О математической экономике как области математики и о некоторых ее связях

А) Связи линейного программирования с функциональным и выпуклым анализом.

Л.В. уже перед войной был признанным авторитетом во многих математических областях, в особенности как один из создателей школы в функциональном анализе. Неудивительно, что и линейное программирование в его трактовке было связано с функциональным анализом. Точно так же понимал эти задачи и фон Нейман: его основная теорема теории игр, модели экономики и экономического поведения и другие экономико-математические результаты несут явный отпечаток концепций функционального анализа и двойственности.

Мое первоначальное восприятие математической стороны оптимизационной эконометрики, так же, как и у большинства тех, кто принадлежал школе Л.В., было функционально-аналитическим. Иначе говоря, схема двойственности естественным образом рассматривалась в терминах функционального анализа. Нет сомнений, что ничего более приемлемого с концептуальной точки зрения и нет. Выпуклый анализ, сформировавшийся после 50-х гг. на базе оптимизационных задач, постепенно вобрал в себя значительную часть линейного функционального анализа, равно как и классических результатов выпуклой геометрии. Именно так я строил и свой курс теории экстремальных задач, который читал в течение 20 лет в ЛГУ (с 1973 по 1992) -- он включал в себя общие (бесконечномерные) теоремы отделимости, теорию двойственности линейных пространств и т.п.

Исторически первыми связями теории Л.В. были связи с теорией наилучшего приближения и, в частности, с работами Крейна по L-проблеме моментов. М.Г.Крейн одним из первых обратил внимание на это. Реальные последствия состояли в постепенном осознании того, что методы решения обеих задач по существу схожи. Первый метод решения этих задач восходит еще к Фурье. Позже, в 30-40-х гг. нашего столетия, были выполнены важные работы Моцкиным и украинской школой М.Г.Крейна (в частности, С.И.Зуховицким, Е.Я.Ремезом и др). Однако метод разрешающих множителей и симплекс-метод были новыми для теории наилучшего приближения. Особенно важной с принципиальной точки зрения была сама трактовка задачи чебышевского приближения как полубесконечномерной задачи линейного программирования. Бесконечномерное программирование было также предметом нескольких работ моих учеников на мат-мехе ЛГУ (М.М.Рубинов, В.Темельт) и математиков в Москве (Е.Гольштейн и др).

Теория двойственности линейных пространств с конусом дает естественный язык для задач линейного программирования в пространствах произвольной размерности. Парадоксально, что это уловил Н.Бурбаки, далекий от каких-либо приложений: в своем 5-м томе "Элементов математики", - куда как абстрактный опус!, - если внимательно приглядеться, то в упражнениях можно найти даже теорему об альтернативах для линейных неравенств и ряд фактов, близких к теоремам двойственности линейного программирования. Это и естественно. Теорема Хана-Банаха и теоремы линейной отделимости - фундаментальные теоремы классического линейного функционального анализа - есть чистейший выпуклый геометрический анализ. То же относится и к общей теории двойственности линейных пространств.

Классическая теория линейных неравенств Г.Минковского - Г.Вейля в современной форме появилась в работе Г.Вейля 30-х гг. чуть раньше работ Л.В. - эта связь особенно прозрачна. Теоремы об альтернативах, леммы Фаркаша и т.д., двойственность Фенхеля-Юнга в теории выпуклых функций и множеств - все это объединилось с теорией линейного программирования уже в 50-х гг. Однако, заслуга Л.В., по-видимому, не сразу узнавшего обо всех этих связях, в том, что он нашел единый подход, базирующийся на идеях функционального анализа и вскрывающий идейную суть вопроса. Это одновременно давало и базу для численных методов его решения. Не преувеличивая, можно сказать, что функциональный анализ стал фундаментом всей математической экономики. Огромное число задач выпуклой геометрии и анализа (от теоремы Ляпунова о выпуклости образа до выпуклости в отображении моментов) также связаны с этими идями и их обобщениями.

Ко всему этому примыкают и многие последующие работы по теории линейным неравенствам (Черников, Фан Цзы и др.), по выпуклой геометрии и др, авторы которых не всегда знали о предшествующих результатах; нельзя и сейчас сказать, что весь этот цикл работ подытожен в надлежащем виде.

