Биномиальный закон распределения ДСВ

      Пусть производятся повторные независимые испытания. Для каждого отдельного испытания вероятность появления события А равна p, а вероятность его непоявления q = 1 – p. Всего производится n испытаний, при этом событие А может наступить ровно k раз, где k = 0, 1, 2 … n. Очевидно, что k – дискретная случайная величина, причем вероятности для каждого значения k находят по формуле Бернулли:

(k)= = .

      Биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения случайной величины Х = k, числа наступлений события А в n повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p.

     Биномиальный закон распределения задается таблицей:

 

X = k	0	1	2	…	k	…	n
Pn (k)	qn	С n 1 p 1 qn - 1	С n 2 p2 qn - 2	…	С n k pk qn - k	…	pn

          Здесь сумма всех вероятностей равна единице:

         Если случайная величина X = k распределена   по биномиальному закону, то ее основные характеристики  можно найти по формулам:

 

   –   математическое ожидание  М (Х) = n · p;

   – дисперсия D (X) = n · p · q;

  –  среднее квадратическое отклонение  σ(Х) = .

 

 Пример 8. Найти математическое ожидание, дисперсию и СКО числа выигрышных лотерейных билетов, если всего куплено 200 билетов, причем выигрышных  билетов 1,5 %.

    Решение. Обозначим событие А – выпадение выигрыша на один купленный лотерейный билет. Куплено n = 200 билетов, каждый раз вероятность выигрыша р = 0,015, тогда вероятность проигрыша для каждого билета   q = 1– 0,015 = 0,985.

     Случайная величина Х = k – количество выигравших билетов, распределена по биномиальному закону. Поэтому:

  –   математическое ожидание  М (Х) = n · p = 200·0,015 = 3;

 –дисперсия D (X) = n · p · q  = 200·0,015·0,985 = 2,955;

  –   среднее квадратическое отклонение σ(Х) = ≈ 1,719.

    Таким образом, наиболее ожидаемое количество выигрышных билетов   k ≈ 3 ± 1,719, т. е. в диапазоне от 1,28 до 4,719, округленно   –   от 1 до 5 (из 200).

 

5.7. Понятие о законе больших чисел [3]

     Под законом больших чисел в широком смысле понимают общий принцип, согласно которому совокупное действие большого количества случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая. Другими словами, при большом количестве случайных величин их средний результат предсказуем.

     Под законом больших чисел в узкомсмысле понимают ряд математических теорем и предложений. Одно из таких предложений – неравенство Чебышева.

     Для любой случайной величины Х, имеющей математическое ожидание М (Х) = а и дисперсию D (X) = σ², справедливо неравенство:

                        Р (   Х – М (Х) ≤ ε)  ≥ 1 – .

     Это неравенство дает нижнюю границу оценки вероятности того, что значения случайной величины Х отклоняются от своего среднего значения М (Х) по абсолютной величине не более, чем на заданную величину ε.

      Если случайная величина Х = k имеет биномиальное распределение, то её математическое ожидание М (Х) = np, а дисперсия D (X) = npq. Тогда неравенство Чебышева примет вид:

Р ( k – np  ≤ ε)  ≥ 1 – .

     Пример 9.  Средний расход воды на ферме составляет 1000 л в сутки, а СКО этой случайной величины не превышает 200 л. Оценить вероятность того, что суточный расход воды на ферме не превзойдет 2000 л.       

     Решение. Для оценки вероятности используем неравенство Чебышева. Пусть случайная величина Х – суточный расход воды на ферме в литрах. Диапазон ее значений 0 ≤ Х ≤ 2000. По условию задачи М (Х) = 1000, т. е. значения Х отклоняются от среднего значения М (Х) = 1000 в обе стороны на 1000 л.

     Действительно, т. к.   0 ≤ Х ≤ 2000,  то вычитая из всех частей неравенства по 1000, получим:   – 1000 ≤ Х – 1000 ≤ 1000, или Х – 1000  ≤ 1000,   а значит, ε = 1000.

