Часть 3. «Итоговое повторение»

Признаки делимости. НОД и НОК чисел

Действия с обыкновенными дробями

Пропорции. Решение уравнений и задач с помощью пропорции

Действия с рациональными числами

Решение заданий повышенной сложности по теме «Признаки делимости»

Решение заданий повышенной сложности по теме «НОД и НОК»

Решение заданий повышенной сложности по теме «Действия с обыкновенными дробями»

Решение заданий повышенной сложности по теме «Задачи с обыкновенными дробями»

Решение заданий повышенной сложности по теме «Совместные действия с десятичными и обыкновенными дробями»

Решение заданий повышенной сложности по теме «Пропорции»

Решение заданий повышенной сложности по теме «Действия с рациональными числами»

Решение заданий повышенной сложности по теме «Уравнения с рациональными числами»

Контрольная работа за учебный год. Работа над ошибками

Примерные виды деятельности обучающихся:

– объяснение значения понятий (формулирование определений) делителя и кратного, простого и составного числа, свойства и признаки делимости;

– доказательство и опровержение с помощью контрпримеров утверждения о делимости чисел;

– решение текстовых задач арифметическими способами;

– иллюстрирование теоретико-множественных и логических понятий с помощью диаграмм Эйлера – Венна;

– формулирование основного свойства обыкновенной дроби, правил сравнения, сложения и вычитания обыкновенных дробей;

– чтение (грамматически верное) записей неравенств, содержащих обыкновенные дроби, суммы и разности обыкновенных дробей;

– анализ текста задачи, переформулировка условия, извлечение необходимой информации, моделирование условия при помощи визуальных опор (схем, рисунков, реальных предметов);

– построение логических цепочек рассуждений;

– критическая оценка полученного ответа, осуществление самоконтроля;

– проведение несложных исследований, связанных со свойствами дробных чисел, опираясь на числовые эксперименты (в т.ч. с использованием калькулятора, компьютера);

– подбор и приведение примеров использования в окружающем мире положительных и отрицательных чисел (температура, выигрыш – проигрыш, выше – ниже уровня моря и т. п.);

– подбор и приведение примеров конечных и бесконечных множеств. И др.

Примерная тематическая и терминологическая лексика

Примерные слова и словосочетания

Делители и кратные. Обыкновенные дроби. Решение задач с помощью уравнений. Признаки делимости на 2. Делитель натурального числа, кратное натурального числа, остаток, делимость, простые и составные числа. Разложение на множители, разложение на простые множители, общий делитель, наибольший общий делитель натуральных чисел. Взаимно простые числа, наименьшее натуральное число, наименьшее общее кратное натуральных чисел. Числитель, знаменатель, основное свойство дроби, равенство дробей, равная дробь, деление числителя и знаменателя, сокращение дроби, несократимая дробь, наибольший общий делитель числителя и знаменателя. Пары взаимно простых чисел. Общий знаменатель, дополнительные множители, наименьший общий знаменатель, наименьшее общее кратное знаменателя. Десятичная дробь. Сравнение, сложение и вычитание дробей. Сравнение дробей с одинаковыми числителями и разными знаменателями. Дроби с разными знаменателями. Нахождение значения выражения. Задачи на сложение и вычитание дробей. Смешанные числа. Переместительное свойство сложения, сочетательное свойство сложения, сложение целых частей, сложение дробных частей, дробные части, неправильная дробь, числовые выражения, упрощение числовых выражений, буквенные выражения, упрощение буквенных выражений. Уравнения со смешанными числами. Теория чисел. Умножить дробь на натуральное число, умножить дробь на дробь. Произведение числителей, произведение знаменателей. Нахождение дроби от числа, умножить дробь на число. Проценты. Свойства умножения, распределительное свойство умножения. Свойства умножения относительно сложения. Взаимно обратные числа. Деление дроби на дробь. Число обратное делителю. Деление смешанного числа на дробь, деление смешанных дробей. Правило нахождения числа по данному значению его дроби. Числитель дробного выражения, знаменатель дробного выражения, упрощение дробного выражения. Алгебраические дроби. Числовые и буквенные выражения. Частное двух чисел. Пропорции, крайние члены пропорции, средние члены пропорции, верные пропорции, основное свойство пропорции, перестановка членов пропорции, неизвестный член пропорции. Прямо пропорциональные величины, обратно пропорциональные величины. Масштаб карты, отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности, длина окружности, площадь круга, шар, радиус шара, диаметр шара, сфера.