Б) Линейное программмирование и дискретная математика.

Однако линейное программирование имеет серьезные связи с дискретной математикой и комбинаторикой. Более точно, некоторые задачи линейного программирования являются линеаризацией комбинаторных задач. Примеры: задача о назначениях и теорема Биркгофа-фон Неймана, теорема Форда-Фулкерсона. Эта сторона теории не была замечена у нас сразу и пришла к нам из западной литературы позже. Основную задачу теории матричных игр с нулевой суммой (а именно, теорему о минимаксе) блестяще связал с линейным программированием еще фон Нейман, см. воспоминания Данцига, цитированные в статье А.М.Вершика, А.Н.Колмогорова и Я.Г.Синая "Джон фон Нейман" (Фон Нейман. "Избранные труды по функциональному анализу, т.1" М. "Наука",1987), где Данциг пишет о поразившем его разговоре с фон Нейманом, в котором тот за час изложил связь теории двойственности и теорем о матричных играх и наметил метод решения этих задач.

Эта связь была освоена не сразу, -- я помню, что ленинградские специалисты по теории игр первое время не принимали в расчет, что решение матричной игры с нулевой суммой есть задача линейного программирования, и, несомненно красивый, метод решения игр, принадлежащий Дж. Робинсон, считался чуть ли не единственным численным методом нахождения значения игры. В итоговом доказательстве теоремы фон Неймана о минимаксе (первое доказательство было топологическим и использовало теорему Брауэа) фактически содержалась теория двойственности. Позже эквивалентость игровой задачи и линейного программирования широко использовалась.

Акценты на связь с дискретной математикой и комбинаторикой превалируют в большинстве зарубежных работ первых лет по линейному программированию, в то время как в отечественных работах в первое время более подчеркивалась связь с функциональным и выпуклым анализом и развивались численные методы.

В связи с линейным и выпуклым программированием на первый план из комбинаторных теорий выступает комбинаторная геометрия выпуклых и целочисленных многогранников и комбинаторика симметрической группы. Важными работами первого периода по комбинаторике многогранников была книга Грюнбаума, и статьи Кли и др, а в комбинаторике - работы Дж. Рота и Р.Стенли. Одновременно возникли близкие темы в теории особенностей (многогранники Ньютона), алгебраической геометрии (торические многообразия и целочисленные многогранники) и др. А позже открылись обширные связи с симметрической группой, комбинаторной теорией диаграмм Юнга - одной из основных тем "новой комбинаторики", - а также посетами и матроидами. Интересно, что почти одновременно (и независимо) к ряду близких задач комбинаторики пришел И.М.Гельфанд (матроиды, клетки Шуберта, вторичные многогранники), назвавший комбинаторику математикой ХХI века. Сейчас новые комбинаторные задачи являются ключевыми в разнообразных математических проблемах.

Мой интерес к к линейному программированию в первые годы возник совершенно независимо от моих математических пристрастий тех лет и, в частности, не только потому, что я учился у Л.В. функциональному анализу и слушал его первые захватывающие рассказы о линейном программировании и его применении в экономике. В тот момент (1956-58 гг). это был скорее практический, чем теоретический интерес.

Дело в том, что отказавшись после окончания университета по некоторым причинам от аспирантуры, я работал в военно-морском ВЦ, и заинтересовался задачей многомерного наилучшего приближения как прикладник. Одной из моих задач в этом ВЦ было представление таблиц стрельбы в ЭВМ, и я предложил аппроксимировать их вместо того, чтобы хранить в памяти ЭВМ. Я сформулировал некоторое обобщение задачи о наилучшем приближении, а именно, о кусочно полиномиальном наилучшем приближении (ни о каких сплайнах тогда нам известно не было) для функций нескольких переменных. Позже, когда я уже стал работать в университете, в 60-х гг. этой задачей занимались мои первые дипломанты. Еще позже была написана подробная статья об этом.

