют условию (4.35).
Алгоритм метода простой итерации
1. Задаем >0 – точность результатов.
2. Систему (4.1) преобразуем в систему (4.29) так, чтобы выполнялись условия (4.33) – (4.36).
3. Задаем начальное приближение .
4. Подставив в систему (4.29), вычисляем первое приближение корня , далее, подставив в (4.29), вычисляем и т.д.
5. При достижении на некотором шаге условия (где ) прекращаем счет и за решение принимаем значение .
Метод Зейделя
Метод Зейделя является одним из широко применяемых итерационных методов. Выше отмечалось, что прежде чем приступить к решению системы линейных уравнений методом итераций, необходимо проверить систему на сходимость. Но для метода Зейделя разработана практическая процедура преобразования исходной системы (4.1), гарантирующей сходимость итерационного процесса, содержание которой заключается в следующем.
|
Представим систему (4.1) в матричной форме:
. (4.37)
Умножим левую и правую части системы (4.37) слева на :
. (4.38)
Обозначим в (4.38) , а , таким образом:
(4.39)
Систему (4.39) принято называть нормальной, для которой существует теорема: итерационный процесс Зейделя для системы (4.39) всегда сходится к единственному решению при любом выборе начального приближения.
Нормальную систему необходимо привести виду (4.35), допускающему осуществление итерационного процесса.
Задаем начальное приближение корня и начинаем счет.
Основная идея метода Зейделя состоим в том, что на каждом шаге итерационного процесса при вычислении значения учитываются уже полученные значения , ,..., :
(4.40)
И если задана допустимая погрешность вычисления , то условием выхода из итерационного процесса будет выполнение неравенства (i = 1, 2,..., n).
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!