    Учитывая, что D (X) = σ² = 200² = 40 000, а  = 1000² =        1 000 000, с помощью неравенства Чебышева, находим:

Р (0 ≤ Х ≤  2000) = Р (   Х –1000  ≤ 1000) ≥ 1 –  = 0,96 (96%).

    Таким образом, вероятность того, что суточный расход воды на ферме не превзойдет  2000 л, не менее 96%.

 Решение типовых задач [8]

Задача 1. В лотерее на каждые 100 билетов приходится 2 билета с выигрышем по 500 руб., 5 билетов по 200 руб., 10 билетов по 100 руб., 20 билетов по 50 руб. и 25 билетов по 30 руб. Остальные билеты невыигрышные. Составьте закон распределения величины выигрыша для владельца одного билета и найдите его основные характеристики.

Решение. Обозначим X руб. – величина выигрыша на один билет. Очевидно, что X – ДСВ. Составим закон распределения этой случайной величины, перечислив все ее возможные значения и найдя соответствующие им вероятности.

     По условию задачи количество выигрышных билетов из 100 составляет: 2 + 5 + 10 + 20 + 25 = 62, значит, число невыигрышных билетов равно: 100 – 62 = 38.

 Располагая значения величин возможного выигрыша x_i в порядке возрастания, получим следующую таблицу:

xi	0	30	50	100	200	500
р i	0,38	0,25	0,20	0,10	0,05	0,02

Здесь р ₁ = Р (Х = 0) =  = 0,38; р ₂ = Р (Х = 30) = = 0,25 и т. д.

Математическое ожидание случайной величины X:

= 0·0,38 + 30·0,25 + 50·0,2 + 100·0,1 + 200·0,05 + 500·0,02 = 47,5.

    Таким образом, ожидаемый средний выигрыш на 1 билет составляет 47,5 руб.

Дисперсию случайной величины найдем двумя способами:

                        

=(0– 47,5)²·0,38+ (30– 47,5)²·0,25 +(50–47,5)²·0,20 +(100–47,5)²·0,10+

+(200– 47,5)²·0,05 +(500–47,5)²·0,02 =

= 857,38+ 76,56+ 1,25+ 275,62+ 116,281+ 4095,12 = 6468,74.

 

 

                             2) D (X) = М (Х ²) – М ²(Х), где

=0² ·0,38  + 30² ·0,25 + 50² ·0,2 + 100² ·0,10 + 200² ·0,05 + 500² ·0,02 = = 0 + 225 + 500 + 1000 + 2000 + 5000 = 8725.

    Тогда: D (X) = 8725 – (47,5)² = 8725 – 2256,25 = 6468,75.

    Очевидно, что результаты вычислений дисперсии по обоим способам совпадают.

   Среднее квадратичное отклонение:

σ(Х) =  =  ≈ 80,4285.

    Таким образом, s ≈ 80,43 руб. – характеристика рассеяния фактических значений выигрыша от найденного среднего значения    а = 47,5 руб., т. е. основные значения случайной величины выигрыша  47,5 ± 80,43 руб.

 

       Задача 2.  Дискретные независимые случайные величины Х  и   Y  заданы законами распределения вероятностей:

xi	1	2	3					yi	– 1	5
pi	0,2	0,6	0,2					pi	0,4	0,6

 

 

    Вычислите математическое ожидание, дисперсию и СКО случайной величины Z = 3 X –2 Y + 1.

       Решение. По заданным законам распределения найдем математическое ожидание и дисперсию случайных величин Х и Y:

М (Х) = 1·0,2+2·0,6+3·0,2 = 2;         М (Y) = (–1)·0,4+5·0,6 = 2,6;

М (Х ²) = 1²·0,2+2²·0,6+3²·0,2 = 4,4; М (Y ²) = (–1)²·0,4+5²·0,6 = 15,4;

D (X) = 4,4 – 2² = 0,4;                          D (Y) = 15,4 – 2,6² = 8,64.