Постепенно мой интерес к задаче о наилучшей аппроксимации превратился в интерес к самому методу, позволяющему ее решить, - одним из них и был метод линейного программирования. Г.П.Акилов посоветовал поговорить по этому поводу с Г.Ш.Рубинштейном. Во время наших бесед Г.Ш. дополнял доклады Л.В. рассказами о близких работах других математиков, - несомненно, Г.Ш. был тогда одним из лучших знатоков линейного программирования и всего этого круга идей Л.В. -- о работах американцев (симплекс-методе) мы узнали несколько позже. Основным для нас был "метод разрешающих множителей". Он укладывался как частный случай в то, что у нас называлось симплекс-методом, но наше понимание было шире американского, -- классический симплекс-метод Данцига есть также частный случай этого, более общего, класса методов. К сожалению, как часто бывает, русская терминология не была достаточно продумана и зафиксирована и слова "симплекс-метод" допускают массу различных толкований.

Школа численных методов линейного программирования в СССР была исключительно сильной, и в этом безусловная заслуга Л.В. и двух его основных помощников первой поколения -- В.А.Залгаллера и Г.Ш.Рубинштейна, а позже И.В.Романовского и его группы, В.Л.Булавского, в Москве -- Д.Б.Юдина и Е.Г.Гольштейна и др. В последующем с развитием вычислительной и программистской техники численное решение любых задач разумной размерности стало доступным.

В) Метрика Канторовича.

Однажды весной 1957 г. Г.Ш.Рубинштейн рассказал мне, что он наконец понял, как можно использовать теорему Л.В. о задаче Монжа (теперь ее называют задачей Монжа - Канторовича), доказанную им в заметке ДАН 1942 г. - а именно, как метрику Канторовича, т.е. оптимальное значение целевого функционала в транспортной задаче, использовать для введения нормы в пространстве мер и как критерий Л.В. становится теоремой двойственности с пространством функций Липшица. По сути дела, это было важным методическим замечанием, так как сама метрика уже была описана в заметке Л.В. Но именно эта работа Л.В. и Г.Ш., появившаяся в Вестнике ЛГУ в 1958 г., в выпуске, посвященном Г.М.Фихтенгольцу, содержала общую теорию знаменитой теперь метрики, назывемой иногда метрикой Канторовича-Рубинштейна, или транспортной.

Кстати, в том же номере была опубликована и моя первая работа совместно с моим первым руководителем Г.П.Акиловым, посвященная новому определению распределений Шварца, но в которой также в качестве одного из примеров рассматривалась эта, только что появившаяся, метрика. В той же работе Л.В. и Г.Ш.-- это обычно вспоминается реже, - был дан критерий оптимальности первозок в двойственных терминах -- функций Липшица или потенциалов.

С тех пор я превратился в постоянного пропагандиста этой замечательной метрики, и убедил очень многих математиков наших и зарубежных, в приоритете Л.В. и в важности этой работы. Она переоткрывалась огромное число раз и потому имеет очень много названий (метрика Вассерштейна, Орнштейна и т.д., не знавших о работе Л.В.) а сам метод ее введения известен как спаривание (coupling), как метода фиксированных маргинальных мер и т.д. Ее применения обширны и в самой математике, и в статфизике, и в математической статистике, в эргодической теории и в других приложениях. О ней написаны книги, которые далеко не исчерпывают всех ее сторон. Весьма близки к ней метрика Леви - Прохорова - Скорохода, популярная в теории вероятностей. Возможность дальнейшего обобщения этой метрики для широкого круга задач оптимизации была понята несколько позже, этому посвящены одна моя работа в "Успехах" 1970 г. и ее развитие в статье с М.М.Рубиновым.

Одновременно я применил эту метрику в 1970 для одной из важных задач теории меры и эргодческой теории (в теории убывающих последовтельностей измеримых разбиений). Там понадобилась дикая на первый взгляд беконечная итерация этой метрики ("башня мер"). Приблизительно в то же время Д.Орнштейн переоткрыл и ввел ее в эргодичскую теорию по другому поводу (метрика Орнштейна).

