Предмет курса, его цели и задачи.

ВВЕДЕНИЕ

План лекции

1. Предмет курса, его цели и задачи.

2. Философские аспекты теории моделирования.

3. Основные понятия курса.

4 Модели и их роль в изучении процессов функционирования экономических систем.

5. Математические предпосылки создания имитационной модели.

5.1. Метод Монте-Карло.

5.2. Процессы массового обслуживания в экономических системах. Потоки, задержки, обслуживание. Формула Поллачека-Хинчина.

6. Границы возможностей классических математических методов в экономике.

 

Предмет курса, его цели и задачи.

Курс "Имитационное моделирование экономических процессов" не относится к числу классических. Это сравнительно молодой предмет. Его интенсивное развитие произошло в 50-60-х годах нашего века и непосредственно связано с исследованием функционирования автозаправочных станций.

 Характерной чертой сложных социально-экономических систем является невозможность прямого применения традиционного классического метода исследования: проведение эксперимента с целью проверки теории. Мы не можем проводить эксперименты с промышленным предприятием, отраслью, страной. Нельзя провести эксперимент с объектом, который только разрабатывается.

Высокая сложность социально-экономических систем и протекающих в них процессов требует поиска новых методов исследования, прогнозирования развития этих систем и управления ими. В связи с этим в последние годы все более увеличивается роль имитационного похода при выполнении исследовательских работ в области социально-экономических систем и поиску рациональных управленческих решений. Имитационное моделирование становится признанным, порой и единственным, методом решения сложных задач анализа, оптимизации и управления экономическими объектами.

Метод имитационного моделирования и является предметом изучения в курсе "Имитационное моделирование экономических процессов", а овладение этим инструментом исследования экономических процессов и систем - целью изучения дисциплины. Главными задачами курса являются: Овладение приемами формализации и построения системных моделей экономических объектов, овладение приемами алгоритмизации моделей объектов, овладение приемами имитационных экспериментов на ЭВМ.

 

Основные понятия курса

Имитационное моделирование получило первоначальный толчок в ходе реализации космических программ. К настоящему времени накопленная обширная литература свидетельствует о росте использования и распространения метода имитационного моделирования для анализа почти всех сторон нашей жизни. Но особенно имитационное моделирование стало незаменимым при анализе сложных систем и управления ими.

Для успешного применения метода имитационного моделирования в решении практических задач, возникающих при разработке и организации функционирования сложных систем управления, важно осмыслить и овладеть комплексом понятий, выработанных на основе системных представлений. Для дальнейшего изложения курса рассмотрим наиболее важные из них.

Система. Это понятие в настоящее время является развивающимся как по форме так и по содержанию. Существует множество определений системы. Например, система есть множество элементов, образующих структуру и обеспечивающих определенное поведение в условиях окружающей среды. Однако, анализ определений системы показывает, что даже общее определение системы в конкретных системных концепциях является выражением свойств специфических объектов исследования. В дальнейшем определим систему как такую вещь, в которой установлено некоторое отношение (структура) с определенным свойством, соответствующим принятому исследователем смыслу (концепту).

Представление объектов в виде систем эффективно в том случае, если у них удается обнаружить особые признаки чисто системной природы и указать способ их изучения и использования.

Элемент. Под элементом принято понимать простейшую неделимую часть системы. Однако, ответ на вопрос, что является такой частью, неоднозначен и зависит от цели рассмотрения объекта как системы, от точки зрения на него или от аспекта его изучения. Таким образом под элементом следует понимать предел членения системы на части с точки зрения конкретной задачи, с точки зрения поставленной цели. Элементы также могут быть рассмотрены как системы, но это будут системы другого типа или уровня, чем исследуемая.

Элементы обладают связями, которые объединяют их в целостную систему. Элементы могут существовать только в связанном виде. Важнейшую роль в системных исследованиях играют системообразующие связи, благодаря которым все элементы системы оказываются связанными воедино.