     Используя свойства математического ожидания и дисперсии, найдем характеристики случайной величины: Z = 3 X –2 Y + 1.

M (Z) = M (3 X – 2 Y +1) = 3· M (X) – 2· M (Y) + M (1) =

= 3·2 –2·2,6 +1 = 6 –5,2+1= 1,8;

D (Z) = D (3 X – 2 Y+ 1) = 3²· D (X) + (– 2)²· D (Y) + D (1) =

= 9·0,4 + 4·8,64 + 0 = 38,16;

σ(Z) =  ≈ 6,177.

 

      Задача 3. Составьте закон распределения случайной величины Х – количества попаданий в цель при четырех выстрелах из орудия, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,3. Найдите математическое ожидание, дисперсию и СКО этой случайной величины.

    Решение. Обозначим событие А – попадание в цель при одном выстреле. По условию задачи Р (А) = p = 0,3, тогда вероятность промаха при одном выстреле равна Р () = q = 1– 0,3 = 0,7. Количество выстрелов n = 4.

      Очевидно, что случайная величина Х – количество попаданий в цель при четырех выстрелах, распределена по биномиальному закону и может принимать значения: 0, 1, 2, 3 и 4. Соответствующие этим значениям вероятности находим по формуле Бернулли:

(k)= .

  р ₀ = Р (Х = 0) = (0) = ·  = 1·1· = 0,2401;

 р ₁ = Р (Х = 1) = (1) = ·  = 4· = 0,4116;

 р ₂  = Р (Х = 2) = (2) = ·  = 6·0,09· = 0,2646;

 р ₃ = Р (Х = 3) = (3) = ·   = 0,0756;

 р ₄  = Р (Х = 4) = (4) = ·  = 1· = 0,0081.

    Таким образом, закон распределения случайной величины Х имеет вид:

xi	0	1	2	3	4
pi	0,2401	0,4116	0,2646	0,0756	0,0081

 М (Х) = np = 4·0,3 = 1,2;

D (X) = npq = 4·0,3·0,7 = 0,84;

 σ(Х) =  =  ≈ 0,9165.

      Задача 4. Вероятность выпуска автоматом стандартной детали равна 0,96. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что число бракованных деталей среди 2000 находится в границах от 60 до 100 включительно.

     Решение. По условию вероятность того, что деталь бракованная, равна р =1– 0,96 = 0,04. Число бракованных деталей, изготовленных автоматом, это случайная величина Х = k, распределенная по биномиальному закону. Ее среднее значение М (Х) = n · p = 2000·0,04 = 80 расположено  в центре заданного интервала от 60  до 100.  Таким образом, отклонение от среднего значения в обе стороны не превосходит значения ε = 20. Согласно неравенству Чебышева для биномиальной случайной величины (5.7.):

            

Р ( k – n · p  ≤ ε)  ≥ 1  – .

    Тогда получим следующую оценку вероятности:

Р ( k –80  ≤ 20)  ≥  1 –  = 1 –   = 0,808 (80,8%),

т. е. искомая вероятность не менее 80,8%.

      Задача 5. Случайные величины X и Y независимые. Найти математическое ожидание, дисперсию и СКО случайной величины   Z = 2 X – 3 Y + 5, если известно, что   М (Х) = 3; М (Y) = – 4; D (Х) = 2;   D (Y) = 5.

        Решение. Используя свойства математического ожидания и дисперсии, найдем:

М (Z)= М (2 X – 3 Y + 5) = 2· М (Х) – 3· М (Y) + М (5) = 2·3– 3·(–4) +5 =23; D (Z)= D (2 X – 3 Y +5) = 2²· D (Х) +(– 3)²· D (Y) + D (5) = 4·2 +9·5 + 0 =53;

σ(Z) = =  ≈ 7,28. 

Вопросы и задачи для самостоятельного решения

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте понятие дискретной случайной величины. Приведите примеры ДСВ.

2. Как задать закон распределения ДСВ?

