Наивероятнейшее число появлений события

 Пусть в n повторных испытаниях событие А появляется ровно k раз, где k может принимать значения: 0, 1, 2 … n. Для каждого из этих значений k можно найти соответствующую ему вероятность   Р _n (k) по формуле Бернулли. Значение k = k ₀, которому соответствует самая большая вероятность Р _n (k ₀), называется наивероятнейшим числом   k ₀  появления события А в   n   повторных испытаниях.

 Очевидно, что k ₀ – целое число. Его можно находить как долю p  от общего количества испытаний n:  

          k ₀ = p · n, если p · n – целое число.

 Если n · p – не целое число, то k ₀ находят как целое число из промежутка:

               n · p – q ≤ k ₀ ≤ n · p + p.

    Длина этого промежутка: (n · p + p) – (n · p – q) = n · p + p – n · p + q = p + q = 1. В промежутке единичной длины либо одно целое число k ₀   внутри промежутка, либо их два, и тогда они на концах промежутка. В случае если наивероятнейших числа два, то это соседние целые числа k ₀ ΄ = n · p – q и   k ₀ ΄΄= n · p + p, их вероятности совпадают: Р _n (k ₀ ΄) = Р _n (k ₀ ΄΄).

 Вероятность, соответствующую наивероятнейшему числу k ₀, находят по формуле Бернулли.

 

Пример 3. Товаровед осматривает 12 образцов товара. Вероятность, что каждый из образцов годен к продаже, равна 0,8. Найти наивероятнейшее количество образцов годных к продаже и соответствующую ему вероятность.

 Решение. В этой задаче n = 12,   p = 0,8,   q = 1 – 0,8 = 0,2. Найдем k ₀ и Р ₁₂(k ₀).

 Вычислим n · p = 12·0,8 = 9,6 – не целое число. Тогда находим k ₀ как целое число из промежутка:

                     n · p – q ≤ k ₀ ≤ n · p + p;

                   9,6 – 0,2 ≤ k ₀ ≤  9,6 + 0,8

                           9,4 ≤ k ₀ ≤  10,4.

  В этом промежутке только одно целое число k ₀ = 10.Соответствующую ему вероятность находим по формуле Бернулли:

Р ₁₂(10) = ·0,8¹⁰·0,2² ≈ 0,1074·0,04 = 66·0,004296 ≈ 0,283.

 

  Решение типовых задач [2]

Задача 1. Вероятность покупки бракованного комплекта посуды равна 0,1. Найти вероятность того, что из 7 купленных комплектов 5 будут без брака.

      Решение. По условию задачи   вероятность покупки комплекта без брака   p = 1 – 0,1 = 0,9, т. к. вероятность покупки бракованного комплекта q = 0,1.

    Всего купленных комплектов n = 7. Из них без брака должно быть   k = 5. Искомую вероятность находим по формуле Бернулли:

Р ₇(5) = · p ⁵· q ^7-5 = ·0,9⁵·0,1² = 21·0,5949·0,01 ≈ 0,124.

Задача 2. Контрольный тест состоит из 6 вопросов. На каждый вопрос предлагается 4 варианта ответа и среди них только один верный. Найти вероятность правильного ответа на два, на три и на четыре вопроса теста для неподготовленного человека, который выбирает ответ наугад.

  Решение. Испытание – выбор ответа наугад из четырех вариантов. Т. к верен только 1 ответ из 4-х, то вероятность выбора верного ответа наугад при одном испытании составляет   p = 1/4 = 0,25. Тогда вероятность выбора неверного ответа при одном испытании q = 1 – 0,25 = 0,75.

Всего испытаний   n = 6, поскольку контрольный тест содержит 6 вопросов. Искомые значения вероятностей находятся по формуле Бернулли:

     Р ₆(2) = ·0,25²·0,75⁴ = 15·0,0625·0,31640625 ≈ 0,2966 (29,66%);

  Р ₆(3) = ·0,25³·0,75³ = 20·0,015625·0,421875 ≈ 0,1318 (13,18%);

  Р ₆(4) = ·0,25⁴·0,75² = 15·0,00390625·0,5625 ≈ 0,03296 (3,3%).

 

        Задача 3. Стрелок поражает цель с вероятностью 0,7. С какой вероятностью в серии из пяти выстрелов он попадет в мишень: а) ровно два раза; б) не менее четырех раз; в) хотя бы один раз; г) каково наивероятнейшее число попаданий и соответствующая ему вероятность?

 Решение. По условию задачи: р = 0,7; n = 5; k = 2; m = 4.

Вероятность промаха q = 1 – р = 1 – 0,7 = 0,3. Тогда:

а) вероятность попадания ровно два раза в серии из пяти выстрелов находим по формуле Бернулли:

Р ₅(2) = ·0,7²·0,3³ = ·0,49·0,027 = 10·0,01323 = 0,1323;

     б) событие – стрелок поразит мишень не менее четырех раз, запишем в виде k ³ 4. С учетом, что всего выстрелов 5,  получим:

             Р ₅(k ≥ 4) = Р ₅(k = 4 или k = 5) = Р ₅(4) + Р ₅(5).

Используя формулу Бернулли, найдем:

Р ₅(4) = ·0,7⁴·0,3¹ = 5·0,2401·0,3 = 0,3601;

    Р ₅(5) = ·0,7⁵·0,3⁰ = 1·0,7⁵·1 = 0,1681;

    Р ₅(m ≥ 4) =0,3601 + 0,1681 = 0,5282;

 

в) для события D – стрелок поразит мишень хотя бы один раз,  противоположным событием будет событие – стрелок не поразит мишень ни разу, т. е. стрелок промахнется все пять раз, следовательно, число попаданий k = 0:

Р (D) = 1 – Р () = 1 – q ⁵ = 1 – 0,3⁵ = 1 – 0,00243 ≈ 0,9976;

 

г) наивероятнейшее число попаданий k ₀ находим как целое число, удовлетворяющее двойному неравенству:

                  n · p – q ≤ k ₀ ≤ n · p + p

                         5×0,7 – 0,3 £ k ₀ £ 5× 0,7 + 0,7

                                    3,2 £ k ₀ £4,2.