Подсистема. Система может быть разделена на элементы не сразу, а последовательным расчленением на подсистемы, или единицы, которые представляют собой образования более крупное, чем элементы, но более детальные, чем система в целом. Подсистема способна выполнять относительно независимые функции и, следовательно, обладает функциональной спецификой целого. Система может быть представлена в виде совокупности подсистем, составляющих системную иерархию.

Группа элементов, для которой не сформулирована подцель и не выполняются свойства целостности, называется к о м п о н е н т о м.

Структура. Это понятие используется, когда элементов в системе оказывается очень много, они неоднородны и возникает необходимость многоступенчатого расчленения системы. С т р у к т у р а означает строение, расположение, порядок и отражает наиболее существенные взаимоотношения между элементами и их группами (компонентами, подсистемами).

Структуру часто стремятся представить в виде и е р а р х и и. Термин иерархия ("многоступенчатость","вложенность") определяет упорядоченность подсистем, компонентов по степени важности. Системная иерархия замыкается снизу предельной единицей (подсистемой), которая все еще сохраняет основные черты данной системы. Предельная единица может быть разложена только на элементы. Например, молекула аммиака не может быть разложена на молекулы, а только на атомы (т.е. элементы).

Совокупность единиц, принадлежащих одному горизонтальному ряду системной иерархии, называют уровнем иерархии. Между единицами системной иерархии, существуют горизонтальные и вертикальные отношения (функциональные связи).

Состояние. Понятием с о с т о я н и е обычно характеризуют мгновенную фотографию, "срез" системы, остановку её в развитии. Его определяют либо через входные воздействия и выходные сигналы, либо через макропараметры, макросвойства системы (например, давление, скорость, ускорение).

Поведение. Если система способна переходить из одного состояния в другое, то говорят, что она обладает поведением. Этим понятием пользуются, когда неизвестны закономерности переходов из одного состояния в другое. Часто смену состояний системы во времени рассматривают как процесс. Однако процесс можно рассматривать и как событие во множестве вложенных процессов, протекающих совместно и составляющих бытие. Процесс и событие отличаются масштабом величин. То, что на одном уровне иерархии (масштабов) является процессом, то на другом уровне это можно рассматривать как событие и наоборот.

Целостность. Закономерность целостности означает принципиальную несводимость свойств системы к сумме свойств составляющих её элементов и невыводимость из элементов свойств целого. Свойства системы зависят от свойств элементов, частей (изменение в одной части вызывает изменение во всех остальных частях и во всей системе).

Целостность и иерархичность являются фундаментальными свойствами всех систем.

 

Метод Монте-Карло

Статистические испытания по методу Монте-Карло представляют собой простейшее имитационное моделирование при полном отсутствии каких-либо правил поведения. Получение выборок по методу Монте-Карло - основной принцип компьютерного моделирования систем, содержащих стохастические или вероятностные элементы. Зарождение метода связано с работой фон Неймана и Улана в конце 1940-х гг., когда они ввели для-него название..«Монте-Карло» и применили его к решению некоторых задач экранирования ядерных излучений. Этот математический метод был известен и ранее, но свое второе рождение нашел в Лос-Аламосе в закрытых работах по ядерной технике, которые велись под кодовым обозначением «Монте-Карло». Применение метода оказалось настолько успешным, что он получил распространение и в других областях, в частности в экономике.

Однако, имитационное моделирование - это более широкое понятие, и метод Монте-Карло является важным, но далеко не единственным методическим компонентом имитационного моделирования.

Метод Монте-Карло основан на статистических испытаниях и по природе своей является экстремальным, может применяться для решения полностью детерминированных задач, таких, как обращение матриц, решение дифференциальных уравнений в частных производных, отыскание экстремумов и численное интегрирование. При вычислениях методом Монте-Карло статистические результаты получаются путем повторяющихся испытаний. Вероятность того, что эти результаты отличаются от истинных не более чем на заданную величину, есть функция количества испытаний.