3. Дайте определение математического ожидания ДСВ и поясните смысл этой характеристики.

4. Перечислите свойства математического ожидания ДСВ.

5. Дайте определение дисперсии ДСВ и поясните смысл этой характеристики.

6. Перечислите свойства дисперсии ДСВ.

7. Приведите две формулы для вычисления дисперсии ДСВ.

8. Какая величина называется средним квадратическим отклонением ДСВ? Поясните смысл этой характеристики.

 

Задачи

       1. Дан закон распределения ДСВ:

xi	– 2	0	2	3
pi	0,1	?	0,5	0,2

 

 

 

 Найдите вероятность того, что:

 а) случайная величина примет значение, равное нулю;

  б) случайная величина примет значение меньше 2,5.

Ответы: а) 0,2; б) 0,8.

     2. Укажите значение p ₂ для дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

xi	–2	–1	1	3	5
pi	0,2	р 2	0,3	0,2	0,1

Найдите Р (Х > 1).

Ответы:   р ₂ = 0,2; Р (Х > 1) = 0,3.

     3. Пусть X – ДСВ, задана законом распределения вероятностей:

xi	2	4
pi	0,4	0,6

       Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Ответы: а = 3,2; D = 0,96; σ = 0,98.

       4. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:

xi	–1	0	3
pi	0,1	0,3	0,6

     Вычислить математическое ожидание, дисперсию и СКО этой случайной величины.

Ответы: а = 1,7; D = 2,61; σ = 1,616.

        5. Случайные величины Х и Y независимые. Известно, что М (Х) = 3;   М (Y) = 1;   D (X) = 4; D (Y) = 2. Найдите математическое ожидание, дисперсию и СКО случайной величины Z =0,5 X – 3 Y + 5.

Ответы: а = 3,5; D =  19; σ = 4,36.

     6. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:

xi	–2	1	4
pi	0,2	0,3	0,5

     Вычислить математическое ожидание, дисперсию и СКО случайной величины Y = 2 X + 3.

Ответы:  а = 6,8; D = 21,96; σ = 4,686.

     7. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:

xi	0	2	4
pi	0,1	0,3	0,6

   Вычислите математическое ожидание, дисперсию и СКО случайной величины Y = 5 – 2 X.

Ответы:  а = –1; D = 7,2; σ = 2,68.

     8. Независимые дискретные случайные величины Х и   Y заданы законами распределения вероятностей:

xi	–2	0	2					yi	4	5	8
pi	0,3	0,4	0,3					pi	0,3	0,6	0,1

     

 

 

      

Вычислите математическое ожидание, дисперсию и СКО случайной величины Y = 5Х – Y + 2.

Ответы:  а = – 3; D = 61,2; σ = 7,823.             

           9. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,2. Найдите математическое ожидание, дисперсию и СКО количества лотерейных билетов X, на которые выпадут выигрыши, если всего 20 билетов.

Ответы:    а = 4; D = 3,2; σ = 1,79.

    10. Составьте закон распределения случайной величины Х – числа попаданий в мишень при трех выстрелах, если вероятность попадания в мишень при одном выстреле 0,8. Найдите математическое ожидание, дисперсию и СКО этой случайной величины.

Ответы: а = 2,4; D = 0,48; σ =  0,693;  

xi	0	1	2	3
pi	0,008	0,096	0,384	0,512

          

    11. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Наугад отобраны 2 детали. Составьте закон распределения количества стандартных деталей Х среди двух отобранных и найдите его основные числовые характеристики.

Ответы: а =8/5; D = 64/225; σ = 8/15;

xi	0	1	2
pi	1/45	16/45	28/45

    12. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,3. Стрельба ведется до первого попадания. Составьте закон распределения случайной величины Х – количества израсходованных снарядов, если всего имеется 4 снаряда. Найдите математическое ожидание этой случайной величины.

Ответы: М(Х) = 2,533;

xi	1	2	3	4
pi	0,3	0,21	0,147	0,343