Распространение световых импульсов в среде с дисперсией

Электрическое поле линейно поляризованного светового сигнала, распространяющегося в одномодовом волокне, можно описать следующим образом [6]:

,                              (3.3.1)

где  - единичный вектор, - медленно меняющаяся амплитуда (огибающая) светового импульса, представляющая собой комплексный скаляр, который изменяется в направлении z и во времени t, u (х,у) - распределение амплитуды поля в поперечном направлении,  - постоянная распространения,  - угловая частота.

Распределение амплитуды поля основной моды в поперечном направлении описывается следующим уравнением [6]:

,               (3.3.2)

где (ω)- диэлектрическая проницаемость среды.

В отсутствие в волокне нелинейных явлений рассчитать изменение формы светового импульса в процессе распространения вдоль волокна можно, воспользовавшись преобразованием Фурье [6].

Рассмотрим распространение спектральных компонент светового сигнала , получаемых преобразованием Фурье огибающей светового импульса :

,                                        (3.3.3)

где - несущая частота.

Спектральные компоненты удовлетворяют уравнению:

,                     (3.3.4)

где - коэффициент затухания сигнала, = .

Решение этого уравнения известно и характеризует затухание сигнала и сдвиг фаз, пропорциональный пройденному расстоянию:

,(3.3.5)

где Фурье - образ входного светового сигнала имеет вид:

,                                      (3.3.6)

Для однородного волокна выражение упрощается:

                   (3.3.7)

Как следует из выражения (3.3.7), в процессе распространения по волокну разные спектральные компоненты приобретают различный фазовый сдвиг, поэтому Фурье - образ выходного сигнала, прошедшего участок однородного ОВ длиной L, имеет вид:

.                        (3.3.8)

Форма выходного сигнала может быть получена из Фурье - образа обратным преобразованием Фурье:

 .           (3.3.9)

Искажение световых импульсов при распространения в ОВ можно оценить, разложив постоянную распространения β (ω) в ряд Тейлора около несущей частоты  [6]:

,                                          (3.3.10)

где:

                                                       (3.3.11)

Выражение (3.3.10), ограниченное первыми четырьмя членами разложения, имеет вид:

. (3.3.12)

Если в разложении (3.3.12) пренебречь степенями выше первой, что соответствует распространению светового импульса по ОВ без искажений, то после подстановки (3.3.12) в (3.3.8), (3.3.9) получается:

 . (3.3.13)

Сделав замену переменных , получим . Т.е. в рассмотренном приближении световой импульс затухает, форма его не меняется, и на выходе из волокна он оказывается с временной задержкой . Следовательно, групповая скорость распространения светового импульса равна .

Обычно коэффициент при квадрате разности частот не равен нулю, в этом случае световой импульс искажается. Для светового импульса произвольной формы получить аналитическое выражение не удается, но для импульса гауссовой формы () аналитическое выражение для выходного импульса имеет следующий вид:

,   (3.3.14)

где - начальная длительность импульса.

Таким образом, гауссовский импульс сохраняют свою форму, но его                                                                длительность , увеличивается [7]:

,                                        (3.3.15)

где величина  называется дисперсионной длиной. Выражение (3.3.15) показывает, что при  импульс расширяется. Темп расширения импульса определяется дисперсионной длиной . При определенной длине световода более короткий импульс уширяется больше, т.к. его дисперсионная длина меньше. При z = гауссовский импульс уширяется в  раз. Импульс, вначале не имевший частотной модуляции, приобретает ее по мере распространения в ОВ.

Из выражения (3.3.15) следует, что уширение гауссовского импульса, не обладавшего на входе частотной модуляцией, не зависит от знака параметра дисперсии . Поведение изменяется, однако, если импульс на входе имеет некоторую частотную модуляцию. В случае линейной частотной модуляции гауссовского импульса амплитуда огибающей записывается в виде [6]:

,                 (3.3.16)

где С - параметр модуляции. Полуширина спектра (на уровне интенсивности 1/ е от максимальной) определяется выражением:

,                                         (3.3.17)

что в  раз больше, чем ширина спектра импульса той же длительности, но без частотной модуляции. Квазимонохроматический импульс без частотной модуляции имеет минимальную длительность, достижимую при заданном спектре. Поэтому световые импульсы без частотной модуляции называются спектрально ограниченными [7].

Форма прошедшего через оптическое волокно светового импульса с линейной частотной модуляцией (чирпом) имеет вид:

.

    (3.3.18)

Таким образом, частотно-модулированный (чирпированный) гауссовский импульс сохраняет свою форму при распространении. Длительность импульса  на выходе волокна связана с длительностью на входе соотношением:

.                                    (3.3.19)

Из выражения (3.3.19) следует, что уширение зависит от знаков параметра  и параметра частотной модуляции С. Гауссовский импульс монотонно расширяется с увеличением расстояния, если >0.

 

3.3.1. Физическая природа хроматической дисперсии

Математическое описание эффектов дисперсии в оптическом волокне,                                                                 проведенное в предыдущем разделе, основано на разложении постоянной распространения в ряд Тейлора вблизи несущей частоты  (см. ф. 3.3.10, 3.3.12). Огибающая светового импульса движется с групповой скоростью , а параметр  определяет расширение импульса [7].

Параметр  связан c показателем преломления n следующим образом:

.          (3.3.20)

Показатель преломления вещества определяется двумя физическими механизмами: зависимостью от частоты (длины волны) и волноводными характеристиками волокна. Зависимость показателя преломления вещества от частоты называется материальной дисперсией, а зависимость от каналирующих свойств волокна - волноводной дисперсией (см. п. 3.2).

Дисперсию в оптических волокнах, как было сказано выше, принято характеризовать коэффициентом хроматической дисперсии или удельной хроматической дисперсией D, измеряемом в пс/(нм·км). Значение коэффициента D связано с коэффициентом   следующей формулой:

.                             (3.3.21)

Коэффициент D можно найти, также, из известного распределения n (l):

 .                                           (3.3.22)

Коэффициент хроматической дисперсии D стремится к нулю на длине волны приблизительно 1,31 мкм и становится положительным для больших длин волн. Длина волны, при которой D = 0, называется длиной волны нулевой дисперсии .

В стандартном одномодовом волокне влияние волноводного вклада в дисперсию сводится, в основном, к смещению длины волны нулевой дисперсии  в длинноволновую область: 1,31 мкм. Важной особенностью волноводной дисперсии является то, что ее вклад в D зависит от параметров оптического волокна. В общем случае, волноводная дисперсия увеличивается при уменьшении размеров сердцевины. Этот факт может использоваться для смещения длины волны нулевой дисперсии [7].

 

3.3.2. Влияние хроматической дисперсии на работу систем связи

Хроматическая дисперсия ограничивает максимальную дальность передачи цифровых сигналов без восстановления их первоначальной формы. Для того чтобы охарактеризовать дальность передачи вводится понятие «дисперсионной длины», как расстояние, на котором происходит относительное расширение импульса по амплитуде в  раз. Оценить дисперсионную длину для сигнала с шириной  можно с помощью следующей формулы [7]:

.                                           (3.3.23)