В основе вычислений по методу Монте-Карло лежит случайный выбор чисел из заданного вероятностного распределения. При практических вычислениях эти числа берут из таблиц или получают путем некоторых операций, результатами которых являются псевдослучайные числа с теми же свойствами, что и числа, получаемые путем случайной выборки. Имеется большое число вычислительных алгоритмов, которые позволяют получить длинные последовательности псевдослучайных чисел.

Метод заключается в следующем: если r_i = 0,0040353607, то r_i+1 = {40353607r_i}}mod 1, где mod 1 означает операцию извлечения из результата только дробной части после десятичной точки. Как описано в различных литературных источниках, числа r_i начинают повторяться после цикла из 50 миллионов чисел, так что r_50000001 = r ₁, Последовательность r_i получается равномерно распределенной на интервале (0,1). Ниже будут рассмотрены более точные способы получения таких чисел со значительно большими периодами, а также пояснения, как в реальных моделях такие числа становятся практически случайными.

Применение метода Монте-Карло может дать существенный эффект при моделировании развития процессов, натурное наблюдение которых нежелательно или невозможно, а другие математические методы применительно к этим процессам либо не разработаны, либо неприемлемы из-за многочисленных оговорок и допущений, которые могут привести к серьезным погрешностям или неправильным выводам. В связи с этим необходимо не только наблюдать развитие процесса в нежелательных направлениях, но и оценивать гипотезы о параметрах нежелательных ситуаций, к которым приведет такое развитие, в том числе и параметрах рисков.

 

Примеры.

а) Автозаправочная станция (линия – бензоколонка, заявки – машины).

б) Телефонная станция (линии – каналы связи, заявки – вызовы абонента).

в) Парикмахерская (линии – мастера, заявки – клиенты).

Системы массового обслуживания (СМО) - это обобщенное название объектов определенной структуры, имеющих заданные связи и взаимодействующие ("обслуживающие") с неограниченным числом перемещаемых особых объектов, называемых "требованиями" или "заявками" [5]. В качестве типичного примера СМО принято рассматривать телефонную сеть, имеющей в качестве связанных элементов структуры - коммутаторы, а в качестве требований - телефонные вызовы. Более современный пример - сеть ЭВМ, для обмена пакетами информации. Структура простейшей СМО и пример более сложной структуры приведены на рис.1.1

         

Рис.1.1. Структура простейшей и более сложной СМО.

 

Основные элементы СМО: Р - входной поток требований, d 1 - очередь (накопитель) поступающих требований, Z 1 – обслуживающая система, Q – поток обслуженных требований, R1 - элемент деления потока требований, R2 - элемент организации обратного потока требований. Процесс обслуживания каждого i-того требования в простейшей СМО характеризуется следующими моментами времени:  - время прибытия,  - начало обслуживания,  - время конца обслуживания.

Входной поток требований P задаётся вектором , компонентами которого являются интервалы между поступающими заявками. Каждому поступившему требованию соответствует некоторая длительность его пребывания в очереди  и длительность обслуживания , которые образуют соответственно вектора  и . Перечисленные параметры описывают процесс прохождения требования через два уровня СМО, что иллюстрирует диаграмма на рис.1.2.

Рис.1.2. Диаграмма процесса работы простейшей СМО.

 

Время прибытия  требования равно:

.

Время конца обслуживания  требования определяется выражением:

Для индикации факта нахождения  требования в СМО используется функция присутствия требования к системе:

,

где t – текущее непрерывное время.

Количество требований в системе в момент времени t определяется следующим образом:

.

Дисциплина СМО - это порядок принятия заявок в очередь или к обслуживанию.

