Электрическое поле заряженной плоскости

Пример 2.6. Используя формулировку электростатической теоремы Гаусса, покажите, что в любой точке поля, созданного бесконечной плоскостью, заряженной с постоянной поверхностной плотностью s, величина напряженности электрического поля вычисляется по формуле . Введите ось Х перпендикулярно заряженной плоскости с началом отсчета на плоскости. Изобразите график E_x (x).

Решение.

В силу симметрии распределения заряда вектор напряженности электрического поля в произвольной точке вблизи заряженной поверхности направлен перпендикулярно самой поверхности, а его величина в равноудаленных от поверхности точках одинакова. Поэтому линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны (Рис.2.5а). Учитывая это, в качестве замкнутой гауссовой поверхности выберем поверхность цилиндра, основания которого параллельны и симметричны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Согласно теореме Гаусса:

.

Поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь боковую поверхность цилиндра и потокам сквозь оба его основания:

.

Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности , то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю:

,

поэтому полный поток сквозь поверхность цилиндра равен сумме потоков сквозь его основания:

.

Заряд q, заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности, равен . Согласно теореме Гаусса , откуда

.

Из полученной формулы видно, что напряженность электрического поля  во всех точках пространства одинакова по модулю, то есть поле равномерно заряженной плоскости однородно в каждом полупространстве (Рис.2.5б).

Рис.5а	Рис.5б

Пример 2.7.

Электрическое поле создано двумя параллельными заряженными тонкими пластинами с поверхностными плотностями заряда  и . Площадь каждой пластины S, расстояние между пластинами d значительно меньше их продольных размеров. Определите:

а) напряженность электрического поля, созданного этими пластинами,

б) силу, с которой одна пластина действует на другую. 

Решение.

 а) Согласно принципу суперпозиции, поля, создаваемые каждой заряженной пластиной в отдельности, накладываются друг на друга, причем каждая заряженная пластина создает электрическое поле независимо от присутствия другой заряженной пластины (Рис.6а). На рисунке верхние стрелки соответствуют векторам напряженности поля от положительно заряженной пластины, нижние – от отрицательно заряженной пластины. Напряженности однородных электрических полей, создаваемых положительно и отрицательно заряженными пластинами, соответственно равны:

, .

Слева и справа от пластин векторы напряженности поля пластин направлены противоположно друг другу. Поэтому величина напряженности результирующего поля равна разности напряженностей полей пластин:

.

В области между пластинами векторы напряженности направлены в одну сторону, поэтому результирующая напряженность равна

.

Направления векторов результирующего поля показаны жирными стрелками на Рис.6а.

б) Заряд  отрицательно заряженной пластины находится в поле, созданном зарядом положительно заряженной пластины. Следовательно, на отрицательный заряд действует сила (Рис.6б)

,

где - напряженность поля, создаваемого зарядом положительно заряженной пластины.

Аналогично можно определить силу, которая действует на положительно заряженную пластину, находящуюся в поле отрицательно заряженной пластины

 ,

где - напряженность поля, создаваемого зарядом отрицательно заряженной пластины.

Силы, с которыми пластины действуют друг на друга, равны по величине

.

Рис.6а	Рис.6б

Пример 2.8.

Определите, какая сила будет действовать на отрицательно заряженную тонкую пластину с поверхностной плотностью заряда  со стороны помещенных параллельно ей справа и слева от нее на одинаковых расстояниях d тонких пластин с поверхностными плотностями заряда  и .

Решение.

Воспользуемся результатом предыдущей задачи. Сила, с которой положительно заряженная с поверхностной плотностью  пластина действует на отрицательно заряженную  пластину, равна:

,

направление силы показано на Рис.7. Аналогично, сила, с которой отрицательно заряженная с поверхностной плотностью  пластина действует на отрицательно заряженную  пластину, равна:

.

Направление силы показано на Рис.7. Силы, действующие на среднюю пластину со стороны крайних,  и  равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому, согласно принципу суперпозиции результирующая сила F, действующая на среднюю пластину со стороны крайних равна

.

Рис.7

 

При условии, что площадь каждой пластины S значительно больше расстояний между пластинами d, сила, действующая со стороны крайних пластин на среднюю, не зависит от положения пластин.