История этой метрики и всего, что относится к ней -- прекрасный пример того, как прикладная (в данном случае -- транспортная) задача инициирует введение исключительно полезного чисто математического понятия.

Г) Связи с вариационным исчисленим и множителями Лагранжа.

Линейное и выпуклое программирование естественно обобщало теорию множителей Лагранжа на нерегулярные задачи (задачи на многогранных областях или, как бы мы сказали сейчас, на многообразиях с углами). То, что разрешающие множители были обобщением множителей Лагранжа, Л.В. отмечал с самого начала. Неклассические множители появлялись и в других областях, в первую очередь в теории оптимального управления в школе Понтрягина. Эта теория также обобщала условные вариационные задачи на случай нерегулярных ограничений, и потому ее следует сравнивать с задачами (вообще говоря, невыпуклого, но в существенных случаях - выпуклого) бесконечномерного программирования. Эта связь прояснилась не сразу.

Нужно сказать, что в эстетическом отношении теория Понтрягина уступала теории Л.В., хотя первая по сути более сложна (только из-за изначальной бесконечномерности задач). О связи линейного и выпуклого программирования с оптимальным управлением писалось немало. Однако по ряду причин эта связь не была доведена до достаточно глубокого уровня.

В первую очередь это связано с недостаточно инвариантной формой, в которой рассматриваются обычно задачи оптимального управления. Промежуточное положение между классическим вариационным исчислением и оптимальным управлением, ближе к геометрии и теории алгебр Ли, занимают неголономные задачи. В них также наличествует неклассичность ограничений, как в выпуклом программировании и оптимальном управлении, но неклассичность другого (гладкого) типа.

Я занялся ими в середине 60-х годов, когда стал обдумывать популярные тогда работы по инвариантным формулировкам механики (Арнольд, Годбийон, Марсден и др.). Увидев в неголономной механике -- падчерице классической механики -- нетривиальную оптимизационную задачу, я понял, как ее поставить в современной форме. В те годы у нас был молодежный образовательный семинар в ЛОМИ -- по дифференциальной геометрии, теории представлений, группам Ли и всему остальному (Л.Д.Фаддеев, Б.Б.Венков, я и др.).

Как-то раз случайно выяснилось, что и Л.Д. тоже обдумывал неголономную механику, и мы решили вместе разобраться во всем полностью. Мы написали сначала краткую, в ДАН, а потом и большую статью об инвариантной форме лагранжевой и, в частности, неголономной механики. Эти работы обильно цитируются до сих пор, в них дан словарь соответствия между терминами дифференциальной геометрии и понятиями классической механики. Сейчас эта тематика стала модной, она является замечательным промежуточным звеном между классическим и неклассическим вариационным исчислением. В нем множители Лагранжа предстают в еще одной новой форме - как переменные, отвечающие ограничениям и следствиям (скобкам Ли) всех порядков. Здесь также невозможно не вспомнить о разрешающих множителях Л.В.

Д) Линейные модели и марковские процессы.

Поскольку Л.В. много занимался в 60-х гг. экономическими моделями, не обязательно связанными с оптимизацией, нельзя хотя бы мельком не упомянуть связи теории моделей экономической динамики (Дж. фон Нейман, В.Леонтьев, Л.В. и др.) с динамическими системами. Я хочу подчеркнуть здесь только одну недостаточно изученную связь, а именно, что эти линейные экономические модели напрямую связаны с особым типом марковских процессов, в которых особую роль играет понятие положительности в множестве состояний. Теоремы магистрального типа и марковские процессы принятия решений самым непосредственным образом связаны с этой проблематикой. Сюда же относятся теории многозначных отображений, проблемы непрерывного выбора и т.д.

По-видимому, эти вопросы сейчас теряют свое прикладное значение, но несомненно интересны с математической точки зрения, как и всякие теории многозначных и положительных отображений. Напомним, что еще до войны Л.В. создал теорию полуупорядоченных пространств (К-пространств), которая вскоре замкнулась в себе и перестала интересовать и его, и тех, кто не занимался ею непосредственно. Но полупорядоченность в более широком смысле всегда была предметом особого интереса математиков ленинградской и украинской школ.