СМО является системой с отказами, если в ней существуют очереди с ограниченным временем пребывания заявки. После истечения допустимого интервала заявки могут исчезать из системы или возвращаться к её входному потоку. Возможные правила дисциплин:

1. Линии занимаются в порядке прибытия заявок.

2. Заявки извлекаются из очереди в произвольном порядке.

3. Заявки применяются к обслуживанию по минимальному остатку длительности ожидания.

4. Заявки принимаются к обслуживанию, по какому-либо вторичному признаку заявки.

Моменты поступления требований и длительности их обслуживания - случайные величины. Если законы распределения этих случайных величин известны, то используется следующая система обозначений простейших СМО:

A / B / m / K / M,

где А - тип закона распределения интервалов между соседними требованиями,

В - тип закона распределения длительности обслуживания требований,

m - количество однотипных параллельных обслуживающих систем,

К - емкость накопителя (очереди),

М - мощность источника требований (количество телефонных аппаратов, подключенных к коммутатору).

    Обозначение типов законов распределения:

 - показательное распределение: ,

 - распределение Эрланга,

- гипергеометрическое распределение,

 - равномерное распределение,

 - произвольное распределение.

    Основные соотношения теории СМО:

 - где  - коэффициент использования СМО,  - средняя скорость поступления требований,  - среднее время обслуживания.

 - коэффициент использования СМО, состоящей из  приборов.

 - условия стабильности работы СМО.

 - среднее время пребывания требования в системе, W – среднее время пребывания в очереди.

 - формула Литтла,  - среднее число требований в системе.

 - средняя длина очереди.

Рассмотрим пример использования треугольного распределения. Пример связан с динамическими характеристиками системы управления базами данных (СУБД) в экономической информационной системе.

Пример. Предположим, что база данных находится на компьютере, не входящем в состав какой-либо вычислительной" сети. Поэтому пользователь, работающий с этой базой, имеет во время работы монопольный доступ к ней. Известны структуры и частоты запросов пользователей к этой базе данных. Рассмотрим три случая физической организации базы данных (рис. 1.3).

 

 

Рис.1.3. График плотности вероятностей для треугольного распределения:

1 - максимум слева; 2 - максимум в центре; 3 - максимум справа

Первый случай. Допустим, что администратор базы данных (системный программист) осуществил физическую организацию данных, которая обладает следующими свойствами:

• наиболее вероятное время ответа на запрос близко к 0 с;

• минимальное вероятное время ответа не менее 0 с;

• максимальное вероятное время ответа не превьппает 15 с;

• распределение вероятностей представлено линией 1 на рис. 1.6.

Этот системный программист обеспечил минимальное время для наиболее вероятных запросов за счет увеличения времени для менее вероятных. Среднее время получения ответа в этом случае t = 5 с.

Второй случай. Администратор базы данных по просьбе пользователей

решил уменьшить время ответа на те запросы, которые редко возникают. Для этого он переделал физическую организацию данных и получил следующие ее свойства:

• наиболее вероятное время ответа на запрос равно 5 с;

• минимальное вероятное время ответа не менее 0 с;

• максимальное вероятное время ответа не преЬьпиает 10 с;

• распределение вероятностей показано линией 2 на рис. 1.6.

Таким образом, системный программист обеспечил снижение времени ответа для менее вероятных запросов за счет увеличения времени ответа для наиболее в^оятных. Среднее время получения ответа осталось тем же: t = 5 с.

Третий случай. Администратор базы данных решил еще более уменьшить время ответа на менее вероятные запросы. Для этого он опять переделал физическую организацию данных и получил следующие свойства:

• наиболее вероятное время ответа на запрос равно 7,5 с;

• минимальное вероятное время ответа не менее 0 с;

• максимальное вероятное время ответа не превышает 7,5;

• распределение вероятностей изображено линией 3 на рис. 1.6.

Этот системный программист обеспечил дальнейшее снижение времени ответа для менее вероятных запросов за счет увеличения времени ответа для более вероятных. Среднее время получения ответа и в этом случае не изменилось: t = 5 с.

