Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства

Пусть Х – случайная величина, а М (Х) = а  – ее математическое ожидание. Математическое ожидание – средняя характеристика случайной величины. Однако оно не достаточно полно характеризует случайную величину Х, поскольку имеется множество различных распределений с одинаковым средним значением.

Важной характеристикой распределения ДСВ является рассеяние возможных значений случайной величины Х от ее среднего значения а. Для этого рассматривают отклонение (Х – а), т. е. разность между случайной величиной Х и ее математическим ожиданием а. Отклонение (Х – а) – также случайная величина. По свойствам математического ожидания М (Х – а) = М (Х) – М (а) = а – а = 0,  т. е. среднее значение отклонения всегда равно нулю и не может служить характеристикой рассеяния. Это происходит потому, что при усреднении отрицательные и положительные отклонения компенсируются. Чтобы избежать этого, рассматривают квадрат отклонения (Х – а)² – неотрицательную случайную величину.

Закон распределения квадрата отклонения (Х – а)²  имеет вид:                                 

(xi – а)2	(х 1 – а)2	(х 2 – а)2	…	(х n – а)2
pi	р 1	р 2	…	р n

      Дисперсией (рассеянием) случайной величины Х называется

 математическое ожидание квадрата отклонения:

= (х ₁ – а)²· р ₁+ (х ₂ – а)²· р ₂ + … + (х _n – а)² ·р _n.

     Дисперсия D (X) – это ожидаемое среднее значение квадратов отклонений. Она служит мерой рассеяния (разброса) значений x_i  случайной величины X от ее среднего значения а = М (Х).

     Очевидно, что дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Чтобы определить меру рассеяния в тех же единицах, что и случайная величина Х, из дисперсии извлекают квадратный корень и получают характеристику – среднее квадратическое отклонение (СКО): 

                                  σ(Х) =  .

    СКО – это мера рассеяния (разброса) значений x _i случайной величины X от ее среднего значения а в единицах случайной величины Х.

 

     Пример 5.  Найдем дисперсию и СКО случайной величины Х из примера 1.

     Решение. Используя закон распределения случайной величины Х, полученный в примере 1:

xi	0	1	2
pi	0,08	0,44	0,48

 и значение математического ожидания М (Х) = 1,4, найденное в примере 2, по формуле для вычисления дисперсии, получим:

   D (X) = (0 – 1,4)²·0,08 + (1 – 1,4)²·0,44 + (2 – 1,4)²·0,48 =

=1,96· 0,08 + 0,16 ·0,44 + 0,36·0,48 = 0,1568 + 0,0704 + 0,1728 = 0,4.

СКО:  σ(Х) =  = ≈ 0,63.

     Таким образом, основные значения случайной величины Х: Х ≈ 1,4 ± 0,63, т. е. находятся в диапазоне от 0,77 до 2,03, что хорошо согласуется с данными закона распределения случайной величины Х.

Свойства дисперсии

     1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D (C) = 0.

     2. Постоянный множитель С можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:   D (С·Х) = С ²· D (Х).      

     3. Дисперсия суммы или разности независимых случайных величин X  и Y равна сумме их дисперсий:

D (Х ± Y) = D (Х) + D (Y).

Это свойство справедливо для любого конечного количества независимых случайных величин.

     4. Из свойств 1 и 3 следует важный вывод:

D (X + C) = D (X),

где С – постоянная величина.

   Пример 6. Известны дисперсии независимых случайных величин X и Y:   D (Х) = 1 и   D (Y) = 3. Найти дисперсию случайной величины Z = 4 X – 2 Y + 7.

    Решение. D (Z) = D (4 X – 2 Y + 7) = 4²· D (Х) + 2²· D (Y) + D (7) = 

                           = 16·1 + 4·3 + 0 = 28.                  

 

5.5. Расчетная формула для вычисления дисперсии

      Как видно из предыдущего примера, вычислять дисперсию исходя из ее определения довольно сложно даже для закона распределения с небольшим количеством значений случайной величины Х. Можно получить более простую формулу для вычисления дисперсии, если воспользоваться определением дисперсии и свойствами математического ожидания:

D (X) = M [(X – a)²] = М (Х ² – 2 Х·а + а ²) = М (Х ²) – М (2 Х·а) + М (а ²) =

    = М (Х ²) – 2 а· М (Х) + а ² = М (Х ²) – 2 а·а + а ² = М (Х ²) – а ².

 Здесь учтено, что М (Х) = а. Используя этот факт еще раз, окончательно получим:

                            D (X) = М (Х ²) – М ²(Х).

 Это и есть расчетная формула для вычисления дисперсии, где          

    Пример 7.  Вычислим дисперсию случайной величины Х, из примера 1 по найденной расчётной формуле.

    Решение. Имеем распределениеслучайной величины Х:

х i	0	1	2
р i	0,08	0,44	0,48

Тогда,   М (Х) = 0·0,08 + 1·0,44 + 2·0,48 = 1,4;

 М (Х²) = 0²·0,08 + 1²·0,44 + 2²·0,48 = 1·0,44 + 4·0,48 = 2,36;

           D (X) = М (Х ²) – М ²(Х) = 2,36 – 1,4² = 2,36 – 1,96 = 0,4,

  что совпадает с результатом, полученным в примере 5.