Прямая, координаты, координатная прямая, координатный луч, начало координат. Положительные числа, отрицательные числа. Цилиндр, основание цилиндра. Противоположные числа, целые числа, взаимно обратные числа, модуль числа, модуль положительного и отрицательного числа. Неизвестный член пропорции. Уменьшение и величины. Перемещение точки на координатной прямой, отрицательное и положительное перемещение точки по координатной прямой. Правило сложения чисел с разными знаками. Перемножить отрицательные числа, перемножить два числа с разными знаками. Разделить отрицательное число на отрицательное. Модуль делимого, делителя, частного. Деление чисел с разными знаками. Правила умножения и деления чисел с разными знаками. Целое число, натуральное число, рациональные числа, периодические дроби, десятичная дробь. Сумма, разность, произведение рациональных чисел. Частное двух рациональных чисел, сложение рациональных чисел, переместительное и сочетательное свойство сложения рациональных чисел, умножение рациональных чисел. Распределительное свойство умножения относительно сложения. Коэффициент, числовой коэффициент. Подобные слагаемые, приведение подобных слагаемых. Сочетательный закон при решении уравнений. Алгебра. Пересечение прямых углов, перпендикулярные прямые, чертёжные инструменты, непересекающиеся прямые, параллельные прямые. Система координат на плоскости, начало координат, координатная плоскость, абсцисса, ордината, ось абсцисс, ось ординат, диаграмма, столбчатая диаграмма, построение диаграммы, графики, график движения, положение точки на плоскости.

Примерные фразы

Покажи (напиши, назови, начерти …); я (он) написал (начертил, решил, сделал вычисления…).

Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Остаток в этом случае равен последней цифре числа.

Сокращением дроби называют деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы.

Я научился(ась) сравнивать, складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями.

Когда я умножал(а) дробь на натуральное число, что сначала на это число я умножил(а) её числитель. Знаменатель я оставил(а) без изменения.

Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение показывает, во сколько первое число большего второго или какую часть первое число составляет от второго.

Мы нашли правила размещения чисел в полукругах и вставили недостающие числа.

Дробным выражением называют частное двух чисел или выражений, в котором знак деления обозначен чертой.

Числа со знаком «+» называют положительными.

Числа со знаком «–» называют отрицательными.

Положительное направление отмечают стрелкой.

Координатной прямой называют прямую с выбранными на ней началом отсчёта, единичным отрезком и направлением.

Число, показывающее положение точки на прямой, называют координатой этой точки.

Противоположными числами называют два числа, отличающиеся друг от друга только знаками.

Целыми числами называют натуральные числа, противоположные им числа и 0.

Чтобы сложить два отрицательных числа сначала надо сложить их модули. Затем надо поставить перед полученным числом знак «–».

Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо сначала из большего модуля слагаемых вычесть меньший. Затем надо поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.

Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак «–».

Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.

Две прямые, образующие при перечислении прямые углы, называют перпендикулярными.

Примерные выводы

Каждое число можно представить в виде суммы полных десятков и единиц. Например: 357 = 350 + 7, 1821 = 1820 + 1. Так как полные десятки делятся на 5, то и всё число делится на 5 лишь в том случае, когда на 5 делится число единиц. Это возможно только тогда, когда в разряде единиц стоит цифра 0 или 5.

Я узнал(а) о том, что если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 5. Но если запись числа оканчивается другой цифрой, то число без остатка на 5 разделить невозможно.

Я знаю (узнал(а), запомнил(а), выучил(а), повторяю), как найти наибольший общий делитель натуральных чисел. Сначала разложить их на простые множители. Потом из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел. После этого нужно найти произведение оставшихся множителей.

Я понял(а), что наибольшее число, на которое можно сократить дробь, – это наибольший общий делитель её числителя и знаменателя.

Я знаю, что для сравнения (сложения, вычитания) дробей с разными знаменателями надо выполнить следующие действия. Сначала нужно привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю. Потом нужно сравнить (сложить, вычесть) полученные дроби.

Я знаю (понял(а), прочитал(а), запишу вывод о том), что начало отсчёта, или начало координат, – точка О изображает нуль. Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным. Оно отделяет положительные числа от отрицательных.

С координатной прямой мы встречаемся на уроках истории, когда работаем с «лентой времени». Шкала с положительными и отрицательными числами и нулём есть у термометров.

Мы пришли к выводу о том, что для каждого числа есть только одно противоположное ему число. Число 0 противоположно самому себе.

Я записал(а), что модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и для нуля он равен самому числу. Для отрицательного числа он равен противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули: [– a] = [a]

Я выполнил(а) задание. При выполнении задания я рассуждал(а) так: чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя.

Я помню, что при делении нуля на любое число, не равное нулю, получается нуль. На нуль делить нельзя.

Я решил(а) пример. При решении я рассуждал(а) так: если выражение является произведением числа и одной или нескольких букв, то это число называют числовым коэффициентом, или просто коэффициентом.

АЛГЕБРА

КЛАСС

(3-й год обучения на уровне ООО)

Повторение

Повторение и систематизация изученного

Контрольная работа по теме «Повторение» (стартовая диагностика, входное оценивание)

Раздел «Дроби и проценты»

Сравнение дробей

Вычисления с рациональными числами

Степень с натуральным показателем

Задачи на проценты

Статистические характеристики

Обобщающее повторение и контроль по тематическому разделу. Работа над ошибками