Возникает естественный вопрос: «Какая физическая организация лучше?». Если отбросить факторы, определяющие большую или меньшую важность запросов, и вспомнить, что база данных не имеет множественного доступа из вычислительной сети, то можно утверждать, что все три способа организации данных одинаковы, так как пользователи этой базы имеют одно и то же среднее время ответа.

Однако если подключить компьютер с нашей базой к локальной вычислительной сети и разрешить доступ к базе данных большому числу пользователей этой сети из рабочих компьютеров этих пользователей, то необходимо учитывать возникновение очереди запросов к базе данных при ее монопольном использовании. Предположим, что число пользователей довольно велико и выполняются условия предельной теоремы о суперпозиции потоков событий (в нашем случае возникновение запроса к базе данных – это событие). Тогда поток запросов к базе простейший (экспоненциальное распределение интервала поступления). Поэтому выполняются условия, при которых справедлива следующая формула для

оценки средней задержки запросов в очереди (формула Поллачека- Хинчина):

где t _q - искомая средняя задержка в очереди; t_s - среднее время обслуживания;

 - загрузка обслуживающего узла (); с _s;- коэффициент вариации времени обслуживания.

Если известно среднеквадратичное отклонение времени обслуживания

, то c _s = / t_s. В трех рассмотренных случаях t _s = t = 5c. Загрузка не изменяется, так как поток запросов к базе данных тот же самый. Однако разброс значений в первом случае примерно в 3 раза больше, чем в третьем. Соответственно с _s может быть больше приблизительно в 9 раз (т.е. на порядок!), а это часть множителя в числителе формулы.

После этого можно сделать вывод, что задержка в очереди в первом

случае будет значительно больше, чем в третьем. Во втором случае задержка в очереди также будет превосходить задержку, возникающую в третьем случае. Поэтому наиболее рациональным относительно возникающих задержек является третий способ организации базы данных.

 

ВВЕДЕНИЕ

План лекции

1. Предмет курса, его цели и задачи.

2. Философские аспекты теории моделирования.

3. Основные понятия курса.

4 Модели и их роль в изучении процессов функционирования экономических систем.

5. Математические предпосылки создания имитационной модели.

5.1. Метод Монте-Карло.

5.2. Процессы массового обслуживания в экономических системах. Потоки, задержки, обслуживание. Формула Поллачека-Хинчина.

6. Границы возможностей классических математических методов в экономике.

 

Предмет курса, его цели и задачи.

Курс "Имитационное моделирование экономических процессов" не относится к числу классических. Это сравнительно молодой предмет. Его интенсивное развитие произошло в 50-60-х годах нашего века и непосредственно связано с исследованием функционирования автозаправочных станций.

 Характерной чертой сложных социально-экономических систем является невозможность прямого применения традиционного классического метода исследования: проведение эксперимента с целью проверки теории. Мы не можем проводить эксперименты с промышленным предприятием, отраслью, страной. Нельзя провести эксперимент с объектом, который только разрабатывается.

Высокая сложность социально-экономических систем и протекающих в них процессов требует поиска новых методов исследования, прогнозирования развития этих систем и управления ими. В связи с этим в последние годы все более увеличивается роль имитационного похода при выполнении исследовательских работ в области социально-экономических систем и поиску рациональных управленческих решений. Имитационное моделирование становится признанным, порой и единственным, методом решения сложных задач анализа, оптимизации и управления экономическими объектами.

Метод имитационного моделирования и является предметом изучения в курсе "Имитационное моделирование экономических процессов", а овладение этим инструментом исследования экономических процессов и систем - целью изучения дисциплины. Главными задачами курса являются: Овладение приемами формализации и построения системных моделей экономических объектов, овладение приемами алгоритмизации моделей объектов, овладение приемами имитационных экспериментов на ЭВМ.