    В этом промежутке единственное целое число k ₀ = 4. Соответствующая ему вероятность Р ₅(4) вычисляется по формуле Бернулли. В данной задаче она была найдена выше: Р ₅(4) = 0,3601.

 

   Задача 4. Устройство состоит из четырех элементов, работающих независимо друг от друга. Возможность отказа каждого элемента оценивается как 40%. Найти наивероятнейшее число отказавших элементов и соответствующую этому событию вероятность.

Решение. По условию задачи n = 4, р = 0,4, тогда   q = 1 – 0,4 = 0,6. Так как n · p = 4·0,4 = 1,6 не является целым числом, то наивероятнейшее число отказавших элементов k ₀ находим как целое число из промежутка:

                        n · p – q ≤ k ₀ ≤ n · p + p,

4×0,4 – 0,6 £   k ₀  £ 4× 0,4 + 0,4,

1,6 – 0,6 £   k ₀  £ 1,6 + 0,4,

1 £   k ₀   £ 2.

   В найденном промежутке находятся два целых числа: k ₀ ΄= 1и      k ₀ ΄΄= 2. Найдем соответствующие вероятности для каждого из них:

(1) = ·  = 4· = 0,3456;

(2) = ·  = 6·0,16· = 0,3436.

   Таким образом, вероятнее всего, что число отказавших в течение смены элементов 1 или 2. Оба случая наивероятнейшие, их  вероятности совпадают.

 

   Вопросы и задачи для самостоятельного решения

Контрольные вопросы

1. Запишите формулу Бернулли. Для чего она используется?

2. Что означает «появление события хотя бы 1 раз» в n повторныхнезависимых испытаниях?  Какое событие ему противоположно?

 3. Как найти вероятность того, что событие не наступило ни разу в n повторныхнезависимых испытаниях. Какое событие является ему противоположным и как найти его вероятность?

4. В чем смысл понятия «наивероятнейшее число появлений события»? Как найти это число и соответствующую ему вероятность?

5. Сколько может оказаться наивероятнейших чисел появления события в нескольких повторных испытаниях?

 

 

Задачи

     1. Вероятность выиграть в праздничной лотерее по каждому из билетов равна 0,7. Найти вероятность того, что из трех купленных билетов 2 окажутся выигрышными.

Ответ: 0,441.

     2. Вероятность того, что саженец сосны приживется, равна 0,8. Найти вероятность того, что из 5 саженцев приживутся 3.

Ответ: 0,2048.

     3. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартное, равна 0,9. Найти вероятность того, что из 4 проверяемых изделий ровно 3 изделия стандартные.

Ответ: 0,2916.

 

     4. Найти вероятность двукратного выпадения шести очков при трехкратном подбрасывании кости.

Ответ: 0,0694(4).

     5. Вероятность, что каждая деталь стандартная равна 0,9. Найти вероятность того, что среди взятых наугад шести деталей половина стандартных.

Ответ: 0,01458.

     6. Применяемый метод лечения в 90% случаев приводит к выздоровлению. Найти вероятность того, что из трех больных все поправятся.

Ответ: 0,729.

     7. Что вероятнее выиграть у равносильного противника: две партии из четырех или три партии из шести?

Ответ: 3/8 > 5/16.

     8. Найти вероятность того, что при пятикратном бросании монеты орел выпадет: а) ровно 2 раза; б) менее двух раз; в) не более двух раз.

Ответы: а) 5/16; б) 3/16; в) 1/2.

     9. В лотерее на каждые 100 билетов приходится 10 выигрышных. Какова вероятность, что у лица, купившего 3 билета, выиграет хотя бы один билет?

Ответ: 0,271.

    10. Считая рождение мальчика и девочки равновероятными, найти вероятность того, что в семье, где четверо детей: а) все мальчики; б) нет мальчиков; в) не менее двух мальчиков; г) хотя бы один мальчик.

Ответы: а) 1/16;    б) 1/16;  в) 11/16;   г) 15/16.

 

   11. Цех выпускает 20% изделий отличного качества. Какова вероятность, что в партии из 8 изделий окажется, что изделий отличного качества: а) только одно; б) ни одного; в) хотя бы одно; г) от двух до пяти включительно?

Ответы: а) 0,3355; б) 0,1678;    в) 0,8322 г) 0,4955.

   12. Всхожесть семян составляет 80%. Найти наивероятнейшее число всхожих семян из 150.

Ответ: 120.

   13. Товаровед осматривает 5 образцов товара. Возможность, что каждый из них годен к продаже, 60%. Найти наивероятнейшее количество образцов, которые будут признаны годными к продаже, и вероятность этого события.

Ответы: 3; 0,3456.

    14. Произведено 10 выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле 0,85. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую ему вероятность.

Ответы: 9; 0,3474.

 

    15. Оптовая база снабжает 9 магазинов, от каждого из которых с вероятностью 0,4 может поступить в течение дня заявка на товар. Найти наивероятнейшее количество поступивших заявок в день и соответствующую ему вероятность.

Ответы:  3 или 4; 0,2508.

 

   16. Адвокат в среднем выигрывает 75% судебных дел. Какова вероятность того, что из шести имеющихся у него дел он выиграет все? Найти наивероятнейшее число выигранных им дел и соответствующую вероятность.

Ответы: 0,178; 4; 0,2966.

 

Тема 5. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ [3]