Построение моделей расчёта характеристик м ногоканальных систем массового обслуживания

Практика моделирования, анализа и исследования экономических процессов (производственных, транспортных, логистических, процессов в сфере обслуживания) показывает, что более актуальными, отражающими реальные физические и информационные процессы в различных областях человеческой деятельности, являются модели многоканальных СМО с различными нюансами –– отказы, ограничения длительности очередей, времени ожидания в очереди или пребывания в системе и т.д. Далее на примере конкретных задач рассмотрим три типовые схемы многоканальных СМО, характеристики которых могут быть рассчитаны методами теории массового обслуживания.

Многоканальная СМО с отказами

Задача 1. На вход трехпроцессорной вычислительной системы поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ заявок в минуту. Среднее время обработки заявки в процессоре равно Тобр минут (для построения АМ принимаются – см. понятие простейшего потока случайных величин - только экспоненциальные распределения входных потоков и потоков обслуживания). Заявка, поступающая в систему при занятости всех процессоров, удаляется из системы без обслуживания: система М/М/3/0. Структурная схема представлена на Рисунке 4.4. Граф состояний системы показан на Рисунке 4.5.

Найти следующие характеристики системы: вероятности простоя системы и отказа обслуживания в системе, вероятности других состояний системы, среднее число занятых процессоров, относительную и абсолютную пропускную способность системы и др.

В соответствии с условием задачи все процессоры однородны, то есть имеют одинаковые свойства и функциональные возможности обслуживания заявок, работают независимо друг от друга, но нельзя их выделять – первый, второй канал…, нет, это единое целое – многоканальное устройство (МКУ), в котором в процессе функционирования может быть занят один канал, или два, или три канала, …, или n каналов – в n-канальном устройстве. 

Рисунок 4.4 –– Условное обозначение трехканальной системы с отказами

Состояния системы:

1. S ₀ –– все процессоры свободны.

2. S ₁ –– один процессор работает.

3. S ₂ ––два процессора работают.

4. S ₃ ––три процессора работают.

Рисунок 4.5 ––  Граф состояний системы М/М/3/0

По графу состояний построим систему уравнений Колмогорова (количество алгебраических уравнений равно количеству состояний в графе):

S ₀: – λ P ₀+μ P ₁ = 0;

S ₁: + λ P ₀ – (λ+μ) P ₁ + 2μ P ₂ = 0;

S ₂: λ P ₁ – (2μ+λ) P ₂+3μ P ₃ = 0;

S ₃: λ P ₂ – 3μ P ₃ = 0.

К этим уравнения надо добавить нормирующее уравнение, соответствующее тому факту, что в любой момент времени функционирования системы она может и должна находиться в одном из этих состояний P ₀, P _1, P _2, P ₃:

P ₀+ P ₁+ P ₂+ P ₃ = 1.

Аналитический расчет характеристик системы с отказами:

P ₀  = = ;

;     P _отк = P ₃;

–– относительная пропускная способность системы;  

––  абсолютная пропускная способность системы;  

–– среднее число работающих процессоров.